Текст книги "Рынок облигаций. Анализ и стратегии"

Из формулы (4.16) видно, что значение процентного изменения цены облигации может быть найдено с учетом двух величин: дюрации и меры выпуклости. Рассмотрим в качестве примера 25-летнюю облигацию с купоном 6 %, торгующуюся при доходности 9 %. Модифицированная дюрация облигации составляет 10,62, а мера выпуклости равна 182,92. Если требуемая доходность возрастет на 200 базисных пунктов – с 9 % до 11 %, то аппроксимированное процентное изменение цены облигации может быть получено следующим образом:

процентное изменение цены, обусловленное дюрацией, по формуле (4.11) =

= -модифицированная дюрация × dy =

= –10,62 × 0,02 = –0,2124 = –21,24 %;

процентное изменение цены, обусловленное выпуклостью, по формуле (4.20) =

Предполагаемое процентное изменение цены, обусловленное дюрацией и выпуклостью, равно:

– 21,24 % + 3,66 % = –17,58 %.

Из табл. 4.2 мы знаем, что реальное изменение составляет –18,03 %. Одновременное использование величин дюрации и меры выпуклости дает лучшую аппроксимацию реальных ценовых изменений при существенных изменениях требуемой доходности. Теперь представим себе, что требуемая доходность падает на 200 базисных пунктов. В этом случае аппроксимированное процентное изменение цены облигации может быть получено следующим образом:

процентное изменение цены, обусловленное дюрацией, по формуле (4.11) = = —модифицированная дюрация × dy = = –10,62 ×(–0,02) = 0,2124 = 21,24 %; процентное изменение цены, обусловленное выпуклостью, по формуле (4.20) =

Предполагаемое процентное изменение цены, обусловленное дюрацией и выпуклостью, равно:

21,24 % + 3,66 % = 24,90 %.

Из табл. 4.2 мы знаем, что реальное изменение составляет 25,46 %. Очевидно, что и в этом случае одновременное использование дюрации и меры выпуклости дает хорошую аппроксимацию процентных изменений цены облигации при значительных изменениях требуемой доходности.

Анализируя выпуклость облигации и меру выпуклости, инвестор должен иметь в виду три особенности этих величин. Во-первых, следует помнить о разнице между понятием «выпуклости», относящимся к форме кривой, которая описывает зависимость между ценой и доходностью, и понятием «меры выпуклости», которое квалифицирует реакцию цены на изменение процентных ставок.

Во-вторых, важно уметь правильно интерпретировать полученные значения. Напомним, что интерпретация дюрации проста: дюрация, равная 4, например, представляет собой аппроксимированное процентное изменение цены на облигацию при изменении процентных ставок на 100 базисных пунктов. Каким образом следует интерпретировать меру выпуклости? Интерпретация не столь очевидна, поскольку аппроксимированное процентное изменение цены, обусловленное выпуклостью, как это видно из формулы (4.20), связано с квадратом изменения процентных ставок. Формула показывает, что аппроксимированное процентное изменение цены, связанное с выпуклостью, – это произведение трех величин: 1) ¹/₂, 2) меры выпуклости и 3) квадрата изменения процентных ставок.

И наконец, третье замечание: в реальной практике разные продавцы аналитических систем и разные исследователи применяют разные способы подсчета значения меры выпуклости. Причину подобных расхождений можно понять, обратившись к формуле (4.16) и рассмотрев второй член правой части равенства. Для описания меры выпуклости в формуле (4.19) мы использовали часть этого уравнения для определения меры выпуклости. Точнее, мы определяли меру выпусклости как произведение второй производной и обратного значения цены. Предположим теперь, что мы захотели бы выразить меру выпуклости через второй член равенства (4.16), т. е.:

Полученная мера выпуклости равна половине меры выпуклости, получаемой по формуле (4.19). Существенно ли данное различие? Ни в коей мере. Важно, однако, соответствующим образом уточнить значение отношения аппроксимированного процентного изменения цены, обусловленного выпуклостью, к мере выпуклости. Формула (4.20) в этом случае должна выглядеть как:

