Текст книги "Инновации на финансовых рынках"

Таблица 9.6

Помесячная доходность индекса ММВБ за период 2008–2009 гг., %

Источники: Сайт ММВБ; расчеты Т.В.Тепловой.

Вероятность потерь составляет 42 % (это результат учета тех месяцев из общей величины 24, для которых наблюдалась отрицательная доходность. Таких значений десять – 01.2008, 03.2008, 06.2008, 07.2008, 08.2008, 09.2008, 10.2008, 11.2008, 01.2009 и 06.2009). Ожидаемые потери составили —5,9 % = (0,42)(—14,1 %).

Аналогичные расчеты позволяют получить ожидаемый выигрыш. Вероятность выигрыша на рассматриваемом отрезке составила 58 % (индекс демонстрировал положительное значение в 14 месяцах из 24), среднемесячная доходность по этим месяцам составила 9,6 %, следовательно, ожидаемый выигрыш составил 5,6 % = (0,58)(9,6 %). Спред выигрыша и потерь по российскому рынку (GLS) будет рассчитан как разность ожидаемого выигрыша и ожидаемых потерь: GLS= 5,6 %—(—5,9 %) = 11,5 %.

Расчет для разных компаний российского рынка (в выборку попали 50 финансовых активов, которые определяют 95 % капитализации ММВБ) меры риска Эстрады на шестилетнем временном отрезке позволил получить следующие оценки. Период с января 2004 г. по январь 2010 г. разбит на два отрезка: докризисный и послекризисный. В табл. 9.7 и 9.8 показаны первые 10 компаний выборки по рыночной капитализации.

Таблица 9.7

Расчет GLS для компаний российского рынка за период с 2004 по 2007 г.

Таблица 9.8

Расчет GLS для компаний российского рынка за период с 2008 по 2009 г.

Одним из направлений развития конструкции САРМ стали модели, включающие вместо традиционного бета-коэффициента односторонние меры систематического риска (expected return – semivariance capital asset pricing model). Первые модификации шли по пути замены традиционного бета, как отношения двусторонней ковариации доходности актива (портфеля) и рынка к дисперсии доходности рынка, на односторонний бета-коэффициент. Следующий шаг – замена рыночного систематического риска на систематическую асимметрию и систематический эксцесс, тестирование как однофакторных, так и многофакторных моделей, учитывающих несколько аспектов диагностирования риска.

В работе В. Хогана и Дж. Варрена [Hogan, Warren, 1974] односторонняя ковариация (cosemivariance – CSV) между рыночной доходностью (R_M) и доходностью актива (R_i) представляет собой копию ковариации в рамках традиционного подхода, но учитывает односторонние отклонения:

CSV_Rr(R_M,R_i)=E:{(R_i-R_F)min[(R_M – R_F), 0]}.

Путем деления односторонней ковариации на полувариацию рыночного портфеля авторы предложили следующую меру одностороннего риска (бета-коэффициент Хогана – Варрена, далее обозначение – HW-beta):

В данном представлении одностороннего риска следует отметить три момента. Во-первых, при расчете риска фиксируются не все отклонения вверх и вниз, а только левосторонние – вниз. Во-вторых, используется левостороннее отклонение только по рыночной доходности min(R_M-R_f,0)), а не по доходности актива i, и осуществляется нормирование не с помощью дисперсии рыночного портфеля, а через левостороннюю дисперсию рыночной доходности (доходности рыночного портфеля). Заметим, что по доходности актива учитываются как правосторонние, так и левосторонние отклонения. В-третьих, в формуле HW-beta присутствует безрисковая ставка процента (R_f) как бенчмарк для фиксации ситуации потерь (одностороннего риска). Таким образом, безрисковая доходность на рынке играет роль целевого уровня доходности инвестирования в модели HW.

