Текст книги "Инновации на финансовых рынках"

На ликвидный рыночный инструмент влияет большое количество факторов, поэтому его цена меняется стохастически, и именно стохастическим колебанием цен и обусловливается волатильность рынка. Существует целый класс моделей оценки финансовых инструментов, основанных на интенсивности появления дефолтов, так называемые модели интенсивности (intensity based models) или упрощенные модели (reduced form models). Рассмотрим модели построения кредитных спредов, основанных на интенсивности дефолта.

Процесс появления дефолтов или других кредитных событий можно выразить в виде распределения Пуассона, с интенсивностью появления данных событий λ. Тогда вероятность того, что дефолт не произойдет за данный период, можно представить в следующем виде:

P(0, T) = e^—λT. (6.9)

В данном случае интенсивность появления кредитных событий постоянна и не зависит от времени, поэтому временная кривая вероятностей дефолта, а значит, и кривая временной структуры процентных ставок, тоже не зависят от времени и имеют плоский вид.

Если предположить, что временная кривая процентных ставок и вероятностей дефолта меняется со временем по определенной закономерности, то и интенсивность наступления дефолта не будет гомогенна и может быть выражена как функция, зависящая от времени λ(t). Таким образом, вероятность того, что кредитного события за период не произойдет, выражается соотношением

На основе данного соотношения можно построить модель оценки CDS, аналогичную модели оценки, основанной на стоимости облигаций.

Оба описанных случая предполагали либо постоянную интенсивность дефолта, либо детерминированную определенной зависимостью. Как уже замечалось, в реальности цены активов и доходности меняются стохастически, не поддаваясь какому-либо определенному уравнению. Поэтому именно стохастические модели кредитных спредов наиболее гибкие и приближенные к действительности.

Модели с постоянной или детерминированной интенсивностью, основанные на распределении Пуассона, можно развить в модели со стохастичной интенсивностью, а значит, и со стохастичным изменением спредов, если вместо процесса Пуассона использовать процесс Кокса. В целом процесс Кокса – это процесс Пуассона со стохастичной интенсивностью наступления кредитного события.

Общий подход к построению кредитного спреда на основе процесса Пуассона и Кокса широко используется в другом классе моделей оценки деривативов, в частности кредитных деривативов и CDS-моделей интенсивности.

Данные модели используют два основных фактора, определяющих стоимость актива, в нашем случае CDS. Первый фактор – это интенсивность наступления дефолтов или кредитных событий λ, второй – процентная ставка г.

В целом данные модели являются логическим продолжением модели оценки CDS на основе стоимости облигаций, только здесь оценка CDS проводится не в терминах вероятности дефолта, а в термине интенсивности его наступления λ. Проще можно сказать, что интенсивность наступления дефолта – это вероятность его наступления в единицу времени, поэтому две приведенные выше модели непосредственно связаны между собой. Просто в моделях, основанных на интенсивности, главное внимание уделяется именно построению временной структуры интенсивностей дефолта и временной структуры процентных ставок, что в целом аналогично задачам, поставленным в модели оценки CDS на основе стоимости облигаций.

В предыдущем параграфе, описывающем модели кредитного спреда на основе распределения Пуассона и стохастичного кредитного спреда, было показано, как выражается вероятность наступления дефолта через интенсивность, там мы использовали либо постоянную интенсивность λ, либо интенсивность, определяемую как функцию от времени λ =f(t). Здесь интенсивность и процентные ставки будут рассматриваться как стохастические величины. Иначе говоря, стоимость рисковой облигации выражается в виде:

Другими словами, это математическое ожидание функции процентной ставки r(s) и интенсивности дефолта λ(s) на сроке существования облигации, где и процентная ставка, и интенсивность дефолта – функции стохастические.

При использовании моделей оценки CDS, основанных на интенсивности, следует обратить внимание на два основных аспекта: точно определить саму модель и численно ее использовать.

Рассматриваемые модели должны быть откалиброваны под рыночные цены, т. е. отражать реальную ситуацию на рынке, чтобы полученные в результате оценки данные имели практическую значимость.

Параметры модели должны быть достаточно гибкими, чтобы была возможность подстроить их под конкретные рыночные данные, а параметры иметь аналитическую трактовку, т. е. чтобы модель имела конкретный логически завершенный экономический смысл. Отдельным требованием выступает построение адекватной структуры безрисковых ставок.

