Текст книги "Стратегические игры. Доступный учебник по теории игр"
Автор книги: Авинаш Диксит
Жанр: Зарубежная образовательная литература, Наука и Образование
Возрастные ограничения: +12
сообщить о неприемлемом содержимом
Текущая страница: 19 (всего у книги 72 страниц) [доступный отрывок для чтения: 20 страниц]
Игры, рассмотренные в предыдущих главах, были представлены либо как последовательные, либо как одновременные по своему характеру. Мы использовали соответствующие инструменты анализа для прогнозирования равновесий в играх каждого типа. В разделе 1 данной главы мы обсуждали игры с элементами как последовательного, так и одновременного выполнения ходов. Для поиска решений таких игр понадобятся оба набора инструментов. А как на счет игр, которые можно вести либо последовательно, либо одновременно? Как изменение хода конкретной игры, а значит, и соответствующих инструментов анализа может повлиять на ожидаемые исходы?
Задача превращения игры с последовательными ходами в игру с одновременными ходами требует только изменения момента выполнения ходов или наблюдаемости, при которой игроки делают выбор. Игры с последовательными ходами становятся играми с одновременными ходами, если игроки не могут видеть ходы, сделанные соперниками, до того, как походят сами. В таком случае мы бы проанализировали игру скорее посредством поиска равновесия Нэша, а не равновесия обратных рассуждений. С другой стороны, игра с одновременными ходами могла бы стать игрой с последовательными ходами, если бы один игрок мог наблюдать за действиями другого игрока до выбора своего хода.
Любые изменения правил игры способны изменить ее исходы. Ниже мы проиллюстрируем ряд возможностей, возникающих вследствие изменений в играх разных типов.
А. Превращение игр с одновременными ходами в игры с последовательными ходами
I. Преимущество первого хода. Преимущество первого хода может возникнуть вследствие изменений правил игры с одновременного на последовательное выполнение ходов. Если в версии игры с одновременными ходами множество равновесий, версия с последовательными ходами как минимум позволяет игроку, который ходит первым, выбрать предпочтительный исход игры. Мы проиллюстрируем такую ситуацию на примере игры в труса, когда два подростка мчатся на автомобилях навстречу друг другу, решительно настроенные не сворачивать. На рис. 6.5a воспроизведена стратегическая форма, представленная на рис. 4.14 в главе 4, а на рис. 6.5б и 6.5в отображены две экстенсивные формы, по одной на каждый возможный порядок выполнения ходов в игре.
.
.
.
Рис. 6.5. Версии игры в труса с одновременным и последовательным выполнением ходов
При одновременном выполнении ходов два исхода игры, при которых один игрок сворачивает («трус»), а другой едет прямо («храбрец»), – это равновесия Нэша в чистых стратегиях. Без исторического, культурного или любого другого соглашения ни один из этих исходов не может стать фокальной точкой. Анализ в главе 4 показал, что координация действий могла бы помочь участникам этой игры, например посредством договоренности чередовать два равновесия.
Если мы изменим правила игры таким образом, чтобы предоставить одному из игроков возможность ходить первым, двух равновесий больше не будет. Скорее, мы увидим, что равновесная стратегия игрока, делающего ход вторым, сводится к выбору действия, противоположного действию игрока, который ходил первым. Далее анализ методом обратных рассуждений показывает, что равновесная стратегия игрока, ходившего первым, – «ехать прямо». На рис. 6.5б и рис. 6.5в мы видим, что предоставление одному игроку возможности сделать ход первым, причем так, чтобы другой игрок видел, как он это делает, в итоге приводит к единственному равновесию обратных рассуждений, в котором игрок, сделавший первый ход, получает выигрыш 1, тогда как второй игрок – выигрыш −1. При таких правилах фактическое ведение игры не имеет никакого значения, поэтому ее последовательная версия может не представлять интереса для многих наблюдателей. Хотя подростки, скорее всего, не захотели бы играть в эту игру по измененным правилам, стратегические последствия изменения правил весьма существенны.