Очевидно, что аппроксимированное процентное изменение цены, обусловленное выпуклостью, остается неизменным вне зависимости от того, используем мы формулу (4.20) или формулу, приведенную выше. Этот вывод возвращает нас ко второму замечанию: интерпретация меры выпуклости «самой по себе» невозможна, поскольку разные аналитические системы представляют ее в разном виде. Напомним еще раз, что необходимое условие получения верного значения меры выпуклости – установление ее связи с квадратом изменения доходности.

До сих пор мы рассматривали выпуклость как подсобную величину, позволяющую улучшить аппроксимацию изменения цены облигации при данном изменении доходности. Между тем, как видно из графика на рис. 4.4, выпуклость может иметь и другое применение в инвестиционном процессе. На рисунке показаны облигации А и В. Обе они имеют одинаковые дюрации и доходность; выпуклости их, однако, различны. Облигация В более выпукла (изогнута), чем облигация А.

Что означает бо́льшая выпуклость облигации В? Как при росте, так и при падении рыночных процентных ставок, цена облигации В окажется более высокой. Таким образом, если требуемая доходность растет, убыток по облигации В будет меньше, чем по облигации А. Падение рыночных ставок приведет к более заметному росту цены обигации В по сравнению с облигацией А.

Как правило, рынок принимает в расчет бо́льшую выпуклость В по сравнению с А: данное свойство облигаций отражается на их ценообразовании. Итак, рынок приписывает выпуклости определенную стоимость. Именно поэтому, хотя ситуация, описанная графиком на рис. 4.4, в некоторые периоды времени действительно может иметь место, чаще всего рынок заставляет инвестора «оплачивать» (принимая более низкую доходность) более высокую выпуклость облигации В.

Возникает вопрос: какова цена выпуклости, которую инвестор обязан платить по требованию рынка? Еще раз обратимся к графику на рис. 4.4. Обратите внимание: если инвестор предполагает, что рыночные ставки изменятся мало (т. е. ожидается низкая волатильность процентных ставок), владеть облигацией В не выгоднее, чем облигацией А, поскольку при небольших изменениях доходности обе облигации дают примерно одну цену. В этом случае инвестору незачем оплачивать выпуклость. Заметим, что на рынке, где выпуклость оценивается высоко, т. е. где А предлагает более высокую доходность, чем В, инвесторы, чьи планы строятся исходя из предположений о будущей низкой волатильности процентных ставок, склонны «продавать выпуклость» – продавать облигации В – и приобретать облигации А. И наоборот: если инвесторы возлагают надежды на высокую волатильность процентных ставок, облигация В, скорее всего, будет продаваться при заметно более низкой доходности, нежели А.

Для выпуклости всех облигаций без встроенных опционов характерны следующие три основных свойства:

Свойство 1: Если требуемая доходность растет (падает), выпуклость облигации падает (растет). Это свойство носит название положительной выпуклости.

На практике данный феномен выражается следующим образом: если рыночные ставки растут, цена облигации начинает падать. Падение цены замедляется уменьшением дюрации, связанным с ростом требуемой доходности. И наоборот: стоит рыночным ставкам упасть, дюрация возрастет, ускоряя процентное изменение цены. На рынке облигаций без встроенных опционов можно наблюдать оба описанных типа изменений дюрации.

Данное свойство мы графически изобразили на рис. 4.5. Угол наклона касательной уменьшается с ростом процентных ставок. Меньший наклон соответствует меньшей дюрации, характерной для ситуации увеличения требуемой доходности. И наоборот: при уменьшении процентных ставок наклон касательной растет, а значит, увеличивается и дюрация. Данное свойство характерно для всех без исключения облигаций, не имеющих встроенных опционов. Приведенный график позволяет также увидеть, что выпуклость действительно является мерой оценки скорости изменения долларовой дюрации, связанной с изменением рыночных ставок.

