Текст книги "Стратегические игры. Доступный учебник по теории игр"

Мы рассмотрим дополнительные сведения о других прогнозах, основанных на теории игр, в соответствующих разделах следующих глав. К настоящему моменту представленные выше экспериментальные и эмпирические данные должны выработать у вас осторожный оптимизм по отношению к использованию равновесия Нэша, особенно в качестве первого подхода. В целом мы убеждены, что вы сможете достаточно уверенно применять концепцию равновесия Нэша в случаях многократного проведения игры между игроками, составляющими достаточно устойчивую совокупность, при относительно неизменных правилах и условиях. В случае новой игры или игры, разыгрываемой только один раз, с неопытными игроками, концепцию равновесия следует использовать более осмотрительно; при этом для вас не должен стать неожиданностью тот факт, что исход игры окажется не тем равновесием, на которое вы рассчитали. Но даже тогда вашим первым шагом в процессе анализа игры должен быть поиск равновесия Нэша. Это позволит определить, возможен ли такой исход игры, и если нет, выполнить следующий шаг – выяснить причину[83]83
  В статье, авторы которой пытаются найти недостатки равновесия Нэша в экспериментальных данных и в которой представлены альтернативные модели преодоления этих недостатков, основанные на концепции квантильного равновесия, два известных исследователя пишут: «Мы первыми готовы признать, что начинаем анализ новой стратегической задачи с рассмотрения равновесий, полученных посредством стандартной теории игр, прежде чем рассматривать другие возможности». См. Jacob K. Goeree and Charles A. Holt, “Ten Little Treasures of Game Theory and Ten Intuitive Contradictions,” American Economic Review, vol. 91, no. 5 (December 2001), pp. 1402–22.


[Закрыть]. Зачастую она кроется в вашем неправильном понимании целей игроков, а не в их неспособности вести игру правильно с учетом своих истинных целей.

Когда участники игры с одновременными ходами могут делать выбор из непрерывного диапазона возможных действий, анализ наилучших ответов приводит к формированию правил наилучших ответов, одновременное решение которых позволит определить стратегии равновесия Нэша. Правила наилучших ответов можно отобразить на графике, на котором пересечение двух линий представляет собой равновесие Нэша. Компании, выбирающие цены или количество из большого диапазона возможных значений, или политические партии, выбирающие объемы рекламных расходов, – примеры игр с непрерывными стратегиями.

Теоретические замечания в адрес концепции равновесия Нэша гласят, что она неадекватно учитывает риск, что от нее мало пользы, поскольку во многих играх присутствует множество равновесий Нэша, и что ее невозможно обосновать только рациональностью. Во многих случаях более полное описание игры и ее структуры выигрышей или уточнение самой концепции равновесия Нэша может привести к составлению более точных прогнозов или уменьшению количества возможных равновесий. Концепция рационализации основана на исключении стратегий, которые не могут быть наилучшим ответом, для получения совокупности рационализируемых исходов. Когда в игре есть равновесие Нэша, этот исход будет рационализируемым, однако рационализация позволяет спрогнозировать равновесные исходы и в играх, где равновесие Нэша отсутствует.

Согласно результатам лабораторных экспериментов с концепцией равновесия Нэша, координация в играх со множеством равновесий Нэша в значительной мере зависит от наличия общего культурного опыта. Повторное проведение некоторых игр показывает, что игроки учатся в процессе накопления опыта и со временем начинают выбирать стратегии, максимально близкие к равновесию Нэша. Кроме того, прогнозы равновесий точны только в случае, если исходные предположения экспериментатора соответствуют истинным предпочтениям игроков. Практическое применение теории игр помогло экономистам и политологам понять ряд важных аспектов поведения потребителей, компаний, избирателей, а также законодательных и правительственных органов.

График наилучших ответов

Непрерывные стратегии

Правила наилучших ответов

Равновесие квантильных откликов

Рационализация

Рационализируемые стратегии

Стратегии, которые не могут быть наилучшим ответом

Уточнения

S1. В игре с политической рекламой, о которой шла речь в разделе 1.Б, партия Л выбирает рекламный бюджет в размере x (миллионов долларов), а партия П – в размере y (миллионов долларов). Мы показали, что правила наилучших ответов в этой игре таковы: для партии П и  для партии Л.

a) Каким будет наилучший ответ партии П, если партия Л потратит на рекламу 16 миллионов долларов?