II. Преимущество второго хода. Преимущество второго хода может возникнуть в играх, когда одновременное выполнение ходов меняется на последовательное. Это можно проиллюстрировать на примере игры в теннис, о которой рассказывалось в главе 4. Напомним, что в этой игре Эверт планирует место возврата подачи, тогда как Навратилова решает, где обеспечивать прикрытие. В рассмотренной ранее версии игры предполагалось, что каждая ее участница умеет маскировать предстоящие ходы до самого последнего момента, поэтому, по сути, они делали их одновременно. Однако если движения Эверт перед ударом по мячу каким-то образом раскроют ее намерения, Навратилова может отреагировать и сделать второй ход в игре. Точно так же, если Навратилова наклонится в ту сторону, которую планирует прикрывать, до того как Эверт фактически выполнит возврат подачи, то Эверт становится игроком, делающим второй ход.
В этой версии игры с одновременными ходами нет равновесия в чистых стратегиях. Тем не менее при каждом порядке выполнения ходов в последовательной версии существует исход в виде единственного равновесия обратных рассуждений, причем характер этого равновесия зависит от того, кто ходит первым. Если это Эверт, то Навратилова решит прикрывать то направление, которое выбрала Эверт для удара по линии. При таком равновесии каждая теннисистка должна выигрывать очко в половине случаев. Если порядок выполнения ходов обратный, Эверт решает послать мяч в направлении, противоположном тому, которое прикрывает Навратилова; следовательно, Навратилова должна двигаться так, чтобы прикрыть удар по диагонали. В такой ситуации Эверт должна выигрывать в 80 процентах случаев. Участница игры, делающая второй ход, добивается более весомых результатов, поскольку может оптимально реагировать на ход соперницы. Для иллюстрации таких исходов вы уже умеете строить деревья игры наподобие показанных на рис. 6.5б и рис. 6.5в.
Мы вернемся к версии этой игры с одновременными ходами в главе 7 и докажем, что в ней есть равновесие Нэша в смешанных стратегиях. При этом равновесии Эверт добивается успеха в 62 процентах случаев. Следовательно, в двух версиях игры с последовательными ходами показатель результативности Эверт при равновесии в смешанных стратегиях в одновременной игре выше 50 процентов, которые она получит, делая ход первой, но ниже 80 процентов, если она будет ходить второй.
III. Оба игрока могут добиться большего. То, что в игре может быть преимущество первого или второго хода, которое блокируется при одновременном выполнении ходов, вполне понятно на интуитивном уровне. Куда больше удивляет вероятность того, что оба игрока могут добиться большего при том или ином наборе правил выполнения ходов. Мы проиллюстрируем это на примере игры с монетарной и фискальной политикой между Федеральной резервной системой и Конгрессом. В главе 4 мы анализировали эту игру с одновременными ходами; таблица выигрышей (рис. 4.5) воспроизводится на рис. 6.6a, а две версии игры с последовательными ходами представлены на рис. 6.6б и рис. 6.6 в. Для краткости обозначим стратегии Конгресса как «баланс» и «дефицит» вместо «сбалансированный бюджет» и «дефицит бюджета», а стратегии ФРС как «высокие ставки» и «низкие ставки» вместо «высокие процентные ставки» и «низкие процентные ставки».
.
.
.
Рис. 6.6. Три версии игры с монетарной и фискальной политикой
В версии этой игры с одновременными ходами доминирующая стратегия Конгресса – «дефицит», и ФРС, зная об этом, выбирает стратегию «высокие ставки», что обеспечивает обоим выигрыши 2. Почти то же самое происходит в версии игры с последовательными ходами, где первой ходит ФРС. Предвидя, что на каждый сделанный ею ход Конгресс ответит стратегией «дефицит», ФРС должна выбирать стратегию «высокие ставки», обеспечивающую выигрыш 2 вместо 1.