Заменяя традиционный бета-коэффициент на односторонний аналог, авторы доказывают корректность применения ES-САРМ (модели ценообразования финансовых активов, основанной на подходе «ожидаемая доходность – односторонняя вариация», expected return – semivariance capital asset pricing model). Ожидаемая доходность в рамках ES-CAPM записывается следующим образом:

где E(R_i) – требуемая (и ожидаемая) доходность на актив i; R_F – безрисковая ставка процента; E(R_M) – ожидаемая рыночная доходность; SV (R_M) – односторонняя вариация рыночного портфеля; CSV (R_M,R_i) – односторонyzz ковариация между доходностью актива i и рыночным портфелем с принятым бенчмарком на уровне безрисковой ставки. Премия за риск инвестирования в актив находится в линейной зависимости от систематического риска этого актива, но в данном случае измеряемого не традиционным бета-коэффициентом, а односторонним бета-коэффициентом.

Опираясь на модель частичных моментов низших порядков (Lower Partial Moment – LPM), предложенную в 1975 г. В. Бава [Bawa, 1975], в работе В. Бава и Э. Линденберга [Bawa, Lindenberg, 1977] получила развитие еще одна равновесная модель формирования доходности активов с введением односторонней меры риска: «среднее – частичные моменты низшего порядка» (Mean-Lower Partial Moment Model – MLPM). Односторонний бета-коэффициент (BL-beta) в этой конструкции рассчитывается следующим образом:

где CLPM_n(R_F; М, j) определяется как систематическая мера риска (co-LPM) порядка п между активом j и рыночным портфелем (М):

В целом LPM_n(R_F;M) (моменты низших порядков) представляет собой меру оценки одностороннего риска – одностороннюю дисперсию, только с учетом определенного вида функции полезности (n-степенной) и записывается следующим образом:

LPM₀ нулевого порядка соответствует всем функциям полезности инвесторов, которые предпочитают линейный рост доходности (u' > 0). LPM₁ 1-го порядка включает все функции полезности, характерные для инвесторов – противников риска (u' > 0 и u" < 0). LPM₂ (2-го порядка) характеризует инвесторов, не только не склонных к риску, но и обладающих смещенными предпочтениями (u' > 0, u" < 0 и u'" > 0). Отметим, что, фиксируя n на 2-м уровне (т. е. выбирая общеупотребимую в теории финансов функцию полезности инвесторов), модель MLPM [Bawa, Lindenberg, 1977] преобразуется до модели ES-CAPM [Hogan, Warren, 1974]. Для расчета одностороннего бета-коэффициента Бава и Линденберг [Bawa, Lindenberg, 1977] в качестве целевой нормы доходности (бенчмарка), как и в работе [Hogan, Warren, 1974], используют безрисковую ставку процента.

В еще одной модели, развивающей конструкцию САРМ, – модели Харлоу и Pao [Harlow, Rao, 1989] – также используется односторонний бета-коэффициент (HR-beta), который вычисляется по формуле:

где R_i – доходность актива i; R_M – доходность рыночного портфеля, μ_i, – средняя доходность актива i, μ_M, – средняя доходность рыночного портфеля.

По сравнению с моделью Бава – Линденберга (1977) в модели Харлоу – Рао (1989) отклонение доходности актива и портфеля рассчитывается по отношению к соответствующим средним значениям (актива и рынка (индекса)).

Хавьер Эстрада [Estrada, 2002; 2007] предложил еще один вариант расчета бета-коэффициента для конструкции САРМ в рамках одностороннего риска, который позволил преодолеть ряд пробелов в ранее упомянутых моделях. X. Эстрада показал, что односторонняя ковариация, предложенная Хоганом и Варреном, Бава и Линденбергом, а также Харлоу и Рао, имеет ряд ограничений. Односторонняя ковариация между доходностью актива i и рыночного портфеля М количественно отличается от односторонней ковариации между доходностью рыночного портфеля М ж актива i.

В модели X. Эстрада односторонняя ковариация рассчитывается следующим образом:

Σ_iM=Е’{min[(R_i – μ_i),0]min[(R_M – μ_M),0]}.