При определении параметров модели оценки используют два принципиальных подхода. Первый предполагает, что стохастичная динамика процентных ставок и интенсивности дефолта получается или выводится аналитически. Преимуществом данного подхода является то, что аналитическая трактовка модели не ограничивается только калибровкой модели под конкретные рыночные данные, но и рассматривает другие проблемы оценки. Более того, данный метод помогает понять влияние разных параметров на оценку, в частности, корреляцию между процентной ставкой г и интенсивностью λ, иначе такое понимание могло бы быть выявлено только в результате расчетов и экспериментов. В итоге аналитический подход в определении динамики процентных ставок и интенсивности дефолта позволяет рассчитать безарбитражные цены активов при тех или иных изменениях параметров процентных ставок и интенсивностей, т. е. позволяет определить потенциальные торговые возможности.

Второй подход состоит в том, чтобы напрямую взять рыночные цены калибровочных инструментов, динамика параметров которых будет использоваться в качестве базы для оценки других инструментов. И на основе конкретных рыночных цен смоделировать параметры модели так, чтобы модель получилась безарбитражной. Преимущество модели заключается, во-первых, в том, что автоматически решается проблема калибровки модели под рыночные значения, а с другой – в случае ошибки в выборе калибровочного инструмента, который может быть неправильно оценен рынком, модель не выявит искажения цен активов, так как предполагается, что динамика параметров модели получена на основе идеальных цен. Данный подход использует такие методы моделирования динамики процентных ставок и интенсивностей дефолта, как построение дерева событий: биномиальные и триномиальные модели, подобные модели Кокса [Сох, Ross, Rubinstein, 1979], и метод Монте-Карло.

В 1973 г. в статье «Оценка опционов и корпоративных обязательств» [Black, Scholes, 1973] американские ученые Ф. Блэк и М. Шоулз предложили принципиально новый подход к оценке стоимости опционов, основанном на стоимости компании. В статье была высказана идея, что подобным образом можно оценивать и обязательства компании: держатели акций могут рассматриваться как обладатели колл-опциона на стоимость ее активов при том, что этим правом их наделили держатели облигаций. Через год данный подход расширил R Мертон для анализа и оценки корпоративных облигаций, и появился класс моделей оценки активов Блэка – Шоулза – Мертона (BSM).

Структурные модели, они же модели стоимости фирмы или модели на основе стоимости акций, являются расширенными версиями изначальной модели BSM. Фундаментальный смысл всех моделей данного класса заключается в том, что дефолт рассматривается как некий опцион, который владельцы акций имеют на активы компании и который запускается в действие, как только стоимость активов компании падает ниже определенного уровня.

Структурные модели могут использоваться, например, для:

• оценки риска дефолта корпоративных облигаций;

• прогноза изменения рейтинга;

• прогнозирования изменений кредитных спредов;

• оценки чувствительности кредитных спредов облигаций к изменению цены акций;

• оптимизации структуры капитала с целью максимизации стоимости компании.

Данные модели также используются для оценки стоимости кредитных деривативов, в частности влияния CDS на обязательства компании.

Структурные модели оценки ставят перед собой достаточно фундаментальные цели: получить взаимосвязь стоимости акций и всех долговых инструментов, выпущенных компанией, иначе говоря, найти зависимость между капиталом и долгом компании. В отличие от структурных моделей, модели интенсивности не объясняют столь глубоко причины изменений кредитных спредов, стоимости долговых обязательств компании и возникновения дефолтов в принципе, они лишь находят оптимальную модель, наиболее точно описывающую наблюдаемую волатильность стоимости актива, кредитных спредов и процентных ставок.

В структурной модели стоимость компании складывается из стоимостей выпущенных ей ценных бумаг: акций и облигаций, причем данная стоимость изменяется стохастически. Таким образом, любые обязательства по ценным бумагам компании, как акциям, так и облигациям, рассматриваются как производные ценные бумаги от стоимости компании.

Стоимость компании выражается соотношением

V(t) = S(t) + B(t), (6.12)

где S – стоимость акций компании; В – номинал выпущенных облигаций, долг компании.

Предполагается, что стоимость компании изменяется стохастически, подчиняясь броуновскому (нормальному) распределению:

dV= μVdt + σVdW, (6.13)

где μ – показатель дрейфа стоимости фирмы, или тренд; σ – показатель волатильности.