Однако версия с последовательными ходами, в которой Конгресс ходит первым, отличается от предыдущей. Теперь Конгресс предвидит, что на выбор им стратегии «дефицит» ФРС ответит стратегией «высокие ставки», тогда как в случае выбора им стратегии «баланс» ФРС предпочтет «низкие ставки». Из этих двух вариантов развития событий Конгресс выберет второй, поскольку он обеспечит ему выигрыш 3 вместо 2. Следовательно, равновесие обратных рассуждений при таком порядке выполнения ходов состоит в том, чтобы Конгресс выбрал сбалансированный бюджет, а Федеральная резервная система – низкие процентные ставки. В итоге Конгресс получит выигрыш 3, а ФРС – 4, что лучше для обоих игроков, чем в случае двух других версий игры.
Различие между этими двумя исходами еще более парадоксально, потому что лучший исход, полученный на рис. 6.6в, будет в случае выбора Конгрессом стратегии «баланс», доминируемой на рис. 6.6a. Для устранения кажущегося парадокса необходимо глубже понять смысл доминирования. Чтобы стратегия «дефицит» была доминирующей, с точки зрения Конгресса она должна быть лучше стратегии «баланс» при каждом конкретном выборе ФРС. Такое сравнение стратегий «дефицит» и «баланс» уместно в игре с одновременными ходами, поскольку в ней Конгресс вынужден принимать решение, не зная о выборе ФРС. Он должен проанализировать или сформулировать убеждение в отношении действия ФРС и выбрать свой наилучший ответ на это действие. В нашем примере наилучший ответ Конгресса – стратегия «дефицит». Концепция доминирования уместна также и в игре с последовательными ходами, если Конгресс ходит вторым, поскольку тогда он знает, что уже сделала ФРС, и просто выбирает свой наилучший ответ, который всегда «дефицит». С другой стороны, если Конгресс ходит первым, он не может воспринимать выбор ФРС как данность и вместо этого должен понять, как его первый ход повлияет на второй ход ФРС. В нашем примере Конгресс знает, что ФРС ответит на стратегию «дефицит» стратегией «высокие ставки», а на стратегию «баланс» – стратегией «низкие ставки». В таком случае ему ничего не остается, как выбирать из этих двух вариантов; самый предпочтительный для Конгресса исход («дефицит», «низкие ставки») становится неактуальным, поскольку ответ ФРС делает его невозможным.
Мысль о том, что доминирование может утратить статус значимой концепции для игрока, делающего первый ход, мы продолжим в главе 9. Там же мы проанализируем вероятность того, что игрок может намеренно изменить правила игры, чтобы получить право первого хода. Это позволяет игрокам менять исход игры в свою пользу.
Предположим, два игрока в нашем примере могут выбирать порядок выполнения ходов в игре. В этом случае они согласились бы с тем, что Конгресс должен ходить первым. В действительности, когда возникает угроза дефицита бюджета и инфляции, во время слушаний в различных комитетах Конгресса члены совета управляющих ФРС часто предлагают именно такие сделки: они обещают отреагировать на сокращение расходов бюджета снижением процентных ставок. Но зачастую просто устной договоренности с другим игроком недостаточно. Необходимо, чтобы при этом были выполнены формальные требования к первому ходу, а именно – чтобы он поддавался наблюдению и не менялся в дальнейшем. В контексте макроэкономической политики очень выигрышно выглядит то, что законодательный процесс фискальной политики в Соединенных Штатах весьма прозрачен и протекает достаточно медленно, тогда как монетарную политику можно быстро изменить на заседании совета управляющих ФРС. Стало быть, игра с последовательными ходами, в которой Конгресс ходит первым, а ФРС – второй, вполне реалистична.
IV. Исход игры не меняется. До сих пор мы рассматривали только игры, в которых последовательное выполнение ходов вместо одновременных обеспечивает другой исход. Однако определенные игры имеют один и тот же исход в обоих случаях, независимо от порядка выполнения ходов. Как правило, такой результат наблюдается при наличии у обоих (или у всех) игроков доминирующих стратегий. Мы продемонстрируем, как это происходит, на примере дилеммы заключенных.