Односторонний коэффициент корреляции актива i и рыночного портфеля (Θ_iM) определяется по формуле:

Соответственно односторонний бета-коэффициент (E-beta) рассчитывается по формуле:

Модель D-CAPM расчета ожидаемой (и требуемой) доходности актива i Эстрады выглядит следующим образом:

E(R_i) = R_f + MRPβ_i^D,

где MRP – рыночная премия за риск; R_f — безрисковая ставка доходности.

Оценку одностороннего бета-коэффициента для актива i (Эстрада в качестве актива для тестирования объясняющей способности модели рассматривал страновые фондовые индексы) можно получить в рамках регрессионного построения. При этом необходимо оценить коэффициенты регрессии без свободного члена, вида:

y_t=λ₁x_t +ε_t ,

где у_t = min[(R_it – μ_i),0] и х_t = min[(R_Mi– μ_M,).0].

При этом μ_i и μ_M соответственно, средние арифметические для рядов у и х.

Заметим, что согласно модели Х. Эстрады (β^D_i) актив i увеличивает риск портфеля только тогда, когда доходность актива и рыночная доходность меньше, чем их соответствующие средние значения, т. е. R_i <μ_i и R_M <μ_M. Согласно модели Харлоу – Рао (β_i^HR) риск портфеля меняется, когда доходность актива больше, чем среднее значение доходности по этому активу, а рыночная доходность меньше, чем ее среднее значение, т. е. R_i >μ_i и R_M <μ_M. В модели Хогана – Варрена (β_i^HW) риск портфеля меняется, когда доходность актива превышает безрисковую ставку, а рыночная доходность меньше безрисковой ставки (R_i > r_f и R_M < r _f), т. е. сравнение происходит не со средними уровнями доходности, а с безрисковой ставкой на рынке.

При расчете β_i^HW и β_i^HR учитываются только левосторонние отклонения от рыночной доходности, в то время как в модели Эстрады при расчете β_i^D учитывается левостороннее отклонение доходности и по рынку, и по активу. Конструкции, предложенные как Эстрадой, так и Харлоу и Рао, основываются на бенчмарке (целевом уровне), равном среднему значению распределения доходностей, в то время как подход Хогана – Варрена предполагает целевой уровень, равный безрисковой ставке.

Различия в получаемых оценках по перечисленным выше моделям покажем на примере двух российских публичных компаний с высоколиквидными акциями[40]40
  Пример подготовлен совместно с аспирантом НИУ ВШЭ И. Коротаевым.


[Закрыть] (табл. 9.9 и 9.10). Для расчета систематического риска инвестирования выбраны акции, которые на рассматриваемом временном отрезке характеризовались одинаковой средней доходностью и стандартным отклонением, но при этом различались по коэффициентам одностороннего риска Хогана – Варрена, Харлоу – Рао, Эстрада.

Таблица 9.9

Динамика цен акций и месячная доходность акций Газпрома (биржевой тиккер – GAZP Equity)

Таблица 9.10

Динамика цен акций и месячная доходность акций МТС (биржевой тиккер – MTSI Equity)

Справочно: Месячная доходность рассчитывается по формуле:

Таким образом, получаем следующее распределение месячных доходностей (%): Газпром (—6,06; —6,65; 9,05; —2,56; 0,78) и МТС (-12,53; 1,58; 1,58; 3,51; 0,61).

Расчет математического ожидания доходности по акциям этих компаний показывает, что оно равно: Газпром – 1,1 % [((-6,06 %) + (-6,65 %) + 9,05 % +(– 2,56 %)+ 0,78 %)/5] и МТС -1,1 % [((-12,53 %)+ 1,58 %+ 1,58 % + 3,51 % +0,61 %)/5)]. Компании показали одинаковую среднюю доходность за полгода.

Среднемесячное значение стандартного отклонения для обеих акций практически совпало, для Газпрома – 5,7 % и для МТС-5,8 %.

Расчет бета-коэффициента по акциям двух компаний представлен в табл. 9.12.