Свойство 2: При данных доходности и длительности облигации, более низкий купон обусловливает более высокую выпуклость облигации.

Подтверждением этому выводу могут служить значения выпуклости, полученные нами для шести гипотетических облигаций. Из трех пятилетних облигаций наибольшей выпуклостью обладает бескупонная, наименьшей – облигация с купоном, равным 9 %. Тот же результат получаем, анализируя 25-летние облигации.

Свойство 3: При данных доходности и модифицированной дюрации, чем ниже купон, тем меньше выпуклость.

В инвестиционной практике свойство 3 интерпретируется следующим образом: при данной модифицированной дюрации наименьшая выпуклость характерна для облигаций с нулевым купоном.

ДРУГИЕ ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ ДЮРАЦИИ

Мы уже писали о том, что применять дюрацию в качестве единственной меры волатильности цены облигации неразумно. Ниже мы обратимся к двум другим особенностям использования понятия дюрации в инвестиционной практике.

Напомним, что, выясняя характер зависимости между модифицированной дюрацией и волатильностью цены облигации, мы начали анализ с ценового уравнения (4.1). Данная формула предполагает, что все денежные потоки облигации дисконтированы по единой дисконтной ставке (целесообразность этого предположения мы обсуждаем в главе 5, говоря о кривой доходности). В целом, как формула (4.3), так и ее варианты строятся на основании утверждения о том, что кривая доходности является плоской и изменения доходности в любой ее части параллельны. В главе 19 мы доказываем, что применение дюрации в ситуации, когда изменения доходности в разных частях кривой не параллельны, дает не слишком надежный результат. Это особенно важно помнить инвесторам, пытающимся с помощью значения портфельной дюрации выяснить степень чувствительности стоимости портфеля к изменению процентных ставок. Если в портфель входят облигации с различными длительностями, дюрация, как правило, не учитывает неодинаковые изменения процентных ставок для различных длительностей. В конце этой главы мы предложим один из возможных способов измерения чувствительности портфеля в ситуации, когда процентные ставки для разных длительностей меняются на разное число базисных пунктов.

Второе положение, которое следует помнить инвесторам, работающим с понятием дюрации: все выводы, сделанные нами в этой главе, имеют отношение только к облигациям без встроенных опционов. Если изменение доходностей приводит к изменениям предполагаемых денежных потоков облигации (а именно так происходит с облигациями, имеющими встроенные опционы), меры дюрации и выпуклости применимы лишь в некоторых специфических случаях. Волатильность цен облигаций со встроенными опционами мы анализируем в главах 17 и 18.

Мера дюрации, о которой пойдет речь в этих главах, т. е. дюрация, принимающая в расчет встроенные опционы, получила название эффективной дюрации.

НЕ СЛЕДУЕТ СЧИТАТЬ ДЮРАЦИЮ МЕРОЙ ВРЕМЕНИ

Многие участники рынка, к сожалению, до сих пор не усвоили сути понятия дюрации, считая ее одной из мер взвешенной средней продолжительности жизни облигации. По-видимому, такая путаница происходит из-за первоначального использования термина самим Маколеем. Между тем данная интерпретация дюрации нередко приводит ее приверженцев в недоумение: действительно, как можно объяснить тот факт, что дюрация облигации с длительностью 20 лет превышает 20-летний срок? В главе 12, например, мы рассматриваем обеспеченные ипотеками облигации (collateralized mortgage obligation – СМО). У части СМО значение дюрации выше длительности соответствующих ипотек. Так, СМО может иметь дюрацию, равную 40, несмотря на то что соответствующие ипотеки, на основе которых данная облигация была создана, будут погашены через 30 лет. Кроме того, для некоторых СМО характерна отрицательная дюрация. Как объяснить этот феномен?

Ответ будет несложно найти, если вспомнить, что дюрация – это аппроксимированное процентное изменение цены при малом изменении процентных ставок. Напомним, что мы предлагали рассматривать дюрацию как приближенное процентное изменение цены при изменении процентных ставок на 100 базисных пунктов.