Рассмотрим игру с дилеммой заключенных из главы 4, в которой мужа и жену подозревают в причастности к совершению преступления. Равновесие Нэша в этой игре с одновременными ходами состоит в признании каждым игроком своей вины (или предательстве другого игрока и отказе от сотрудничества с ним). Но как бы проходила игра, если бы один из супругов сделал наблюдаемый выбор еще до выбора второго игрока? Применение метода обратных рассуждений к дереву игры, подобному изображенному на рис. 6.5б (которое вы можете нарисовать сами для проверки наших результатов анализа), показывает, что второму игроку выгоднее признать свою вину, если первый уже признался в совершении преступления (10 лет тюрьмы вместо 25 лет) и если первый отрицает свою вину (1 год тюрьмы вместо 3 лет). С учетом такого выбора второго игрока первому игроку лучше признать свою вину (10 лет тюрьмы вместо 25 лет). Следовательно, равновесие подразумевает тюремное заключение длительностью 10 лет для обоих супругов, независимо от того, кто будет ходить первым. Таким образом, во всех трех версиях этой игры одно и то же равновесие!
Б. Другие изменения в порядке выполнения ходов
В предыдущем разделе представлены различные примеры игр, в которых правила были изменены с одновременного на последовательное выполнение ходов. Мы видели, как и почему такие изменения влияют на исход игры. Те же примеры служат и для иллюстрации того, что происходит в случае изменения правил в противоположном направлении, то есть с последовательного на одновременное выполнение ходов. Таким образом, если в игре с последовательными ходами есть преимущество первого или второго хода, оно может быть утрачено при одновременном выполнении ходов. А если определенный порядок ходов приносит выгоду обоим игрокам, то его нарушение способно навредить обоим.
Те же примеры показывают, что произойдет, если правила игры меняются, чтобы изменить ее порядок, сохранив при этом неизменным ее последовательный характер. Если в игре присутствует преимущество первого или второго хода, то игрок, который вместо первого хода делает второй, может остаться в выигрыше или в проигрыше соответственно, с противоположными изменениями в случае другого игрока. А если определенный порядок отвечает интересам обоих игроков, то навязанное извне изменение порядка игры может либо принести выгоду, либо навредить им обоим.
3. Изменение в методе анализаДерево игры – естественный способ отображения игр с последовательными ходами, а таблица выигрышей – естественный способ представления игр с одновременными ходами. Однако каждый из этих методов можно адаптировать к другому типу игр. Ниже мы покажем, как преобразовать одну форму представления информации в другую, и при этом сформулируем ряд новых идей, которые пригодятся для последующего анализа игр.
А. Представление игр с одновременными ходами с помощью дерева игры
Рассмотрим игру с обводящим ударом в теннисе, описанную в главе 4, в которой действия выполняются настолько быстро, что ходы, по сути, будут одновременными, как показано на рис. 6.5a. Однако предположим, что мы хотим представить эту игру в экстенсивной форме, то есть с помощью дерева игры, а не таблицы выигрышей, как на рис. 4.14. На рис. 6.7 показано, как это сделать.
.
Рис. 6.7. Игра в теннис с одновременными ходами, представленная в экстенсивной форме
Для того чтобы нарисовать дерево этой игры, необходимо выбрать одну ее участницу, например Эверт, которая будет делать выбор в начальном узле дерева. Ветви дерева, соответствующие двум вариантам выбора – ПЛ («по линии») и ПД («по диагонали»), заканчиваются в двух узлах, в каждом из которых делает выбор Навратилова. Однако поскольку на самом деле ходы в этой игре фактически одновременные, Навратилова должна сделать выбор, не зная, что выбрала Эверт. То есть Навратилова должна делать выбор, не зная, в каком узле она находится, – в том, к которому ведет ветвь Эверт ПЛ, или в том, к которому ведет ветвь ПД. Наша древовидная схема должна каким-то образом отображать эту нехватку информации у Навратиловой.
