Текст книги "Стратегические игры. Доступный учебник по теории игр"

Участники игр с одновременными ходами выбирают стратегии, не зная о выборе других игроков. Такие игры можно изобразить в виде таблицы игры, в ячейках которой отображены выигрыши каждого игрока, а ее размерность равна количеству игроков. Игры с нулевой суммой с двумя участниками можно представить в сокращенном виде, отобразив в каждой ячейке таблицы игры только выигрыши одного игрока.

Равновесие Нэша – концепция, используемая для решения игр с одновременными ходами. Такое равновесие состоит из совокупности стратегий (по одной на каждого игрока), где каждый игрок выбрал свой лучший ответ на выбор другого игрока. Кроме того, равновесие Нэша можно трактовать как набор стратегий, при котором у каждого игрока есть правильные убеждения относительно стратегий других игроков, а определенные стратегии являются лучшими для каждого игрока с учетом этих убеждений. Равновесия Нэша можно найти посредством поиска доминирующих стратегий, последовательного исключения доминируемых стратегий или анализа наилучших ответов.

Существует масса классов игр с одновременными ходами. Игра «дилемма заключенных» встречается во многих контекстах. В координационных играх, таких как игра в доверие, игра в труса и битва полов, – множество равновесий, и решение этих игр требует от их участников координации действий. Если в игре отсутствует равновесие в чистых стратегиях, мы должны искать его в смешанных стратегиях, анализ которых представлен в главе 7.

Анализ наилучших ответов

Битва полов

Дилемма заключенных

Доминируемая стратегия

Доминирующая стратегия

Игра в доверие

Игра в труса

Игра с чистой координацией

Итеративное исключение доминируемых стратегий

Координационная игра

Матрица игры

Наилучший ответ

Нормальная форма

Последовательное исключение доминируемых стратегий

Равновесие Нэша

Разрешимость по доминированию

Смешанная стратегия

Стратегическая форма

Сходимость ожиданий

Таблица выигрыша

Таблица игры

Убеждение

Фокальная точка

Чистая стратегия

S1. Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях для представленных ниже игр. Сначала проверьте таблицу игры на наличие доминирующих стратегий. Если таковых нет, решите игру посредством итеративного исключения доминируемых стратегий. Объясните логику своих рассуждений.

a)

b)

c)

d)

S2. Для каждой из четырех игр, представленных в упражнении S1, определите, это игра с нулевой или с ненулевой суммой. Объясните логику своих рассуждений.

S3. Метод минимакса – еще один значимый способ решения игр с нулевой суммой, разработанный задолго до того, как Нэш сформулировал концепцию равновесия в играх с ненулевой суммой. Для того чтобы его применить, необходимо исходить из предположения, что независимо от того, какую стратегию выберет игрок, его соперник сделает такой выбор, который обеспечит этому игроку худший выигрыш от данной стратегии. В случае каждой игры с нулевой суммой, найденной в упражнении S2, используйте метод минимакса для поиска равновесных стратегий игры, выполнив следующие действия:

a) Для каждой стратегии, соответствующей строке таблицы, запишите минимальный выигрыш Ровены (худшее, что может с ней сделать Колин в данном случае). Для каждой стратегии, отображенной в столбце таблицы, запишите минимальный выигрыш Колина (худшее, что может с ним сделать Ровена в данном случае).

b) Для каждого игрока определите стратегию (или стратегии), которая обеспечивает ему лучший из этих худших выигрышей. Это и есть стратегия минимакса каждого игрока.

(Поскольку в данном случае речь идет об игре с нулевой суммой, наилучшие ответы игроков действительно подразумевают сведение выигрышей друг друга к минимуму, а значит, эти стратегии минимакса и есть равновесиями Нэша. Джон фон Нейман доказал существование минимаксного равновесия в играх с нулевой суммой в 1928 году, за двадцать лет до того, как Нэш обобщил эту теорию.)