Используйте указанные выше правила наилучших ответов для подтверждения того, что рекламные бюджеты, обеспечивающие равновесие Нэша, составляют: x = y = 25, или 25 миллионов долларов.

S2. В игре с ценообразованием в ресторанах, представленной на рис. 5.1, функции потребительского спроса на блюда в ресторанах Xavier’s (Q_x) и Yvonne’s (Q_y) определены как Q_x = 44 – 2P_x + P_y и Q_y = 44 – 2P_y + P_x. Кроме того, прибыль каждого ресторана зависит от затрат на обслуживание каждого клиента. Предположим, ресторану Yvonne’s удастся их сократить до 2 долларов на одного клиента, полностью отказавшись от официантов (клиенты сами выбирают блюда у стойки, а несколько оставшихся работников убирают посуду со столов). Ресторан Xavier’s по-прежнему несет расходы в размере 8 долларов на одного клиента.

a) Вычислите заново правила наилучших ответов и цены в соответствии с равновесием Нэша для этих двух ресторанов с учетом изменения объема затрат.

b) Постройте график двух кривых наилучших ответов и опишите различия между ним и графиком, представленным на рис. 5.1. В частности, какая линия сместилась, куда и насколько? Объясните почему.

S3. В Яппи-Тауне два продуктовых магазина: La Boulangerie, который продает хлеб, и La Fromagerie, который торгует сыром. Производство буханки хлеба обходится в 1 доллар, а фунта сыра – в 2 доллара. Если цена La Boulangerie составляет P₁ долларов за буханку хлеба, а La Fromagerie – P₂ доллара за фунт сыра, то их недельные объемы продаж, Q₁ буханок хлеба и Q₂ фунтов сыра, описываются следующими уравнениями:

Q₁ = 14 – P₁ – 0,5P₂, Q₂ = 9–0,5P₁ – P₂.

a) Запишите прибыль каждого магазина как функцию P₁ и P₂ (в следующих упражнениях мы для краткости будем называть ее функцией прибыли). Затем установите соответствующие правила наилучших ответов. Постройте график кривых наилучших ответов и определите цены, соответствующие равновесию Нэша в этой игре.

b) Предположим, оба магазина вступят в сговор и совместно установят цены, позволяющие максимизировать общую сумму своих прибылей. Определите эти цены.

c) Дайте короткое интуитивное объяснение различий между ценами в случае равновесия Нэша и ценами, максимизирующими общую прибыль. Почему максимизация общей прибыли не является равновесием Нэша?

d) В данной задаче хлеб и сыр – взаимодополняющие продукты. Их часто потребляют вместе; именно поэтому снижение цены одного продукта приводит к увеличению объема продаж другого. В ресторанах из примера, приведенного в разделе 1.А, используются взаимозаменяющие продукты. Как это различие объясняет разницу между вашими выводами в отношении правил наилучших ответов, цен в равновесии Нэша и цен, максимизирующих общую прибыль?

S4. В игре на рис. 5.3 есть единственное равновесие Нэша в чистых стратегиях. Тем не менее все девять ее исходов будут рационализируемыми. Обоснуйте это утверждение, объясняя логику своих рассуждений по каждому исходу.

S5. Перечислите рационализруемые стратегии каждого игрока в игре, представленной в упражнении S5 главы 4. Объясните логику своих рассуждений.

S6. В разделе 3.Б данной главы анализируется игра в рыбную ловлю, разыгрываемая в небольшом прибрежном городке. После определения правил наилучших ответов двух лодок можно использовать концепцию рационализации для обоснования равновесия Нэша в данной игре. В ее описании процесс сокращения количества стратегий, которые не могут быть наилучшим ответом, сводится к трем циклам. К третьему циклу мы знаем, что R (количество бочек рыбы, выловленной лодкой 1) должно составлять минимум 9, а S (количество бочек рыбы, выловленной лодкой 2) – минимум 4,5. Процесс сокращения в ходе этого цикла ограничил значения R диапазоном от 9 до 12,75, а значения S – диапазоном от 4,5 до 7,5. Выполните еще один (четвертый) цикл сокращений и покажите полученные к его концу диапазоны значений R и S.