Мы проиллюстрируем стратегическую неопределенность Навратиловой в отношении узла, в котором она должна принимать решение, нарисовав овал, вмещающий в себя два соответствующих узла. (В качестве альтернативы можно соединить их пунктирной линией; она используется для того, чтобы отличить ее от сплошных линий, которые представляют ветви дерева.) Узлы, находящиеся в пределах этого овала или круга, называются информационным множеством игрока, делающего в них ходы. Такое множество указывает на наличие у этого игрока несовершенной информации: он не может провести различие между узлами множества на основании имеющейся информации (поскольку не может видеть ход другого игрока до того, как сделает свой ход). В соответствии с этим стратегический выбор, делаемый игроком в пределах одного информационного множества, должен подразумевать один и тот же ход во всех узлах, входящих в это множество. Иными словами, Навратилова должна выбрать либо ПЛ, либо ПД в обоих узлах данного информационного множества. Она не может выбрать ПЛ в одном узле и ПД в другом, как на рис. 6.5б, где представлена игра с последовательными ходами и Навратилова ходила второй.
В связи с этим мы должны внести коррективы в наше определение стратегии. В главе 3 мы определили ее как исчерпывающий план действий, указывающий, какие действия должен предпринимать игрок в каждом узле, в котором наступает его очередь ходить в соответствии с правилами игры. Теперь мы должны более точно определить стратегию как исчерпывающий план действий, указывающий, какие действия должен предпринимать игрок в каждом информационном множестве, в узлах которого наступает его очередь ходить в соответствии с правилами игры.
Концепция информационного множества также актуальна, когда игрок сталкивается с внешней неопределенностью в отношении некоторых условий, влияющих на его решение, а не ходов другого игрока. Например, фермер, сажающий ту или иную культуру, не знает, какая будет погода в период ее вегетации, хотя на основании своего опыта или метеорологических прогнозов может определить вероятность альтернативных возможностей. Мы можем рассматривать погоду как случайный выбор, который делает внешний игрок по имени «природа», не получающий никаких выигрышей, а просто выбирающий исходя из общеизвестных вероятностей[87]87
Некоторые считают, что природа – это недоброжелательный игрок, который играет с нами в игру с нулевой суммой, а значит, его выигрыши повышаются, когда наши падают. Например, если мы забыли взять зонтик, с большей вероятностью пойдет дождь. Мы понимаем такую позицию, но ее не подтверждают реальные статистические данные.
[Закрыть]. В таком случае мы можем включить различные узлы, соответствующие ходам природы, в информационное множество фермера, ограничивающее его выбор одним и тем же действием во всех узлах. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 6.8.
.
Рис. 6.8. Природа и информационное множество
С помощью понятия информационного множества мы можем формализовать концепции совершенной и несовершенной информации в игре, которые ввели в главе 2 (раздел 2.Г). В игре присутствует совершенная информация, если в ней нет ни стратегической, ни внешней неопределенности, что происходит в случае отсутствия в игре информационных множеств, содержащих два или более узла. Иными словами, в игре имеется совершенная информация, если все ее информационные множества содержат единичные узлы.
Хотя с концептуальной точки зрения это достаточно простое представление, оно не упрощает способа решения игры. По этой причине мы используем его только тогда, когда оно позволяет проще передать ту или иную мысль. В главе 8 и главе 14 приведено несколько примеров представления игр с помощью информационных множеств.
Б. Представление и анализ игр с последовательными ходами в стратегической форме
Рассмотрим игру (рис. 6.6в) с последовательными ходами в монетарную и фискальную политику, в которой Конгресс ходит первым. Допустим, нам нужно представить эту игру в нормальной или стратегической форме, то есть в виде таблицы выигрышей, строки и столбцы которой – стратегии двух игроков. Следовательно, мы должны начать с определения стратегий.