S4. Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях в следующих играх с ненулевой суммой. Опишите шаги, которые вы при этом предприняли.

a)

b)

c)

d)

S5. Проанализируйте следующую таблицу игры:

a) Есть ли доминирующая стратегия у Ровены либо у Колина? Объясните, почему есть или нет.

b) Используйте метод итеративного исключения доминируемых стратегий, чтобы как можно больше уменьшить игру. Опишите порядок выполнения такого исключения стратегий и представьте урезанную форму игры.

c) Разрешима ли эта игра по доминированию? Объясните, почему да или нет.

d) Найдите в ней равновесие (или равновесия) Нэша.

S6. «Если у игрока есть доминирующая стратегия в игре с одновременными ходами, значит, он наверняка получит самый лучший исход». Это утверждение истинно или ложно? Обоснуйте свой вывод и приведите пример игры, иллюстрирующий ваш ответ.

S7. Пожилой даме нужна помощь, чтобы перейти улицу. Для этого достаточно одного человека; не имеет смысла привлекать больше людей. Мы с вами находимся поблизости и можем помочь, причем одновременно должны решить, стоит ли это делать. Каждый из нас получит удовольствие с выигрышем 3 единицы, если все разрешится благополучно (независимо от того, кто ее переведет). Однако именно тому, кто непосредственно поможет даме, это обойдется в 1 единицу – такова ценность нашего времени, потраченного на оказание помощи. Если никто из игроков не оказывает помощь, выигрыш каждого будет равен нулю. Сформулируйте эту ситуацию в виде игры. Составьте таблицу выигрышей и найдите равновесия Нэша в чистых стратегиях.

S8. В университете решают, что построить – новую лабораторию или новый театр в кампусе. Факультет естественных наук предпочел бы новую лабораторию, а гуманитарных ратует за театр. Однако финансирование проекта (вне зависимости от того, каким он будет) возможно только в случае единодушной поддержки всего преподавательского состава университета. При возникновении разногласий ни один проект не получит дальнейшего продвижения и оба факультета останутся без нового здания и с наихудшим выигрышем. Собрания двух отдельных групп преподавателей, на которых решается вопрос о поддержке проекта, проходят одновременно, а выигрыши представлены в следующей таблице:

a) Каковы равновесия Нэша в чистых стратегиях в этой игре?

b) Какая из игр, представленных в данной главе, больше всего напоминает эту игру? Объясните логику своих рассуждений.

S9. Предположим, два участника игрового шоу, Алекс и Боб, каждый по отдельности выбирают двери с номерами 1, 2, 3. Оба игрока получают призы, если их выбор совпадает, как показано в следующей таблице:

a) Каковы равновесия Нэша в этой игре? Какое из них (при его наличии) скорее всего приведет к (фокальному) исходу игры? Обоснуйте свой вывод.

b) Рассмотрите несколько измененную игру, в которой варианты выбора – снова просто числа, но две ячейки таблицы с выигрышами 15, 15 теперь содержат выигрыши 25, 25. Какой ожидаемый (средний) выигрыш каждого игрока, если каждый из них подбросит монету, чтобы решить, выбрать вариант 2 или 3? Лучше ли это фокусировки на том, чтобы оба выбрали 1 в качестве фокального равновесия? Как вам следует учитывать риск того, что Алекс может сделать одно, а Боб – другое?

S10. У Марты три сына: Артуро, Бернардо и Карлос. Она находит разбитую лампу посреди гостиной и понимает, что это сделал кто-то из сыновей. На самом деле виновник произошедшего Карлос, но Марта об этом не знает. Она заинтересована скорее в том, чтобы выяснить истину, а не наказать ребенка, поэтому предлагает сыновьям сыграть в следующую игру.