Ковариация (cov) доходности рыночного портфеля с доходностью акций компаний рассчитывается по формуле:

и равна для Газпрома и МТС соответственно:

Рассчитав корреляцию доходности акций с рыночным портфелем и дисперсию рыночного портфеля, можно рассчитать бета-коэффициент по формуле:

Таблица 9.11

Расчет стандартного отклонения доходности по акциям Газпрома и МТС на полугодовом промежутке времени

Таблица 9.12

Динамика индекса ММВБ и месячная доходность индекса в 2010 г.

Среднемесячная доходность рынка равна μ_M =0,2 %, стандартное отклонение δ_М=5,12 % и дисперсия соответственно δ²_М = 0,0512² = 0,002 62.

Расчет классического бета-коэффициента показывает, что инвестирование в акции Газпрома будет практически таким же, как инвестирование в индекс ММВБ, так как коэффициент бета близок к единице. С позиции портфельного инвестора, акции МТС менее подвержены системному риску (бета-коэффициент меньше единицы). В рамках конструкции САРМ расчет требуемой доходности будет следующим:

ER_T = 8 % + 0,96 х 6,3 % = 14,05 %;

ER_MTC =8 %+ 0,72x6,3 % = 12,53 %.

Примечание. Безрисковая ставка (средняя ставка по депозиту в 2010 г.) принимается на уровне 8 % годовых, и рыночная премия за риск составляет 6,3 % годовых в период с октября 2009 г. по сентябрь 2010 г.

Однако, если посмотреть на месячные доходности акций Газпрома (%): (-6,06; -6,65; 9,05; -2,56; 0,78) и МТС: (-12,53; 1,58; 1,58; 3,51; 0,61), можно заметить, что акции Газпрома в трех случаях (—6,06 %; —6,65 %; —2,56 %) показали отрицательную доходность, один раз доходность чуть больше нуля (0,78 %) и один раз очень хорошую доходность (9,05 %). МТС, наоборот, в четырех случаях показал положительную доходность (1,58 %; 1,58 %; 3,51 %; 0,61 %) и в одном случае значительное падение доходности (—12,53 %). Можно предположить, что оценка акций с учетом одностороннего отклонения будет давать более точные данные при сопоставлении этих акций.

Расчет бета-коэффициента Хогана – Варрена показан в табл. 9.13, Харлоу – Рао – в табл. 9.14, Эстрада – в табл. 9.15, сводные результаты – в табл. 9.16. Значение безрисковой ставки принято равным 0,67 % (8 % годовых по депозиту/12 мес.) в месяц.

Таблица 9.13

Расчет бета-коэффициента Хогана – Варрена для двух рассматриваемых акций

Таблица 9.14

Расчет меры риска и требуемой доходности по модели Харлоу – Рао

Таблица 9.15

Модель Эстрады для расчета мер систематического риска и требуемой доходности

Таблица 9.16

Сопоставительный анализ расчетных мер риска

Как видно из табл. 9.16, результаты, полученные по односторонним мерам риска, отличаются от первоначальных расчетов в рамках классической конструкции САРМ. В рамках двустороннего риска акции МТС характеризуются меньшим риском по сравнению с рынком и акциями Газпрома, однако анализ одностороннего риска показывает, что акции более рискованны и требуемая доходность по ним должна быть выше.

В работе С. Хванга и К.С. Педерсена [Hwang, Pedersen, 2002] представлены результаты тестирования трех моделей на основе конструкции САРМ на уровне страновых индексов: с традиционным бета-коэффициентом и с двумя мерами одностороннего риска – LPM-CAPM (Lower Partial Moment – САРМ) и ARM (Asymmetric Response Model). Исследование проведено на выборке из 690 компаний развивающихся рынков капитала на 10-летнем временном горизонте (апрель 1992 г. – март 2002 г.). Авторы делают вывод, что по своей объясняющей способности традиционный бета-коэффициент не уступает альтернативным моделям формирования мер рыночного риска. При перекрестной выборке объясняющая способность традиционной САРМ достигла 80 % по данным недельной и месячной доходности, и 55 % – по данным дневной доходности. Значимых преимуществ асимметричных мер риска на уровне нескольких рынков капитала выявлено не было. Кроме того, проводя анализ, авторы разделили выборку 26 развивающихся стран по регионам, а затем разбили весь временной период наблюдений на два промежутка – до и после азиатского кризиса 1997 г. Именно это позволило показать значимое влияние локальных рисков на развивающихся рынках капитала, но не привело к доказательству преимуществ односторонних мер риска.