S7. Две тележки для торговли кокосовым молоком (из кокосового ореха) находятся в местах 0 и 1 в одной миле друг от друга на пляже в Рио-де-Жанейро. (На этом пляже кокосовое молоко продают только эти две тележки.) Тележки 0 и 1 назначают цену за каждый кокос p₀ и p₁ соответственно. Кокосовое молоко покупает тысяча отдыхающих, равномерно распределенных вдоль пляжа между тележками 0 и 1. В течение одного дня, проведенного на пляже, один отдыхающий покупает одну порцию кокосового молока. Помимо цены каждый отдыхающий несет транспортные издержки в размере 0,5 × d² где d – расстояние (в милях) от его пляжного места до кокосовой тележки. В данной системе тележка 0 продает кокосовое молоко всем отдыхающим, находящимся между точками 0 и x, а тележка 1 – всем отдыхающим между точками x и 1, где x – это местоположение отдыхающего, который платит одну и ту же общую цену, куда бы он ни отправился – к тележке 0 или к тележке 1. В таком случае местоположение точки x описывает следующая формула:

p₀ + 0,5x² = p₁ + 0,5(1 – x)².

Две тележки установят цены таким образом, чтобы максимизировать свои показатели чистой прибыли B; прибыль зависит от дохода (цена, установленная тележкой, умноженная на количество покупателей) и издержек (каждая тележка несет издержки в размере 0,25 доллара на один кокос, умноженные на количество проданных кокосов).

a) Выведите для каждой тележки формулу, описывающую количество обслуженных покупателей как функцию от p₀ и p₁. (Помните, что тележка 0 обслуживает покупателей, находящихся между точками 0 и x, то есть просто x, а тележка 1 обслуживает покупателей между точками x и 1, или 1 – x. Иными словами, тележка 0 продает кокосовое молоко x покупателям, а тележка 1 (1 – x) покупателям, где x и (1 − х) исчисляются в тысячах.)

b) Запишите функции прибыли для двух тележек. Определите правила наилучших ответов для обеих тележек как функцию от цены конкурента.

c) Постройте график правил наилучших ответов, а затем вычислите (и покажите на графике) соответствующий равновесию Нэша уровень цен на кокосовое молоко, продающееся на пляже.

S8. Нефть транспортируется по всему миру в танкерах класса VLCC (водоизмещением свыше 160 тысяч тонн). По состоянию на 2001 год более 92 процентов всех танкеров класса VLCC были построены в Южной Корее и Японии. Допустим, цена новых танкеров VLCC (в миллионах долларов) определяется функцией P = 180 – Q, где Q – количество построенных танкеров, Q = q_Корея + q_Япония. (То есть будем исходить из того, что такие танкеры выпускают только в Японии и Корее, стало быть, они образуют дуополию.) Предположим, затраты на строительство каждого танкера составляют 30 миллионов долларов как в Корее, так и в Японии. Иначе говоря, c_Корея = c_Япония = 30, где затраты на один танкер измеряются в миллионах долларов.

a) Запишите функции прибыли для каждой из двух стран, выраженные через q_Корея и q_Япония, а также либо c_Корея, либо c_Япония. Найдите функцию наилучшего ответа каждой страны.

b) С помощью функций наилучших ответов, вычисленных в пункте а, отыщите соответствующее равновесию Нэша количество танкеров класса VLCC, выпускаемых каждой страной в год. Какова цена танкера VLCC? Какую прибыль получает каждая страна?

c) Затраты на оплату труда на корейских верфях существенно ниже, чем на японских. Теперь предположим, что стоимость строительства одного танкера в Японии составляет 40 миллионов долларов, а в Корее – всего 20 миллионов долларов. Если c_Корея = 20, а c_Япония = 40, какова рыночная доля каждой страны (то есть процент танкеров, которые продает каждая страна, от общего количества проданных танкеров)? Какова прибыль каждой страны?

S9. Расширим предыдущую задачу. Предположим, на рынок строительства танкеров класса VLCC решит выйти Китай. Дуополия, соответственно, превратится в триополию, а значит, хотя цена по-прежнему рассчитывается как P = 180 – Q, количество построенных танкеров описывается формулой Q = q_Корея + q_Япония + q_Китай. Допустим, во всех странах объем затрат на строительство одного танкера составляет 30 миллионов долларов: c_Корея = c_Япония = с_Китай = 30.

a) Запишите функции прибыли для каждой из трех стран, выраженные через q_Корея, q_Япония и q_Китай, а также через c_Корея, c_Япония или с_Китай. Вычислите функцию наилучшего ответа каждой страны.

b) Воспользовавшись решением, полученным в пункте а, определите количество выпущенных танкеров, рыночную долю (см. упражнение S8, пункт с) и прибыль каждой страны. Это потребует решения трех уравнений с тремя неизвестными.

c) Как изменится цена одного танкера VLCC в новой триополии по сравнению с дуополией, представленной в пункте b упражнения S8? Почему?