Каждый из них напишет на листе бумаги свое имя, а также слова: «Да, это я разбил лампу» либо «Нет, я не разбивал лампу». Если хотя бы один ребенок признается, что разбил лампу, Марта даст по 2 доллара (обычную сумму карманных денег) каждому, кто скажет, что разбил лампу, и 5 долларов тому, кто будет утверждать, что не делал этого. Если все три сына откажутся сознаваться, ни один из них не получит карманных денег (то есть каждый получит 0 долларов).

a) Составьте таблицу игры. Пусть Артуро соответствует строка таблицы, Бернардо – столбец, а Карлосу – страница.

b) Найдите все равновесия Нэша в этой игре.

c) В этой игре множество равновесий Нэша. Какое из них вы назвали бы фокальной точкой?

S11. Рассмотрите игру, в которой на кону стоит приз в размере 30 долларов. В ней три участника – Ларри, Керли и Мо. Каждый из них может купить (или нет) билет стоимостью 15 или 30 долларов. Игроки делают выбор одновременно и независимо друг от друга. Затем, собрав информацию о решениях игроков по поводу покупки билетов, организатор игры присуждает приз. Если никто не купит билет, приз не присуждается. В противном случае приз вручается тому, кто купил самый дорогой билет, если такой человек всего один, и делится поровну между двумя или тремя игроками, если они купили самые дорогие билеты по одной цене. Представьте эту игру в стратегической форме, включив в нее Ларри в качестве игрока, которому соответствуют строки, Керли – столбцы, а Мо – страницы. Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях.

S12. Анна и Брюс намерены взять напрокат фильм, но не могут решить, какой именно. Анна хочет комедию, в Брюс – драму. Они решают сделать выбор случайным образом, сыграв в игру «чет или нечет». На счет три каждый из них выбрасывает один или два пальца. Если сумма пальцев представляет собой четное число, побеждает Энн и они берут напрокат комедию, если нечетное, то выигрывает Брюс и они смотрят драму. Каждый игрок получает выигрыш 1 за победу и 0 за проигрыш в игре «чет или нечет».

a) Нарисуйте таблицу игры «чет или нечет».

b) Покажите, что в этой игре нет равновесия Нэша в чистых стратегиях.

S13. В фильме «Игры разума» Джон Нэш и трое его коллег по магистратуре, придя в бар, сталкиваются с дилеммой. В баре находятся четыре брюнетки и одна блондинка. Каждый молодой человек хочет подойти и привлечь внимание одной из девушек. Выигрыш каждого за блондинку составляет 10, за брюнетку – 5, а если кто-то вообще останется без девушки, то 0. Проблема в том, что, если сразу несколько парней подойдут к блондинке, она отвергнет их всех, после чего брюнетки тоже их отвергнут, поскольку не хотят быть вторыми в очереди. Таким образом, каждый игрок получит выигрыш 10 только в случае, если окажется единственным претендентом на внимание блондинки.

a) Сначала упростите ситуацию, заменив четырех парней двумя, и проанализируйте ее. (В баре две брюнетки и одна блондинка, но девушки просто реагируют на действия парней вышеописанным образом и не являются активными участницами игры.) Составьте таблицу выигрышей для этой игры и найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях, присутствующие в ней.

b) Теперь постройте трехмерную таблицу для случая, когда в игре участвуют три молодых человека (а также три брюнетки и одна блондинка, которые не являются активными игроками). Снова найдите в ней равновесия Нэша.

c) Не прибегая к таблице, назовите все равновесия Нэша для изначальной ситуации.

d) (дополнительное упражнение). Используйте результаты, полученные в пунктах а, b и c, чтобы обобщить анализ на ситуацию, когда в игре участвуют n молодых людей. Не пытайтесь строить n-мерную таблицу выигрышей, просто вычислите выигрыш одного игрока в случае, если k других игроков выберут блондинку и (n – k – 1) выберут брюнетку, при k = 0, 1… (n – 1). Может ли исход, указанный в фильме в качестве равновесия Нэша (когда все молодые люди подойдут к брюнеткам), быть действительно равновесием Нэша в данной игре?

U1. Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях для представленных ниже игр. Сначала проверьте таблицу игры на наличие доминирующих стратегий. Если таковых нет, решите игру посредством итеративного исключения доминируемых стратегий.

a)

b)

c)

b)

U2. Для каждой из четырех игр, представленных в упражнении U1, определите, это игра с нулевой или с ненулевой суммой. Объясните логику своих рассуждений.