Для тестирования собственной модели X. Эстрада использовал ежемесячные наблюдения о фондовых индексах 27 развивающихся стран из базы данных Morgan Stanley Capital за период с 1988 по 2001 г. Х.Эстрада превосходство β^D над традиционными мерами риска объясняет «вирусным эффектом» на финансовых рынках, именно тем, что рынки более интегрированны в случае кризиса, чем в случае экономического подъема, что и должны фиксировать односторонние меры риска по отношению к глобальному портфелю.

Аналитики, тестирующие преимущества односторонних мер риска, продолжают исследование X. Эстрады, когда на данных разных страновых фондовых индексов сопоставляются несколько мер риска. Например Д. Коллинз [Collins, 2002] тестирует разные меры риска для 42 стран развивающегося рынка: систематического (бета-коэффициент), общего (стандартное отклонение), идиосинкратического, одностороннего (одностороннее отклонение, односторонний бета-коэффициент и VaR[41]41
  Value at risk – максимально возможная сумма потерь инвестора, оцененная за некоторый временной промежуток с определенной вероятностью.


[Закрыть]), а также размер рынка (определяется по средней капитализации страны), учитываются также коэффициенты скошенности и эксцесса. Тестирование проводилось на основе эконометрического метода (также как и в большинстве подобных работ) с позиции международного инвестора на 5-летнем временном промежутке (январь 1996 г. – июнь 2001 г.) по недельным доходностям. В зависимости от размера рынка капитала, ликвидности и степени развития инфраструктуры рынка первоначальная выборка из 42 стран была разделена на три группы: первая группа – страны с большим размером рынка капитала (например, Бразилия, ЮАР, Китай), а также с небольшим, но экономически и информационно развитым размером рынка; вторая группа – менее крупные развивающиеся рынки (сюда вошла Россия); третья группа – небольшие рынки (Латвия, Эстония, Кения, Литва, Словакия и др.). Полученные результаты исследования показали, что для некоторых рынков значения бета-коэффициентов получились меньше ожидаемых, что свидетельствует о ложном сигнале для инвесторов о существовании низкого риска. Коллинз делает вывод: бета-коэффициент (а следовательно, и модель САРМ) некорректно применять для всей совокупности развивающихся стран. Он также утверждает, что нет единого показателя риска, который подходил бы для любой страны из группы развивающихся. Для стран первой группы более подходящим показателем риска является коэффициент, учитывающий размер рынка; для стран второй группы – показатели одностороннего риска (в сравнении с другими лучшие результаты продемонстрировал показатель VaR); для стран третьей группы – либо стандартное отклонение, либо идиосинкратический риск.

Тестирование трех односторонних мер риска (BL, НВ, E-beta) на уровне рынков капитала (для 27 развивающихся рынков)[42]42
  В выборку вошли азиатские и латиноамериканские рынки, африканские и восточноевропейские, включая Россию.


[Закрыть] на отрезке 1995–2004 гг. проведено Д. Галагедера [Galagedera, 2007]. В качестве глобального портфеля используется индекс MSCI по развивающимся рынкам, в качестве безрисковой ставки фигурируют 10-летние государственные облигации США (Tbond 10). Показано, что для рынков с большой асимметрией распределения доходности (высокий коэффициент скошенности) наиболее приемлемой мерой систематического риска выступает HB-beta. Для рынков с наблюдаемыми существенными сверхнормальными доходностями преимущество над другими мерами риска имеет BL-beta.