Дюрация, таким образом, говорит нам о чувствительности цены, в частности, о ценовой волатильности таких финансовых инструментов, использующих кредитное плечо, как СМО. СМО с дюрацией 40 – это не облигация, «средняя взвешенная продолжительность жизни» которой равна 40 лет. Смысл величины таков: при изменении доходности на 100 базисных пунктов цена этой облигации изменится приблизительно на 40 %.

Аналогичным образом должна интерпретироваться и дюрация опциона. Колл-опцион может иметь дюрацию 20 и истекать через год[24]24
  Способы измерения дюрации опциона будут описаны в главе 27.


[Закрыть]. Интерпретируя дюрацию как меру продолжительности жизни опциона, инвесторы становятся в тупик перед этим странным несоответствием. В действительности, данное значение имеет следующий смысл: при изменении доходности соответствующей облигации на 100 базисных пунктов, стоимость опциона изменится примерно на 20 %.

АППРОКСИМАЦИЯ ДЮРАЦИИ И МЕРЫ ВЫПУКЛОСТИ ОБЛИГАЦИИ

Инвестору, осознавшему, что значение дюрации связано с процентным изменением цены, будет несложно вычислить приближенное значение дюрации облигации, производного финансового инструмента или опциона. Напомним, что нам нужно всего-навсего определить процентное изменение цены на облигацию при изменении процентных ставок на небольшую величину. Процедура вычисления искомого значения предельно проста:

Этап 1. Увеличим доходность облигации на небольшое число базисных пунктов и определим новую цену, соответствующую этому новому уровню доходности. Новую цену обозначим как Р+.

Этап 2. Уменьшим доходность облигации на то же число базисных пунктов и определим новую цену. Новую цену обозначим как Р—.

Этап 3. Если исходная цена обозначена как Р₀, дюрация может быть аппроксимирована по следующей формуле:

где ∆у – это изменение доходности, использовавшееся для вычисления новой цены (в десятичных дробях). Результатом является среднее процентное изменение цены (относительно начальной цены) при изменении доходности на 1 базисный пункт.

Для того чтобы выяснить, насколько хороша данная аппроксимация, проверим формулу на примере 25-летней облигации с купоном 6 %, торгующейся при доходности 9 %. Вся необходимая для вычислений информация представлена в табл. 4.2. Исходная цена Р₀ равна 70,3570. Искомое значение определяется следующим образом:

Этап 1. Увеличим доходность облигации на 10 базисных пунктов, т. е. с 9 % до 9,1 %. Таким образом, Dу составит 0,001. Новая цена Р+ равна 69,6164.

Этап 2. Уменьшим доходность облигации на 10 базисных пунктов, т. е. с 9 % до 8,9 %. Новая цена Р– составит 71,1105.

Этап 3. При начальной цене Р₀, равной 70,3570, аппроксимированная дюрация равна:

(4.23)

Насколько хороша такая аппроксимация? Модифицированная дюрация, которую можно подсчитать с помощью формул (4.5) и (4.7), равна 10,62.

Итак, инвестор, решивший определить дюрацию какого-либо финансового инструмента, может смело пользоваться формулой (4.23). Заметим, однако, что верный результат невозможен при отсутствии надежной модели ценообразования, позволяющей провести операции 1 и 2. Такие модели мы анализируем в следующих главах. Подчеркнем: дюрация – побочный продукт модели ценообразования. Если модель ценообразования работает плохо, полученное значение дюрации далеко от действительного.

Мера выпуклости облигации может быть аппроксимирована согласно следующей формуле:

(4.24)

В нашем случае аппроксимированная мера выпуклости составит:

Напомним, что мера выпуклости, найденная согласно точной формуле, равна 182,92. Выражение (4.24), таким образом, дает хорошую аппроксимацию.