U3. Как и в упражнении S3, используйте метод минимакса для поиска равновесий Нэша в играх с нулевой суммой, найденных в упражнении U2.

U4. Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях в следующих играх. Опишите шаги, которые вы при этом предпринимали.

a)

b)

c)

b)

U5. Используйте метод последовательного исключения доминируемых стратегий для решения следующей игры. Опишите шаги, которые вы для этого предприняли. Покажите, что ваше решение представляет собой равновесие Нэша.

U6. Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях для следующей игры. Опишите процесс, который вы при этом использовали. Объясните на примере данной игры, почему важно описывать равновесие с применением стратегий, выбранных игроками, а не только выигрышей, полученных в таком равновесии.

U7. Проанализируйте следующую таблицу игры:

a) Проставьте недостающие выигрыши в таблице таким образом, чтобы у Колина была доминирующая стратегия. Укажите, какая стратегия доминирующая, и объясните почему. (Обратите внимание: существует много в равной степени правильных ответов.)

b) Проставьте недостающие выигрыши в таблице таким образом, чтобы ни у одного игрока не было доминирующей стратегии, но при этом у каждого была доминируемая стратегия. Укажите, какие стратегии доминируемые, и объясните почему. (В этом случае тоже существует много в равной степени правильных ответов.)

U8. Битва в море Бисмарка (по названию моря в юго-западной части Тихого океана, отделяющего архипелаг Бисмарка от Папуа – Новой Гвинеи) представляла собой морское сражение между Соединенными Штатами и Японией во время Второй мировой войны. В 1943 году японский адмирал получил приказ провести конвой кораблей в Новую Гвинею. Ему предстояло сделать выбор между дождливым северным маршрутом и более солнечным южным, каждый из которых требовал трех дней плавания. Американцы знали об отплытии конвоя и хотели послать вслед за ним бомбардировщики, но им не было известно, по какому пути отправится конвой. Американцам пришлось послать самолеты-разведчики на поиски конвоя, но их хватало только на изучение одного маршрута за один раз. И американцам, и японцам приходилось принимать решения, не имея никакой информации о планах другой стороны.

Если бы конвой оказался на маршруте, который американцы исследовали первым, они сразу же послали бы туда бомбардировщики, в противном случае они потеряли бы день. Кроме того, плохая погода на северном маршруте тоже затрудняла бомбардировку. Если бы американцы изучили северный маршрут и сразу же обнаружили японцев, они могли бы рассчитывать только на два (из трех) благоприятных дня для бомбардировки; если бы при изучении северного маршрута они обнаружили, что японцы ушли на юг, они тоже могли бы рассчитывать на два дня бомбардировки. Если бы американцы решили сначала исследовать южный маршрут, они могли бы рассчитывать на три полных благоприятных дня для бомбардировки, если бы обнаружили японцев сразу же, и только на один день, если бы увидели, что японцы предпочли северный маршрут.

a) Представьте эту игру в виде таблицы игры.

b) Определите в ней все доминирующие стратегии и вычислите равновесие Нэша.

U9. Двух игроков, Джека и Джилл, поместили в разные комнаты. Затем каждому из них объяснили правила игры. Каждый должен выбрать одну из шести букв: G, K, L, Q, R и W. Если случится так, что оба выберут одну и ту же букву, они получат призы по следующей схеме.

При выборе разных букв каждый игрок получит 0. Всю эту схему доводят до сведения игроков, и обоим говорят, что они оба знают эту схему.

a) Составьте таблицу этой игры. Каковы равновесия Нэша в чистых стратегиях?

b) Может ли одно из равновесий быть фокальной точкой? Какое? Почему?

U10. Три подруги (Джулия, Кристин и Лариса) независимо друг от друга идут покупать платья для выпускного бала. В магазине каждая девушка видит только три платья, которые достойны внимания: черное, бледно-лиловое и желтое. Более того, каждая девушка готова утверждать, что двух ее подруг тоже заинтересовал бы именно этот набор платьев, поскольку у всех троих примерно одинаковые вкусы.