Для Конгресса, делающего первый ход, перечислить стратегии не составит труда. Существует только два хода, «баланс» и «дефицит», они же являются стратегиями. Что касается игрока, делающего второй ход, то здесь все гораздо сложнее. Не забывайте, что стратегия – это исчерпывающий план действий, указывающий, какие действия должен предпринимать игрок в каждом узле, в котором наступает его очередь ходить. Поскольку ФРС получает право сделать ход в двух узлах (а также потому, что, согласно нашему предположению, ходы в этой игре действительно выполняются последовательно, а значит, эти два узла не объединяются в информационное множество) и может выбрать либо стратегию «низкие ставки», либо «высокие ставки» в каждом из узлов, существует четыре комбинации ее вариантов выбора: 1) «низкие ставки», если «баланс»; «высокие ставки», если «дефицит» (в сокращенном виде «Н, если Б; В, если Д»); 2) «высокие ставки», если «баланс»; «низкие ставки», если «дефицит» (сокращенно «В, если Б; Н, если Д»); 3) «низкие ставки» всегда; 4) «высокие ставки» всегда.
Полученная в результате матрица выигрышей два на четыре представлена на рис. 6.9. Последние два столбца не отличаются от тех, которые были в матрице выигрышей два на два, составленной для игры, в которой ходы выполнялись одновременно (рис. 6.6a). Это объясняется тем, что если ФРС выберет стратегию, согласно которой она делает одни и те же ходы всегда, то это равносильно тому, что ФРС делала бы свои ходы без учета того, что сделал Конгресс, то есть их ходы были бы как будто одновременными. Однако вычисление выигрышей в первых двух столбцах, где ход ФРС зависит от первого хода Конгресса, требует более пристального внимания.
.
Рис. 6.9. Игра с последовательными ходами с фискальной и монетарной политикой, представленная в стратегической форме
Для иллюстрации рассмотрим ячейку на пересечении первой строки и второго столбца. Здесь Конгресс выбирает «баланс», а ФРС – «В, если Б; Н, если Д». Учитывая выбор Конгресса, фактическим выбором ФРС в рамках этой стратегии будет стратегия «высокие ставки». В таком случае выигрыши здесь те же, что и в сочетании стратегий «баланс» и «высокие ставки», а именно 1 для Конгресса и 3 для ФРС.
Анализ наилучших ответов позволяет быстро определить, что в этой игре есть два равновесия Нэша в чистых стратегиях, что мы показываем, выделив соответствующие ячейки серым цветом. Одно отображено в верхней левой ячейке, в которой стратегия Конгресса – «баланс», а ФРС – «Н, если Б; В, если Д», а значит, фактический выбор ФРС – «низкие ставки». Этот исход представляет собой равновесие обратных рассуждений в игре с последовательными ходами. Однако есть еще одно равновесие Нэша в правой нижней ячейке, где Конгресс выбирает стратегию «дефицит», а ФРС – «высокие ставки». Как обычно в случае равновесия Нэша, ни у одного игрока нет явных оснований отклоняться от стратегий, приведших к данному исходу. Конгресс только ухудшил бы ситуацию, переключившись на стратегию «баланс», а ФРС не извлекла бы никакой пользы из перехода к любой из трех оставшихся стратегий, хотя при выборе стратегии «Н, если Б; В, если Д» был бы получен равноценный результат.
Анализ игры с последовательными ходами в ее экстенсивной форме обеспечивает только одно равновесие обратных рассуждений. Но если проанализировать эту же игру в нормальной или стратегической форме, в ней оказывается два равновесия Нэша. Что происходит?
Ответ на этот вопрос кроется в разном характере логики анализа равновесия Нэша и равновесия обратных рассуждений. Равновесие Нэша требует, чтобы ни у одного из игроков не было причины отклоняться от выбранной стратегии с учетом стратегии другого игрока. Однако в случае равновесия обратных рассуждений стратегии игроков, делающих ходы на более поздних этапах, не воспринимаются как данность. Вместо этого ставится вопрос о том, какое действие будет оптимальным в случае, если у игрока действительно появится возможность сделать ход.