При погашении облигации держатели должны получить сумму по следующей формуле:

D_T= min(V_T, L)= L – max(Z – V_T, 0). (6.14)

Выражение (6.14) показывает, что держатели облигаций получат либо номинал своих облигаций, либо ликвидационную стоимость компании в случае, если долг фирмы окажется больше стоимости ее активов, и рассчитаться будет невозможно. Позиция в рисковой облигации представляется в виде портфеля безрисковой облигации аналогичного номинала и короткой позиции по пут-опциону, выписанному на стоимость фирмы со страйк-ценой, равной номиналу облигации.

Используя подход Блэка – Шоулза для оценки опционов, можно получить выражение для оценки долга компании Согласно модели, стоимость долга компании будет зависеть от цены компании и стоимости облигаций в данный момент времени. Проведя математические преобразования, можно получить выражения для расчета кредитного спреда, т. е. спреда доходности облигации компании относительно некоего бенчмарка. Кредитный спред будет зависеть от стоимости компании и ее левериджа, или соотношения собственных и заемных средств – долговой нагрузки.

Факт дефолта компании может быть признан двумя путями. Р. Мертон утверждает, что дефолт может произойти только при наступлении даты выплаты долга, но никак не ранее момента погашения обязательств [Merton, 1974]. Другой подход был предложен Блэком и Коксом, они дефолтом признают падение стоимости компании ниже определенного порогового уровня, поэтому он может возникнуть в любой момент существования компании [Black, 1976; Сох, Ross, Rubinstein, 1979].

Отличие при расчете стоимости CDS или любого другого актива лишь состоит в том, что Мертон оценивает простой опцион, а Блэк и Кокс – барьерный опцион, т. е. опцион, который исполняется, как только цена базового актива достигает определенного уровня – барьера. Поскольку с помощью модели оценки опционов Блэка – Шоулза также можно оценивать барьерные опционы, то методы оценки инструментов при подходе Мертона и Блэка – Кокса в целом аналогичны. Но так как оценка барьерных опционов сложнее в принципе, то модели, использующие подход Блэка – Кокса, заметно сложнее математически. Значительно сложнее и калибровка данных моделей, поскольку стоимость барьерных опционов не монотонна относительно волатильности базового актива, поэтому задача калибровки имеет несколько решений.

Таким образом, с помощью структурной модели можно оценить практически любой инструмент, зависящий от кредитного спреда, так как любой, чувствительный к кредитному качеству, инструмент можно представить как опцион на стоимость компании.

Аналогично оцениваются и CDS, которые представляются как опционы на рисковую облигацию, и уже на основе стоимости компании и ее волатильности определяются спреды CDS.

Структурные модели имеют существенные недостатки, о которых необходимо упомянуть в рамках описания данных моделей. Во-первых, на краткосрочных периодах они неправильно отражают структуру кредитных спредов: согласно модели, если стоимость компании существенно превышает ее обязательства, то при приближении даты погашения или оферты облигации ее доходность приближается к безрисковой, другими словами, спреды сужаются практически до нуля. На практике такого не наблюдается, и даже за несколько дней до погашения рисковая облигация торгуется с заметным спредом к безрисковой.

Модели интенсивности более реалистичны, в них дефолт является скачкообразным процессом, а именно, для возникновения дефолта необязательно параметрам модели приближаться к пороговому значению, как это происходит в структурных моделях. Между тем для структурных моделей некоторые экономисты, например Зоу, предложили модификации, где стоимость фирмы одномоментно может изменяться более существенно [Zhou, 2001].

На вопрос, почему структурные модели неадекватно оценивают краткосрочные спреды, ученые отвечают по-разному. Например, Д. Даффи и Д. Ландо [Duffle, Lando, 1997] предположили, что дефолт случается, когда стоимость компания и достигает определенного уровня, но невозможно точно определить стоимость компании ввиду неопределенности параметров изменения ее стоимости. С. Фингер [Finger, 2002] сделал несколько другое предположение: в действительности пороговые барьеры находятся значительно ближе, чем их выявляет модель, и мы не можем определить действительные пороговые уровни дефолта, поэтому реальные спреды не сужаются до нуля.

Кроме того, структурные модели сводят кредитный риск к рыночному риску, волатильности колебания стоимости акций, поскольку в большинстве случаев стоимость компании определяется именно по ее рыночной капитализации. Что тоже является спорным моментом, поскольку вполне вероятно, что рынок переоценивает или недооценивает акции компании, в результате чего могут быть неверно рассчитаны параметры модели и в итоге неверное оценен инструмент. Кроме того, возникает вопрос, как определить рыночную стоимость непубличной компании, чьи облигации обращаются на рынке, а акции нет.