S10. Моника и Нэнси создали деловое товарищество в целях предоставления консультационных услуг в гольф-индустрии. Каждой из них предстоит решить, сколько усилий вкладывать в этот бизнес. Пусть m – это количество усилий, вкладываемых Моникой, а n – Нэнси.

Общая прибыль товарищества рассчитывается по формуле 4m + 4n + mn и исчисляется в десятках тысяч долларов, а партнеры делят ее поровну. Однако партнеры должны по отдельности нести затраты, связанные с вложением усилий; объем этих затрат в случае Моники составляет m², а в случае Нэнси – n² (также исчисляются в десятках тысяч долларов). Каждая участница товарищества должна принять решение о количестве усилий, не зная о решении коллеги.

a) Если Моника и Нэнси вложат в бизнес усилия m = n = 1, какой выигрыш получит каждая из них?

b) Если Моника вложит усилия m = 1, каким должен быть наилучший ответ Нэнси?

c) Каково равновесие Нэша в этой игре?

S11. Равновесие Нэша можно получить посредством рационализации в играх с кривыми наилучших ответов, направленными вверх, если циклы исключения стратегий, которые не могут быть наилучшими ответами, начинаются с минимально возможных значений. Рассмотрим игру в ценообразование между ресторанами Xavier’s Tapas Bar и Yvonne’s Bistro, представленную на рис. 5.1. Используйте рис. 5.1 и правила наилучших ответов, на основании которых он получен, чтобы приступить к рационализации равновесия Нэша в этой игре. Начните с самых низких цен в двух ресторанах и опишите (минимум) два цикла сужения совокупности рационализируемых цен до равновесия Нэша.

S12. Профессор предлагает Эльзе и ее 49 однокурсникам сыграть в следующую игру. Все студенты одновременно и втайне друг от друга записывают на листках бумаги число от 0 до 100, после чего сдают листки профессору. Тот подсчитывает Х – среднее чисел, выбранных студентами. Студент, число которого окажется наиболее близким к половине от Х, получает 50 долларов. Если такое число выберут несколько студентов, они делят приз поровну.

a) Докажите, что выбор числа 80 – доминируемая стратегия.

b) Какой была бы совокупность наилучших ответов для Эльзы, если бы она знала, что все однокурсники выберут число 40? То есть каков диапазон чисел, в котором каждое число ближе к выигрышному числу, чем 40?

c) Какой была бы совокупность наилучших ответов для Эльзы, если бы она знала, что все ее однокурсники выберут число 10?

d) Найдите симметричное равновесие Нэша в этой игре. Иными словами, какое число будет наилучшим ответом на выбор всеми остальными игроками одного и того же числа?

e) Какие стратегии в этой игре будут рационализируемыми?

U1. Diamond Trading Company (DTC), дочерняя компания De Beers, – основной поставщик высококачественных алмазов на оптовый рынок. Для простоты предположим, что DTC имеет монополию на оптовую торговлю алмазами. Следовательно, их оптовая цена напрямую зависит от количества алмазов, которое решает продать компания DTC. Пусть оптовую цену алмазов (в сотнях долларов) описывает следующая функция обратного спроса: P = 120 – Q_DTC, где Q_DTC – количество продаваемых алмазов. Допустим, DTC несет издержки в размере 12 (сотен долларов) на один алмаз высокого качества.

a) Запишите функцию прибыли DTC, выраженную через Q_DTC, и вычислите объем поставок алмазов, обеспечивающий DTC максимальную прибыль. Какой будет оптовая цена алмазов при таком объеме поставок? Какова прибыль DTC?