В нашем примере стратегия ФРС «высокие ставки всегда» не удовлетворяет критерию оптимальности в случае появления возможности сделать ход. Если бы Конгресс выбрал стратегию «дефицит», то стратегия «высокие ставки» действительно была бы оптимальным ответом ФРС. Однако если бы Конгресс выбрал стратегию «баланс», а ФРС пришлось бы делать ответный ход, ей следовало бы применить стратегию «низкие ставки», а не «высокие». Стало быть, стратегия «высокие ставки всегда» не будет оптимальным ответным ходом ФРС во всех возможных конфигурациях игры и не может быть равновесием обратных рассуждений. Но логика равновесия Нэша не требует такой проверки; вместо этого стратегию ФРС «высокие ставки всегда» Конгресс мог бы обоснованно рассматривать как данность. И если он действительно сделает это, то стратегия «дефицит» – его наилучший ответ. Напротив, «высокие ставки всегда» – один наилучший ответ ФРС на стратегию Конгресса «дефицит» (хотя он и связан с условием «Н, если Б; В, если Д»). Следовательно, пара стратегий «дефицит» и «высокие ставки всегда» – обоюдно наилучшие ответы, входящие в состав равновесия Нэша, хотя они и не образуют равновесия обратных рассуждений.
Таким образом, мы можем считать равновесие обратных рассуждений добавочным критерием, который дополняет равновесие Нэша и помогает выбрать одно из множества равновесий Нэша, присутствующих в стратегической форме. Другими словами, это уточнение концепции равновесия Нэша. Чтобы сформулировать эту идею несколько более точно, вспомним понятие подыгры. По мере того как игроки по очереди делают свой выбор, игра проходит по непрерывной последовательности узлов, и каждый ход можно рассматривать как начало подыгры. Равновесие, полученное посредством метода обратных рассуждений, соответствует одной конкретной последовательности вариантов выбора в каждой подыгре и создает один конкретный путь игры. Безусловно, другие ее пути также согласуются с правилами игры. Мы называем такие пути неравновесными путями игры, а подыгры, разворачивающиеся на них, неравновесными подыграми.
Вооружившись этими терминами, мы теперь можем сказать, что равновесный путь игры сам по себе определяется ожиданиями игроков в отношении того, что бы произошло, если бы они выбрали другое действие, то есть если бы переместили игру на неравновесный путь и начали неравновесную подыгру. Равновесие обратных рассуждений требует от игроков делать свой наилучший выбор в каждой подыгре более крупной игры, независимо от того, находится ли эта подыгра на пути к конечному равновесному исходу.
Стратегии – это исчерпывающие планы действий. Следовательно, стратегия игрока должна определять, что он будет делать в каждом предполагаемом случае или в каждом узле игры (будь то на ее равновесном или неравновесном пути), в котором наступает его очередь ходить. Когда игра достигает одного такого узла, применим только тот план действий, который начинается в этом узле, а именно та часть полной стратегии, которая относится к подыгре, стартующей в данном узле. Эта часть называется продолжением стратегии в этой подыгре. Согласно равновесию обратных рассуждений, равновесная стратегия должна быть такой, чтобы ее продолжение в каждой подыгре было оптимальным для каждого игрока, который должен ходить в этом узле, независимо от того, лежат ли этот узел и подыгра на равновесном пути игры.
Вернемся к игре с монетарной политикой, в которой Конгресс делает первый ход, и рассмотрим второе равновесие Нэша, возникающее при представлении игры в стратегической форме. Здесь путь игры Конгресса состоит в выборе стратегии «дефицит», а ФРС – стратегии «высокие ставки». На равновесном пути стратегия «высокие ставки» – действительно лучший ответ ФРС на стратегию «дефицит». Выбор Конгрессом стратегии «баланс» был бы началом неравновесного пути. Он ведет к узлу, в котором разыгрывается довольно простая подыгра, а именно решение принимает ФРС. Предполагаемая равновесная стратегия ФРС «высокие ставки всегда» подразумевает, что ФРС в этой подыгре применит стратегию «высокие ставки». Однако это неоптимально: второе равновесие определяет неоптимальный выбор в случае неравновесной подыгры.