Каждая девушка хотела бы надеть на выпускной бал единственное в своем роде платье, поэтому для нее полезность платья равна 0, если она купит одинаковое платье с кем-то из подруг. Все трое знают, что Джулия однозначно отдаст предпочтение черному перед бледно-лиловым и желтым цветом, поэтому она получила бы полезность 3, если бы была единственной девушкой в черном платье, и полезность 1, если бы только у нее было платье бледно-лилового или желтого цвета. Точно так же все трое знают, что Кристин нравится бледно-лиловый цвет и только во вторую очередь желтый, поэтому ее полезность составила бы 3, если бы только она надела бледно-лиловое платье, 2 – желтое и 1 – черное. И наконец, всем известно, что Лариса обожает желтый, а затем черный, поэтому она получила бы 3, если бы выбрала желтое платье, 2 – черное и 1 – бледно-лиловое.

a) Составьте таблицу для этой игры с участием трех игроков. Пусть Джулии соответствуют строки таблицы, Кристин – столбцы, Ларисе – страницы.

b) Определите все доминируемые стратегии в игре или объясните причину их отсутствия.

c) Каковы равновесия Нэша в чистых стратегиях в этой игре?

U11. Брюс, Колин и Дэвид собираются в доме Дэвида в пятницу вечером, чтобы поиграть в «Монополию». Все трое любят есть суши во время игры. По предыдущему опыту они знают, что двух порций суши вполне достаточно, чтобы утолить голод. Если они закажут меньше двух порций, то останутся голодными и не получат удовольствия от вечера, заказывать больше двух порций тоже не имеет смысла, поскольку они столько не съедят и третья порция испортится. Их любимый ресторан Fishes in the Raw упаковывает суши в такие большие контейнеры, что один человек может купить максимум одну порцию. Ресторан Fishes in the Raw предлагает суши навынос, но, к сожалению, не осуществляет доставку.

Предположим, полезность достаточного количества суши составляет для каждого игрока 20 долларов, а недостаточного – 0 долларов. Каждому игроку, который забирает заказ суши, это обходится в 10 долларов.

К сожалению, друзья забыли договориться о том, кто будет покупать суши в эту пятницу, и у них нет мобильных телефонов, поэтому они должны независимо друг от друга решить, покупать суши (П) или нет (Н).

a) Опишите эту игру в стратегической форме.

b) Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях.

c) Какое равновесие вы назвали бы фокальной точкой? Объясните логику своих рассуждений.

U12. Роксанна, Сара и Тед очень любят печенье, но в упаковке осталось только одно. Никто не хочет делить его на части, поэтому Сара предлагает сыграть в следующий вариант игры «чет или нечет» (см. упражнение S12), для того чтобы определить, кто съест печенье. На счет три каждый игрок выбрасывает один или два пальца, затем игроки их суммируют и делят сумму на 3. Если остаток 0, печенье достается Роксанне, если 1, то Саре, а если 2, то Теду. Каждый из игроков получает выигрыш 1, если победит (и съест печенье), и 0 в противном случае.

a) Представьте эту игру с тремя участниками в форме таблицы, где Роксанне соответствуют строки, Саре – столбцы, Теду – страницы.

b) Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях. Можно ли назвать эту игру справедливым способом поделить печенье? Объясните, почему да или нет.

U13 (дополнительное упражнение). Постройте матрицу выигрышей для игры с двумя участниками, удовлетворяющей следующим требованиям. Во-первых, у каждого игрока должно быть три стратегии. Во-вторых, в игре не должны отсутствовать доминирующие стратегии. В-третьих, игра не должна быть разрешима методом минимакса. В-четвертых, в игре должно быть ровно два равновесия Нэша в чистых стратегиях. Составьте матрицу игры, а затем продемонстрируйте, что все перечисленные выше условия соблюдены.