Как уже было отмечено, мера выпуклости измеряется различными способами. Выражение (4.24) может быть видоизменено таким образом, чтобы в знаменателе стояло 2. Обратите внимание на то, что в этом случае при подсчете процентного изменения цены, связанного с выпуклостью, по формуле (4.20) коэффициент ¹/₂ не учитывается.

В главе 2 мы обсуждали процесс создания облигации с обратной плавающей купонной ставкой, а также основные особенности ее ценообразования. Данный раздел посвящен дюрации облигаций этого типа. Дюрация облигации с обратной плавающей ставкой обусловлена дюрацией обеспечения и дюрацией облигации с обычной плавающей купонной ставкой. Предположив, что дюрация облигации с плавающей ставкой близка к нулю, получим дюрацию облигации с обратной плавающей ставкой, равную[25]25
  William R. Leach, «A Portfolio Manager’s Perspective of Inverses and Inverse IO’s», глава 9 в книге Frank J. Fabozzi (ed.) Advances in the Valuation and Management of Mortgage-Backed Securities (New Hope, PA: Frank J. Fabozzi Associates, 1998).


[Закрыть]:

где L – отношение номинальной стоимости облигации с плавающей ставкой к номинальной стоимости облигации с обратной плавающей ставкой. Так, если для создания облигации с плавающей ставкой номиналом $80 млн и облигации с обратной плавающей ставкой номиналом $20 млн используется базовая облигация (обеспечение) номинальной стоимостью $100 млн, L равно 4 ($80 млн / $20 млн).

Нетрудно заметить, что дюрация облигации с обратной плавающей ставкой линейно зависит от дюрации базовой облигации. Предположим, что номинальная стоимость базовой облигации, равная $100 млн, распределена следующим образом: $80 млн – на облигацию с плавающей ставкой и $20 – на облигацию с обратной плавающей ставкой. Предположим также, что и базовая облигация, и облигация с обратной плавающей ставкой торгуются по номиналу, так что отношение цен равно 1, а дюрация базовой облигации равна 8. При изменении процентных ставок на 100 базисных пунктов цена базовой облигации упадет на 8 %, т. е. на $8 млн (8 % × $100 млн). При условии, что цена облигации с плавающей ставкой не меняется с ростом процентных ставок, падение на $8 млн должно обеспечиваться облигацией с обратной плавающей ставкой. Для того чтобы облигация с обратной плавающей ставкой стоимостью $20 млн могла упасть на $8 млн, ее дюрация должна быть равна 40: именно дюрация 40 приведет к изменению цены на 40 %, или на $8 млн. Таким образом, дюрация облигации с обратной плавающей ставкой – это произведение дюрации базовой облигации на коэффициент 5 (т. е. 8 × 5). Или же, поскольку L = 4, она равна (1 + 4), умноженному на дюрацию базовой облигации.

Заметьте: если длительность обеспечивающей облигации равняется 30, то дюрация облигации с обратной плавающей ставкой, равная 40, превысит длительность обеспечения. Инвестор, интерпретирующий дюрацию как средневзвешенную продолжительность жизни облигации, наверняка будет удивлен подобным фактом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ПОРТФЕЛЯ К НЕПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ИЗМЕНЕНИЯМ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК

Говоря о сложностях использования понятия дюрации в реальной инвестиционной практике, мы отмечали, что данная мера может давать неверное представление об изменении цен на облигацию или на весь портфель в ситуации, когда процентные ставки меняются не параллельно (подробнее на описании кривой доходности мы остановимся в главе 5). Особенно неутешительные результаты связаны в этом случае с оценкой чувствительности портфеля в целом. Нам, таким образом, необходимо исследовать способ измерения реакции портфеля облигаций на непараллельные изменения кривой доходности. Для измерения данной величины было предложено несколько методик. Двумя основными методиками являются дюрация при изменении формы кривой доходности и дюрация ключевых процентных ставок. Ниже мы опишем каждую из этих методик[26]26
  Среди прочих мер может быть названа специфическая дюрация кривой доходности. Информацию о них читатель найдет в главе 7 книги Frank J. Fabozzi Duration, Convexity, and Other Bond Risk Measures (New Hope, PA: Frank J. Fabozzi Associates, 1999). Помещенное ниже описание дюрации ключевых процентных ставок представляет собой адаптированную версию указанной главы.