Результаты тестирования D-CAPM с E-beta по странам со схожими географическими и макроэкономическими характеристиками Центральной и Восточной Европы (восемь стран бывшего соцлагеря: Чехия, Словакия, Венгрия, Польша, Словения, Эстония, Латвия и Литва на временном отрезке 1998–2003 гг.) представлено в работе Л. Девириса и Е Жанкаускаса [Devyris, Jankauskas, 2004]. Авторы доказывают значимость односторонних мер риска наряду с сохранением влияния специфических страновых рисков.

Тестирование односторонней версии САРМ на уровне фирм для одного рынка капитала менее обширно[43]43
  Например, интересны исследования по рынку Пакистана [Javid, 2009], Израиля [Levy, 1980], Египта [Omran, 2007], по рынку России имеются исследования Т. Тепловой с соавторами [Teplova, Selivanova, 2007; Teplova, Shutova, 2011].


[Закрыть]. Некоторые важные моменты влияют на получаемые оценки значимости модели САРМ и ключевого параметра модели – бета-коэффициента, как в традиционной версии, так и в конструкции одностороннего риска. Первый момент – временной горизонт проводимого тестирования. Включение в горизонт анализа периодов финансовой устойчивости и нестабильности существенно влияет на статистические оценки связи «риск – доходность». Использование неизменного бета-коэффициента для длительного временного горизонта также дает неадекватные результаты. Второй момент – шаг расчета доходности (недельные, месячные, годовые данные). В ряде исследований показано, что увеличение шага анализа существенно повышает объяснительную способность САРМ[44]44
  Переход от традиционных месячных или квартальных показателей доходности к годовым позволил X. Леви сделать вывод о допустимости использования САРМ на израильском рынке (R² в исследовании оценен на уровне 40 %) [Levy, 1980].


[Закрыть]. Однако использование годового шага часто затруднено, так как на развивающихся рынках капитала трудно найти относительно длинные периоды наблюдений (например, временйые ряды доходностей акций и соответственно расчетные бета-коэффициенты по российскому рынку можно выстроить только с 1995 г.). Поэтому во многих исследованиях выбор делается в пользу недельного шага фиксации доходности.

Например, К. Педерсен и С. Хванг на основе анализа доходности акций британских компаний делают вывод, что хотя односторонняя бета объясняет часть доходности обыкновенных акций в дополнение к традиционному бета-коэффициенту, однако переход на одностороннюю меру риска не приводит к существенным улучшениям модели ценообразования финансовых активов [Pedersen, Hwang, 2003]. Аналогичные данные были получены для развивающихся рынков. Например, М. Гонзалес [Gonzalez, 2001] тестировал модель САРМ на выборке компаний, акции которых торгуются на фондовой бирже Каракаса (Венесуэла). Используя регрессионный метод на данных за 6-летний период (1992–1998 гг.), автор приходит к выводу, что на рынке Венесуэлы модель САРМ не работает. Это заключение главным образом было сделано вследствие отвержения гипотезы о наличии положительной зависимости между риском и доходностью акций. Однако результаты исследования показали, что, во-первых, зависимость между риском (в качестве показателя которого использовался бета-коэффициент) и доходностью является линейной, и, во-вторых, систематический риск – это не единственный фактор, влияющий на ожидаемую доходность на собственный капитал. Схожие результаты были получены в ходе исследования М. Омрана [Omran, 2007] на египетском рынке капитала. В выборку вошла 41 компания с наиболее ликвидными акциями. Выборка данных была сформирована за период декабрь 2001 г. – декабрь 2002 г. на основе логарифмических доходностей акций, полученных на недельных наблюдениях. Эмпирические тесты М. Омрана свидетельствуют о том, что рыночный риск выступает существенным фактором, объясняющим ожидаемую доходность акций египетских компаний. Выявленный парадокс исследования – доходность портфеля, составленного из акций компаний с низкими бета-коэффициентами (в основном это компании, которые производят товары народного потребления и предоставляют финансовые услуги), выше, чем доходность портфеля из акций компаний строительной, текстильной отраслей и сектора гостиничного бизнеса с более высокими значениями бета-коэффициента. По мнению автора, причиной такого несоответствия является государственная национализация 1950—1960-х годов, которая в большей степени отрицательно повлияла на риски промышленного и строительного секторов экономики, чем на компании, производящие потребительские товары, а также на финансовые организации.