В-третьих, структурные модели предполагают, что дефолт предсказуем. На практике зачастую участники рынка узнают о дефолте компании только после его наступления, не ожидают его, например, если происходит умышленное или неумышленное искажение отчетности компании, как, например, в случае с компанией Enron.

Кроме того, необходимо учитывать, такой фактор как задержка наблюдения. Дело в том, что отчетность компании публикуется с частотой максимум раз в квартал, или даже раз в полугодие или год. Получается, что в компании уже произошли определенные изменения, например, структуры капитала или собственности, а участники рынка только через 2–3 месяца или полгода об этом узнают и отразят в стоимости акций, следовательно, с такой же задержкой и отразится действительная стоимость оцениваемого инструмента.

В-четвертых, структура заемного капитала компаний в большинстве случаев достаточно сложна и не состоит из одного вида облигаций, как это представлено в простейших моделях. Поэтому приходится учитывать и неоднородность структуры капитала компании и вводить в модель дополнительные параметры, что делает ее чрезвычайно сложной и значительно снижает точность расчетов.

Основное достоинство состоит в том, что она фундаментально связывает оценку долговых инструментов со стоимостью компании, иначе говоря, фактически устанавливает взаимозависимость заемного рынка и акционерного капитала, а также отвечает на вопросы оптимизации структуры капитала. Хотя сегодня эмпирическое применение данных моделей сопровождается критикой, зачастую обоснованной, многие исследователи находятся в поиске более точной и применимой модели данного типа.

Кредитные рейтинги, присваиваемые какому-либо долговому активу, содержат информацию о рискованности вложений в данный актив с точки зрения именно кредитного риска. Существует множество видов кредитных рейтингов: внутренние, внешние, страновые, глобальные. Внутренние рейтинги составляют компании в основном для внутреннего пользования, например для кредитного подразделения. Внешние – это рейтинги, используемые не самой компанией, а сторонними пользователями. Во многих развитых странах существуют рейтинговые агентства, присваивающие рейтинги в основном компаниям-резидентам. Кроме того, есть международные рейтинговые агентства, которые охватывают сотни стран, присваивая рейтинги десяткам тысяч компании, наиболее популярны агентства Standard and Poor’s, Moody’s и Fitch.

Рейтинги, присваиваемые данными агентствами, авторитетны практически для всех участников финансового рынка и принимаются ими в учет при принятии инвестиционных решений. Даже если участник рынка лично не доверяет оценке данных рейтинговых агентств, он в любом случае принимает ее во внимание. От рейтинга зачастую зависит доходность инструмента, открытие на него лимитов другими участниками рынка, возможности репования и ликвидность инструмента. Таким образом, можно сказать, что рейтинги международных рейтинговых агентств имеют прямое воздействие на финансовый рынок.

Рейтинговое агентство, присваивая рейтинг эмитенту или выпуску ценных бумаг, тщательно проверяет его кредитное качество, и в зависимости от него присваивает тот или иной рейтинг. Следовательно, можно сделать вывод, что принадлежность долга эмитента к той или иной рейтинговой категории выражает степень риска, присущую данному эмитенту.

Поскольку крупнейшие международные рейтинговые агентства имеют многолетнюю историю: Moody’sc 1909 г., Fitchc 1913 г., Standard and Poor’s с 1957 г, то они располагают статистикой изменений кредитных рейтингов и дефолтов за многие годы по десяткам тысяч предприятий во многих странах мира. Так как подходы к оценке предприятий в целом унифицированы и радикально не меняются в течение длительного времени, то, располагая подобным материалом, можно статистическими методами рассчитать вероятность дефолта того или иного инструмента в зависимости от его рейтинга.

Рейтинговые агентства ведут статистику по дефолтам компаний, а также статистику по рейтингам и их изменению за многие годы. Таким образом, им не составляет большого труда построить вероятностную таблицу вероятности изменений кредитного рейтинга (табл. 6.2).

Таблица 6.2

В табл. 6.2 А, В, С и D представляют кредитные рейтинги компаний или их долговых выпусков начиная с самого надежного. Для простоты и наглядности мы взяли четыре. При присвоении рейтингов А, В, С компания существует и расплачивается по своим обязательствам, а рейтинг D означает, что компания банкрот и не может расплатиться по своим обязательствам.