Возмущенные монополией DTC, несколько компаний по добыче алмазов и крупных ретейлеров создали совместное предприятие под названием Adamantia в качестве конкурента DTC на оптовом рынке алмазов. Теперь оптовая цена алмазов определяется по формуле P = 120 – Q_DTC – Q_ADA. Предположим, Adamantia несет издержки в размере 12 (сотен долларов) на один алмаз высокого качества.

b) Запишите функцию прибыли компаний DTC и Adamantia. Какое количество алмазов поставляет на оптовый рынок каждая из них в случае равновесия? Какую оптовую цену алмазов подразумевает такое количество? Какую прибыль получит каждый поставщик в такой дуополии?

c) Опишите различия между ситуацией на оптовом рынке алмазов в случае дуополии с участием DTC и Adamantia и монополии DTC. Что произойдет с объемом поставок алмазов на рынок и рыночной ценой в связи с выходом на него Adamantia? Что произойдет с совокупной прибылью компаний DTC и Adamantia?

U2. В городе Харкинсвилль есть два кинотеатра: Modern Multiplex, осуществляющий премьерные показы, и Sticky Shoe, демонстрирующий фильмы, вышедшие в прокат ранее, по более низкой цене. Спрос на фильмы в Modern Multiplex описывается формулой Q_MM = 14 – P_MM + P_SS, а в Sticky Shoe – формулой Q_SS = 8–2P_SS + P_MM, где цены измеряются в долларах, а количество – в сотнях кинозрителей. В кинотеатре Modern Multiplex объем затрат на одного зрителя составляет 4 доллара, а в Sticky Shoe – всего 2 доллара.

a) На основании уравнений спроса определите, какие услуги предоставляют кинотеатры Modern Multiplex и Sticky Shoe – взаимозаменяющие или взаимодополняющие.

b) Запишите функцию прибыли каждого кинотеатра, выраженную через P_SS и P_MM. Определите правило наилучших ответов для каждого кинотеатра.

c) Определите цену, количество и прибыль каждого кинотеатра в соответствии с равновесием Нэша.

d) Какими бы были значения цены и количества для каждого кинотеатра, если бы они вступили в сговор в целях максимизации общей прибыли на этом рынке? Почему исход, основанный на сговоре, не будет равновесием Нэша?

U3. Перенесемся на десять лет в будущее в ситуации, представленной в упражнении S3. Спрос на хлеб и сыр в Яппи-Тауне снизился, и два магазина, La Boulangerie и La Fromagerie, выкупила третья компания – L’Épicerie. Производство буханки хлеба по-прежнему обходится в 1 доллар, а фунта сыра – в 2 доллара, однако количество продаваемого хлеба и сыра (Q₁ и Q₂ соответственно, в тысячах) теперь описывается следующими уравнениями:

Q₁ = 8 – P₁ – 0,5P₂, Q₂ = 16 – 0,5P₁ – P₂.

Как и прежде, P₁ – это цена буханки хлеба в долларах, а P₂ – цена фунта сыра в долларах.

a) Поначалу компания L’Épicerie управляет магазинами La Boulangerie и La Fromagerie так, будто это две отдельные компании с независимыми управляющими, каждый из которых пытается максимизировать прибыль своего магазина. Определите количество, цену и прибыль этих двух подразделений L’Épicerie в соответствии с равновесием Нэша с учетом новых уравнений количества продаваемого хлеба и сыра.

b) Владельцы L’Épicerie считают, что могут получить более высокую общую прибыль посредством координации стратегий ценообразования в подразделениях своей компании в Яппи-Тауне. Какова цена хлеба и сыра, максимизирующая общую прибыль, при условии такого сговора? Какое количество каждого продукта продают магазины La Boulangerie и La Fromagerie, и какую прибыль получает каждый из них в отдельности?

c) Почему компании порой продают часть своей продукции по цене ниже себестоимости? Дайте логическое обоснование продажи продукции с убытком, воспользовавшись своим ответом из пункта b в качестве иллюстрации.

U4. Тележки для торговли кокосовым молоком из упражнения S7 снова установили на следующий день. Почти все условия прежние: тележки находятся в тех же местах; количество и распределение отдыхающих такое же; спрос тоже не изменился – одна порция кокосового молока. Единственное отличие – это неимоверно жаркий день, поэтому каждый отдыхающий несет более высокие транспортные издержки в размере 0,6 × d². Как и прежде, тележка 0 продает кокосовое молоко всем отдыхающим, находящимся между точками 0 и x, а тележка 1 – всем отдыхающим между точками x и 1, где x – это местоположение отдыхающего, который платит одну и ту же общую цену, куда бы он ни отправился – к тележке 0 или 1. Однако теперь местоположение точки x определяется выражением

p₀ + 0,6x² = p₁ + 0,6(1 – x)².