В работе Т. Тепловой и Н. Селивановой [Teplova, Selivanova, 2007] на временном отрезке 2003–2006 гг. по 25 обыкновенным акциям крупнейших компаний российского рынка, акции которых котируются на бирже РТС, проведено сопоставительное тестирование E-beta в рамках D-CAPM X. Эстрады по сравнению с традиционной моделью (бета-коэффициент рассчитан регрессионным методом каждой компании по рыночной модели). Преимущества модели D-CAPM для описания доходности инвестирования в собственный капитал российских компаний не выявлены.

Традиционно используется двухшаговый алгоритм (two-stage estimation procedure) тестирования Ю. Фама и Дж. Макбет [Fama, MacBeth, 1973], когда на первом шаге вычисляют значения бета-коэффициента (в рамках традиционного представления «средняя – стандартное отклонение» или ряда односторонних значений) для каждой компании (портфеля) относительно странового индекса (как рыночного портфеля), а затем средние за период значения доходности компаний или портфелей (MR) регрессируются на полученные для этих компаний значения бета-коэффициентов для нахождения значений премий за риск[45]45
  Эта процедура также применяется в исследованиях [Pettengill et al., 1995; Harvey, Siddique, 2000; Chung etal., 2006].


[Закрыть]. Однофакторные модели для тестирования различных спецификаций модели с разными значениями бенчмарка имеют вид:

E(MR_i) = γ₀ + у_iβ_i.+ е;

E(MR_i) = γ₀ + γ_i β_M^HR + е;

E(MR_i) = γ₀ + γ_i β₀^HR + е;

E(MR_i) = γ₀ + γ_i β_M^E + е;

E(MR_i) = γ₀ + γ_i β₀^E + е.

По каждой объясняющей переменной и по свободному члену оценивается 1-статистика, которые затем сопоставляются с критическим значением по таблице Стьюдента (также оценивается вероятность признания переменной статистически незначимой – p-vaiue). Из моделей со статистически значимыми объясняющими переменными выбирается та спецификация модели, которая обеспечивает большую объяснительную способность в различии доходностей активов выборки (например, по критерию R).

Пример возможного представления данных показан в табл. 9.17.

Таблица 9.17

Пример представления результатов регрессионной оценки объясняющей способности бета-коэффициентов

Так как по построенным регрессиям может наблюдаться гетероскедастичность (непостоянство дисперсий остаточных членов регрессии), рекомендуется на следующем шаге провести статистические тесты на корректность (несмещенность) полученных в регрессии оценок значимости переменных. Один из возможных вариантов тестирования – тест Вайта (White heteroskedasticity-consistent covariance matrix). В тесте Вайта тестирование дисперсий остатков заменяется оцениванием регрессии квадратов отклонений на объясняющие переменные, квадраты объясняющих переменных и их попарные произведения (исключая все повторяющиеся переменные). Таким образом, тестирующая регрессия в тесте Вайта включает N параметров, а для оценки ее качества значение N × R² сравнивается с критическим значением по статистической таблице хи-квадрат (Χ²).

Следующим шагом может быть переход от однофакторных моделей к многофакторным, когда оцениваются перекрестные регрессии, отдельно с двумя переменными, измеряющими, например, полный риск (среднеквадратичное отклонение о и одностороннее среднеквадратичное отклонение) и отдельно с двумя объясняющими переменными, измеряющими систематический риск (традиционный и односторонний бета-коэффициенты). Двухфакторная модель принимает вид:

MR_i = γ₀ +γ₁ RV_1i+γ₂ RV_2i+u_i,

где RV₁ и RV₂ – параметры для оценки риска.