Значения q_ij – вероятность, с которой компания изменит текущий рейтинг i на рейтинг у. Соответственно диагональные строки, где i =j, означают вероятность того, что компания не поменяет рейтинг. В нижней строке нули, потому что предполагается, что компания уже не может выбраться из состояния дефолта, поэтому изменение рейтинга D на какой-либо другой невозможно. Таким образом, рейтинг D выступает так называемым абсорбирующим уровнем, и вероятность перехода в него с любого другого q_id является вероятностью наступления дефолта для актива с рейтингом i.

Проводя математические действия с данной матрицей с помощью инструментария теории вероятностей, преимущественно цепей Маркова, рассчитываем вероятность дефолта каждого из инструментов каждого рейтинга. Данную вероятность можно использовать для оценки инструментов, содержащих кредитный риск или зависимых от него. Например, зная цену безрисковой дисконтной облигации и вероятность ее дефолта, полученную на основе рейтинга, преобразовав формулу (6.3), можно получить стоимость рисковой дисконтной облигации.

Кредитные деривативы оцениваются аналогично модели оценки CDS по стоимости облигации либо моделям на основе интенсивности дефолта, отличие состоит только в том, что вероятность дефолта получена не по рыночным ценам облигаций или моделированию кривых форвардных кредитных спредов, а на базе кредитного рейтинга. Таким образом, модель оценки с использованием рейтинга ближе к модели оценки вероятности дефолта или изменения кредитного рейтинга, чем к комплексной модели оценки кредитных инструментов.

Существуют эмпирические особенности, которые наблюдаются в реальности и которые необходимо учесть при построении реалистичной модели оценки на основе кредитного рейтинга, так как большинство моделей используют вероятностные матрицы изменений кредитного рейтинга в качестве исходного материала. Поэтому если изначальная матрица не учитывала следующие замечания, то оценка на ее основе может быть несостоятельной.

Во-первых, существует проблема логической интерпретации эмпирически наблюдаемых данных. Например, в случае с редко наблюдаемыми событиями, когда оценка вероятности проводится на основе нескольких наблюдений, она получается неустойчивой. Кроме того, бывают случаи, когда переход в более дальний рейтинговый класс случается чаще, т. е. вероятность изменения рейтинга с А на С больше, чем с А на В, – что также противоречит экономическому смыслу. К тому же некоторые события никогда не наблюдались, например, банкротство компаний с наивысшим рейтингом А, но это опять не означает, что вероятность дефолта компании с наивысшим рейтингом равна нулю.

Во-вторых, следует брать во внимание инерционность присвоения рейтинга и отсрочку изменения рейтинга. Суть в том, что компания в будущем или в следующем периоде скорее получит повышение (понижение) рейтинга, если недавно ее рейтинг был повышен (понижен), чем компания, рейтинг которой стабилен на протяжении длительного периода. В этом и заключается инерционность рейтинга. Кроме того, рейтинговые агентства склонны дожидаться получения новой информации о компании, не понижая или повышая ее рейтинг, даже если доходность инструмента существенно изменилась на основе рыночных ожиданий либо другой информации. Ведь рейтинговое агентство не хочет быть причиной дефолта компании, так как понимает, что при резком снижении рейтинга положение компании может еще более ухудшиться из-за изменения отношения инвесторов и кредиторов.

В-третьих, вероятность дефолта, отражаемая в кредитных рейтингах, не объясняет кредитных спредов, наблюдаемых на рынке, поскольку вероятность, получаемая из рейтингов, является исторической и не содержит ни информации относительно ожиданий рынка, ни премии за риск. В частности, облигации хорошего инвестиционного качества включают настолько большую премию за ликвидность, что рыночные спреды относительно них в несколько раз больше исторически наблюдаемой интенсивности дефолтов.

В-четвертых, кредитные спреды ценных бумаг внутри одного рейтингового класса не постоянны и варьируются между ценными бумагами в зависимости от отрасли, ликвидности и ряда других показателей.

В заключение можно сказать, что наибольшим преимуществом и недостатком моделей, основанных на кредитном рейтинге, являются данные, которые служат базой для оценки. С одной стороны, историческая информация и исследований кредитных рейтингов и их изменений доспутны. Кроме того, информация достаточно надежна, независима и доступна.

С другой стороны, данная информация имеет ограничение на использование при оценке кредитных деривативов, так как по определению является исторической и настолько достоверной, насколько текущее состояние рынка не отклонилось от исторической средней. Этот недостаток наиболее сильно проявляется в моменты финансовых кризисов, как и показала практика с несостоятельностью многих кредитных рейтингов в 2007–2008 гг. в США.