Напротив, равновесный путь в равновесии Нэша в левом верхнем углу рис. 6.9 состоит в выборе Конгрессом стратегии «баланс», а ФРС – «низкие ставки». ФРС выбирает оптимальный ответ на равновесном пути. Неравновесный путь состоял бы в выборе Конгрессом стратегии «дефицит», а ФРС с учетом своей стратегии «Н, если Б; В, если Д» применила бы стратегию «высокие ставки». Для ФРС выбор стратегии «высокие ставки» в ответ на стратегию Конгресса «дефицит» оптимален, а значит, эта стратегия остается оптимальной и на неравновесном пути игры.
Требование о том, что продолжение стратегии должно оставаться оптимальным при любых обстоятельствах, действительно важно, поскольку сам равновесный путь – это результат стратегических рассуждений игроков о том, что бы произошло, если бы они сделали нечто иное. Игрок, которому предстоит ходить следующим, может попробовать обеспечить предпочтительный для себя исход, пригрозив игроку, делающему первый ход, что его определенные действия встретят серьезный отпор, или, наоборот, пообещав, что определенные действия получат одобрение. Однако игрок, делающий первый ход, скептически отнесется к достоверности таких угроз и обещаний. Единственный способ развеять сомнения – проверить, действительно ли заявленные ответные действия будут оптимальны в случае, если в них возникнет необходимость. Если они неоптимальны, то угрозы и обещания недостоверны, а соответствующие ответные ходы не будут присутствовать на равновесном пути игры.
Равновесие, найденное методом обратных рассуждений, называется совершенным равновесием подыгры и представляет собой совокупность стратегий (исчерпывающих планов действий), по одной на каждого игрока, при которой в каждом узле дерева игры, независимо от того, лежит ли он на ее равновесном пути, продолжение одной и той же стратегии в подыгре, начинающейся в данном узле, будет оптимальным для игрока, совершающего там действие. Проще говоря, совершенное равновесие подыгры требует, чтобы игроки использовали стратегии, образующие равновесие Нэша в каждой подыгре более крупной игры.
Как правило, в играх с конечными деревьями и совершенной информацией, в которых участники могут наблюдать все предыдущие действия, предпринятые всеми игроками, а значит, нет нескольких узлов, входящих в одно информационное множество, анализ методом обратных рассуждений позволяет найти единственное (за исключением элементарных и уникальных случаев равного распределения выигрышей) совершенное равновесие подыгры. Подумайте вот о чем: если проанализировать любую подыгру, которая начинается в последнем узле принятия решений последним игроком, делающим ход, то его наилучший выбор – стратегия, обеспечивающая ему самый высокий выигрыш. Но это и есть действие, выбранное в ходе обратных рассуждений. По мере перемещения игроков по дереву игры в обратном направлении обратные рассуждения исключают все нецелесообразные стратегии, в том числе недостоверные угрозы или обещания, в результате чего совокупность действий, предпринятых в конечном счете, представляет собой совершенное равновесие подыгры. Следовательно, в контексте данной книги совершенное равновесие подыгры – это просто еще одно замысловатое название равновесия обратных рассуждений. На более продвинутых уровнях теории игр, где игры включают в себя сложные структуры данных и информационные множества, совершенное равновесие подыгры имеет более глубокий смысл.
Правообладателям!
Данное произведение размещено по согласованию с ООО "ЛитРес" (20% исходного текста). Если размещение книги нарушает чьи-либо права, то сообщите об этом.Читателям!
Оплатили, но не знаете что делать дальше?