Четырехфакторная перекрестная регрессия, одновременно учитывающая все четыре объясняющих переменных риска, примет вид:

MR_i = γo + γ₁RV_1i + γ₂ RV_2i + γ₃ RV_3i+ γ₄ RV_4i + u_i

Далее этот алгоритм рассматривается на основе данных российского фондового рынка по выборке 50 финансовых активов, которые определяют 95 % капитализации индекса ММВБ (сбор данных и расчеты проведены совместно с Е.С. Миковой). Временной горизонт анализа – с января 2004 г. по ноябрь 2010 г. Гипотеза исследования – односторонние меры риска должны лучше объяснять различия доходностей ценных бумаг, так как вероятностное распределение доходностей акций, котирующихся на ММВБ, не подчиняется нормальному распределению. Отклонение рыночной доходности (по индексу ММВБ) от нормального распределения можно оценить по коэффициентам асимметрии и эксцесса в табл. П.2 и П.З. Оценки для ряда компаний российского рынка показаны в табл. П.1 и П.2 приложения (включая статистический тест Jarque-Bera на проверку нормальности распределения). Аналогичный вывод о невыполнении предпосылки нормальности и логнормальности распределения по другим зарубежным рынкам были описаны в работах (Harvey, 1995; Hussain, Uppal, 1998), [Javid, 2009].

Однофакторная модель для тестирования имеет вид:

MR_it = у₀ + γ₁ × risk factor_i+ е_it,

где MR – средняя за период доходность рассматриваемого актива i из выборки.

Факторы риска были отдельно рассчитаны для трех временных горизонтов: 2004–2007, 2008–2010, 2004–2010. Тестировались четыре разных меры систематического одностороннего риска (downside systematic risk): модель Бава – Линденберга с BL-beta, модель Харлоу – Рао с HR-beta, модель Хогана – Варрена с H-Wbeta и модель Эстрады с E-beta. В рамках этих четырех спецификаций моделей тестировалось также влияние выбора бенчмарка (т) на объяснительную способность модели (рассмотрены следующие варианты: нулевая доходность, безрисковая ставка, средняя доходность для каждого актива, рыночная доходность как ц). Аналогичная двухшаговая процедура была применена и для новой меры риска X. Эстрады (GLS).

Расчет мер риска по компаниям выборки на двух отрезках представлен в табл. П.З и П.4.

Рассмотрение объяснительной способности (cross-sectional analysis) различных спецификаций САРМ показало, что объяснительная сила традиционного бета-коэффициента находится на уровне 0,5 % (R² = 0,005 в однофакторной регрессии по недельным значениям доходности). На отрезке с 2008 по 2009 г. объяснительная способность еще меньше. Замена в однофакторной модели традиционного бета-коэффициента на односторонние меры риска (downside measures – βЕ и βHR) повышает объяснительную способность, но только на периоде финансовой стабильности. Для периода финансовой нестабильности преимущества односторонних мер риска не выявляются (ни с какими значениями бенчмарка). Лучшей мерой по объяснительной способности для периода 2004–2007 гг. является односторонний бета-коэффициент Харлоу – Рао (HR-бета) с бенчмарком (target return), равным нулю τ = 0 (R² = 36,2 %) (см. табл. 9.18).

В табл. 9.19 приведены результаты тестирования объяснительной способности меры риска Эстрады GLS на двух временных отрезках по недельным доходностям. Из таблицы видно, что в период финансовой стабильности эта мера риска не характеризуется статистической значимостью. Однако в период кризиса (2008–2009) мера риска GLS статистически значима, но объяснительная способность невелика и явно проигрывает мере Harlow & Rao (HR-бета).

В целом объяснительная способность однофакторных моделей на российском рынке не велика. Однофакторные модели (особенно спецификация Harlow & Rao (HR-бета) с нулевым бенчмарком) хорошо объясняют различия доходностей только на периоде финансовой стабильности.

Таблица 9.18

Премии за риск для традиционной и односторонней мер систематического риска на российском рынке

Таблица 9.19

Результаты тестирования однофакторной модели с мерой риска GLS (1 %-й уровень значимости)

* 5 %-й уровень значимости; ** 10 %-й уровень значимости.