Каждая тележка продолжает нести издержки в размере 0,25 доллара на один проданный кокос.

a) Для каждой тележки выведите формулу, описывающую количество обслуженных покупателей как функцию от p₀ и p₁. (Не забывайте, что тележка 0 обслуживает покупателей, находящихся между точками 0 и x, то есть просто x, а тележка 1 – между точками x и 1, или 1 – x. Иными словами, тележка 0 продает кокосовое молоко x покупателям, а тележка 1 – (1 – x) покупателям, где x и (1 – х) исчисляются в тысячах.)

b) Запишите функции прибыли для двух тележек и определите для них правила наилучших ответов.

c) Вычислите соответствующий равновесию Нэша уровень цен на кокосовое молоко, продающееся на пляже. Как эта цена отличается от цены, рассчитанной в упражнении S7? Почему?

U5. В игре, представленной на рис. 5.4, есть единственное равновесие Нэша в чистых стратегиях. Найдите его и покажите, что оно будет также рационализируемым исходом данной игры.

U6. Найдите рационализируемые стратегии игры «чет или нечет» из упражнения S12 в главе 4.

U7. В игре с рыболовными лодками в разделе 3.Б мы показали, как может сложиться ситуация, когда единственный рационализируемый исход в непрерывных стратегиях представляет собой также и равновесие Нэша. Тем не менее так бывает не всегда: может существовать множество рационализируемых стратегий, и не все из них обязательно будут частью равновесия Нэша.

Вернувшись к игре в политическую рекламу из упражнения S1, найдите совокупность рационализируемых стратегий для партии Л. (Учитывая симметричные выигрыши двух партий, совокупность рационализируемых стратегий будет такой же и для партии П.)

U8. Компании Intel и AMD, основные производители центральных процессоров, конкурируют друг с другом в категории микросхем (чипов) средней производительности (среди прочих категорий). Предположим, что мировой спрос на такие чипы зависит от их количества, выпускаемого двумя компаниями, а значит цена (в долларах) микросхем средней производительности определяется по формуле P = 210 – Q, где Q = q_Intel + q_AMD – количество микросхем, исчисляемое в миллионах. Производство каждого чипа обходится Intel в 60 долларов. В AMD процесс производства организован лучше, поэтому ей производство каждой микросхемы обходится в 48 долларов.

a) Запишите функцию прибыли каждой компании, выраженную через q_Intel и q_AMD. Определите правило наилучших ответов каждой компании.

b) Вычислите цену, количество и прибыль каждой компании в соответствии с равновесием Нэша.

c) (дополнительное упражнение). Предположим, Intel приобрела AMD и теперь имеет два подразделения с разными производственными затратами. Компания, образовавшаяся в результате поглощения, стремится максимизировать общую прибыль двух подразделений. Сколько микросхем должно производить каждое подразделение? (Подсказка: возможно, вам придется хорошенько поразмышлять над этой задачей, а не слепо применять математические методы.) Какова рыночная цена и совокупная прибыль компании?

U9. Вернемся к игре с триополией на рынке танкеров класса VLCC из упражнения S9. В действительности у этих стран не одинаковые издержки производства. Китай постепенно, в течение нескольких лет, выходит на этот рынок, и из-за отсутствия опыта его издержки производства с самого начала были достаточно высокими.

a) Определите количество, рыночную цену и прибыль участников триополии в случае, когда затраты на один танкер составляют 20 миллионов долларов в Корее, 40 миллионов долларов в Японии и 60 миллионов долларов в Китае (c_Корея = 20, c_Япония = 40, c_Китай = 60).

После того как Китай накопит больше опыта и увеличит производственные мощности, его издержки производства существенно сократятся. Поскольку в Китае рабочая сила еще дешевле, чем в Корее, в конечном счете затраты на строительство одного танкера станут в Китае даже меньше, чем в Корее.

b) Выполните то же задание, что и в пункте а, но с условием, что затраты Китая на один танкер составляют 16 миллионов долларов (c_Корея = 20, c_Япония = 40, c_Китай = 16).