[Закрыть].

Первая методика основывается на чувствительности портфеля к изменению наклона кривой доходности. Первый шаг в применении этой методики заключается в определение того, что подразумевается под наклоном кривой доходности. Участники рынка используют различные определения. Некоторые считают наклоном разницу в кривой доходности казначейских ценных бумаг на двух уровнях сроков погашения. Например, наклон кривой доходности можно определить как разницу между доходностью показателя для долгосрочных (30-летних казначейских облигаций) и двухлетних казначейских облигаций «в ходу». Некоторые считают коротким сроком погашения 6 месяцев.

Одна из первых мер по данной методике была представлена тремя исследователями из инвестиционной компании Salomon Brothers (теперь называемой Salomon Smith Barney): Клаффки, Ма и Нозари[27]27
  Thomas E. Klaffky, Y.Y. Ma. and Ardavan Nozari, «Managing Yield Curve Exposure: Introducing Reshaping Durations,» Jornal of Fixed Income (December 1992), pp. 5–15.


[Закрыть]. Они назвали ее дюрацией при изменении формы кривой доходности. Они выбрали три срока погашения: 2 года, 10 лет и 30 лет. Используя эти три срока, они рассчитали спред между доходностью десятилетних и двухлетних облигаций и назвали его спредом короткого конца кривой доходности (SEDUR), спред между доходностью тридцатилетних и десятилетних облигаций называется спредом длинного конца кривой доходности (LEDUR). Однако эти концепции применимы и к другим точкам на кривой доходности.

Чтобы рассчитать SEDUR портфеля, сначала рассчитывается изменение в цене каждой ценной бумаги для:

1. увеличения крутизны кривой доходности в коротком конце на х базисных пунктов

2. уменьшения крутизны кривой доходности в коротком конце на х базисных пунктов

Доходность портфеля для кривой доходности рассчитывается путем сложения доходности каждой ценной бумаги портфеля после увеличения крутизны. Обозначим эту доходность как V_SE,S, где V означает доходность портфеля, SE короткий конец, а S – увеличение крутизны. Точно так же доходность портфеля после уменьшения крутизны рассчитывается путем сложения доходности каждой ценной бумаги портфеля, а получившаяся доходность обозначается как V_SE,F, где F означает уменьшение крутизны. Тогда SEDUR рассчитывается следующим образом:

где V₀ является первоначальной доходностью портфеля (доходностью до увеличения или уменьшения крутизны), а ∆y – числом базисных пунктов, используемых для расчета увеличения или уменьшения крутизны кривой доходности (х).

Сравните приведенную выше формулу с формулой (4.23) для расчета аппроксимированной дюрации. Обратите внимание, что это та же самая формула, но вместо P используется V, и P— и P+ заменены на V_SE,S и V_SE,F соответственно.

Чтобы рассчитать LEDUR портфеля, сначала рассчитывается изменение в цене каждой ценной бумаги для:

1. уменьшения крутизны кривой доходности в длинном конце на х базисных пунктов

2. увеличения крутизны кривой доходности в длинном конце на х базисных пунктов

Доходность портфеля после каждого изменения обозначается как V_LE,S и V_LE,F, где LE обозначает длинный конец кривой доходности. Затем рассчитывается LEDUR по следующей формуле:

SEDUR и LEDUR интерпретируются следующим образом. SEDUR является приблизительным процентным изменением доходности портфеля для изменения наклона короткого конца кривой доходности на 100 базисных пунктов. LEDUR является приблизительным процентным изменением доходности портфеля для изменения наклона длинного конца кривой доходности на 100 базисных пунктов.