U10. Вернемся к истории Моники и Нэнси из упражнения S10. После дополнительной профессиональной подготовки Моника более эффективно выполняет работу, поэтому теперь общая прибыль их компании рассчитывается по формуле 5m + 4n + mn в десятках тысяч долларов. Как и прежде, m – количество усилий, вкладываемых в бизнес Моникой, а n – Нэнси; затраты обеих составляют m² и n² соответственно (в тысячах долларов).

Условия партнерства по-прежнему требуют разделения прибыли поровну, несмотря на то, что Моника более продуктивна. Предположим, Моника и Нэнси принимают решения о вложении усилий одновременно.

a) Каким должен быть наилучший ответ Моники в случае, если, по ее оценкам, Нэнси будет вкладывать усилия в размере n = ⁴/₃?

b) Найдите равновесие Нэша в этой игре.

c) По сравнению с равновесием Нэша, найденным в пункте c упражнения S10, Моника вкладывает больше, меньше или столько же усилий? Что можно сказать о Нэнси?

d) Каковы итоговые выигрыши Моники и Нэнси в новом равновесии Нэша (после разделения общей прибыли с учетом затрат на вложенные усилия)? Как они отличаются от выигрышей обеих при прежнем равновесии Нэша? Кто в конечном счете получает большую выгоду от дополнительной подготовки Моники?

U11. Профессор предлагает Эльзе и ее 49 однокурсникам сыграть в новую игру. Как и прежде, все студенты одновременно и втайне друг от друга записывают на листках бумаги число от 0 до 100, после чего профессор вычисляет среднее выбранных чисел и обозначает его символом X. На этот раз студент, число которого окажется наиболее близким к 2/3 × (X + 9), получит 50 долларов. Если такое число выберут несколько студентов, они разделят приз поровну.

a) Найдите симметричное равновесие Нэша в этой игре. То есть какое число станет наилучшим ответом на выбор всеми остальными игроками одного и того же числа?

b) Докажите, что выбор числа 5 – это доминируемая стратегия. (Подсказка: каким должно быть среднее значение X для всей группы, чтобы ожидаемое число было равно 5?)

c) Докажите, что выбор числа 90 – это доминируемая стратегия.

d) Определите все доминируемые стратегии.

e) Предположим, Эльза убеждена, что никто из ее однокурсников не выберет доминируемые стратегии, найденные в пункте d. Учитывая эти убеждения, какие стратегии не могут быть наилучшими ответами для Эльзы?

f) Какие стратегии в этой игре рационализируемые? Объясните логику ваших рассуждений.

U12 (дополнительное упражнение, требующее вычислений). Вспомните игру с политической рекламной кампанией партий Л и П из раздела 1.В. В ней, когда партия Л тратит на рекламу x миллионов долларов, а партия R – y миллионов долларов, Л получает долю голосов x / (x + y), а П – y / (x + y). Мы также упоминали, что в такой модели может возникнуть два типа асимметрий между партиями. У одной партии (скажем, П) может быть возможность размещать рекламу по более низкой цене, или рекламный бюджет партии П может оказаться более эффективным с точки зрения привлечения голосов избирателей по сравнению с бюджетом партии Л. Для того чтобы учесть обе возможности, мы можем записать функции выигрышей двух партий следующим образом:

Эти функции выигрышей показывают, что у партии П есть преимущество в плане относительной эффективности ее рекламы при высоком значении k и при низком значении c.

a) Используйте эти функции выигрышей для получения функций наилучших ответов для партии П (которая выбирает y) и Л (которая выбирает x).

b) С помощью калькулятора или компьютера постройте график этих функций наилучших ответов при k = 1 и c = 1. Какой результат обеспечивает преимущество в отношении затрат на рекламу?

c) Сравните график из пункта b при k = 1 и c = 1 с графиком при k = 2 и c = 1. Какой результат обеспечивает преимущество в плане эффективности рекламного бюджета?

d) Найдите решения по функциям наилучших ответов, которые вы определили в пункте а, для x и y, чтобы показать, что расходы на рекламные кампании в случае равновесия Нэша составляют

e) Пусть k = 1 в равновесных уравнениях уровней расходов. Покажите, как эти два равновесных уровня расходов меняются в зависимости от значения c (то есть объясните знаки dx / dc и dy / dc). Тогда пусть c = 1; покажите, как эти два равновесных уровня расходов меняются в зависимости от значения k (то есть объясните знаки dx / dk и dy / dk). Подтверждают ли ваши ответы результаты, полученные вами в пунктах b и c данного упражнения?