Текст книги "Инновации на финансовых рынках"

8.5. Оценка реального и нормального распределения доходностей

Известно, что реальное распределение доходности активов существенно отличается от нормального. Проблему с ненормальностью можно также назвать проблемой «тяжелых хвостов», когда вероятность появления крайних значений выше, чем при нормальном распределении. В результате более точное использование предпосылки о нормальности распределения возможно при коррекции полученных результатов с учетом коэффициентов, позволяющих учесть отличие реального распределения доходности от нормального – коэффициентов асимметрии и эксцесса. Поэтому коэффициенты, использующие в качестве меры риска стандартное отклонение доходности, могут содержать некоторую погрешность и искажать результаты сравнения.

Рассмотрим, насколько реальное распределение доходностей по акциям и облигациям отличается от нормального на американском и на российском фондовом рынке с использованием коэффициентов асимметрии и эксцесса.

Коэффициент асимметрии представляет собой нормированную величину третьего центрального момента и определяется по формуле:

где г_i – доходность актива; г – средняя доходность актива за рассматриваемый период времени; n – число наблюдений в выборке; σ – стандартное отклонение доходности актива.

Экономический смысл коэффициента асимметрии состоит в том, что при положительном значении коэффициента (правосторонняя асимметрия) самые высокие доходы являются более вероятными, чем самые низкие. При отрицательном значении коэффициента (левосторонняя асимметрия) наоборот, самые низкие доходности будут более вероятными, чем самые высокие.

У нормального распределения коэффициент асимметрии равен нулю. Принято считать, что:

|As| ≤ 0,25 – асимметрия незначительная;

0,25< |As| ≤0,5 – асимметрия умеренная;

|As| > 0,5 – асимметрия существенная.

Коэффициент эксцесса показывает, насколько вершина нормального распределения находится ниже или выше, чем в случае рассмотрения реального распределения доходности. Он принимает положительные значения, если вершина нормального распределения занижена относительно реального распределения, и отрицательные – если завышена.

Коэффициент эксцесса рассчитывается по следующей формуле:

Экономический смысл коэффициента можно кратко описать следующим образом: если два актива имеют одинаковые симметричные распределения доходности и одинаковые средние, менее рискованным считается актив с большей величиной эксцесса.

Коэффициент эксцесса нормального распределения равен нулю. Считается, что:

|Ек | < 0,2 – практически эксцесс отсутствует;

|Ек | —0,2–0,3 – слабый эксцесс;

|Ек | = 0,3–0,6 – умеренный эксцесс;

|Ек | = 0,6–1,0 – сильный эксцесс;

|Ек | > 1 – очень сильный эксцесс.

Оценка действительного распределения доходности по акциям и облигациям и его сравнение с нормальным распределением проводилась по данным американского фондового рынка за период с 1928 по 2008 г. Доходность акций рассчитывалась как прирост курсовой стоимости акций, входящих в расчет индекса Доу-Джонса, а в качестве облигаций рассматривались 10-летние казначейские облигации.

Рис. 8.16. Реальное распределение доходности акций и облигаций на фондовом рынке США при сроке инвестирования один год

Представленные на рис. 8.16 графики позволяют утверждать, что реальное распределение доходности по акциям практически совпадает с нормальным, в то время как по облигациям оно существенно отклоняется от нормального. Это также подтверждают значения коэффициентов асимметрии и эксцесса, которые по акциям составили —0,19 и 0,54 соответственно, а по облигациям равнялись 1,14 и 0,86.

Исходя из фактического распределения доходности облигации представляются менее рискованным активом, чем это показывает нормальное распределение. Существенная правосторонняя асимметрия распределения доходности по облигациям (1,14) говорит о том, что получение более высоких доходностей по ним вероятнее, чем на это указывает нормальное распределение. В то время как получение больших отрицательных доходностей гораздо менее вероятно. Такая ситуация просматривается и на гистограммах реального распределения доходности.

Показатели эксцесса по облигациям также позволяют утверждать, что исходя из реального распределения доходности облигации имеют лучшее соотношение риска и доходности, чем это показывает нормальное распределение доходности. Например, ярко выраженный коэффициент эксцесса, равный 0,86, свидетельствует о том, что в реальности разброс доходности по облигациям значительно меньше, чем это демонстрирует график нормального распределения доходности.

Анализ коэффициентов асимметрии и эксцесса для акций дает основания утверждать, что акции являются менее рискованным активом, чем это показывает нормальное распределение. Несмотря на то что наблюдается незначительная левосторонняя асимметрия (—0,19), говорящая о том, что вероятность получения больших отрицательных доходностей выше, чем вероятность получения больших положительных доходностей, этот более высокий, в сравнении с нормальными распределением, риск компенсируется умеренным положительным эксцессом (0,54). На основе этого делаем вывод, что исходя из реального распределения доходности акции имеют лучшее соотношение риска и доходности, чем это может показать нормальное распределение доходности.

Расчеты коэффициентов асимметрии и эксцесса для разных временных горизонтов инвестирования представлены в табл. 8.4.

Таблица 8.4

Параметры распределения доходности акций и облигаций рынка США для различных сроков инвестирования

Эксперты предлагают решать проблему ненормальности распределения доходности путем прямой коррекции значений коэффициента Шарпа с учетом коэффициентов асимметрии и эксцесса. Дж. Пезнер и А. Вайт предложили следующую формулу расчета модифицированного коэффициента Шарпа [Pezier, White, 2006]:

где Sh – коэффициент Шарпа; As – асимметрия; Ек – эксцесс.

В табл. 8.5 представлены результаты проведенных расчетов по рынку США при инвестировании в акции и облигации на разные сроки. Сравнение эффективности инвестирования в акции и облигации по критерию «риск – доходность» проводится по классическому и модифицированному коэффициентам Шарпа.

Как показывает сравнение представленных данных, в рассматриваемой ситуации значения модифицированного коэффициента Шарпа крайне слабо отличаются от значений обычного коэффициента Шарпа. Поэтому выводы, применимые для коэффициента Шарпа, также применимы и для модифицированного коэффициента Шарпа.

Таблица 8.5

Показатели риска и доходности для акций и облигаций фондового рынка США при разных сроках инвестирования

* * *

В результате проведенного исследования выявлено, что существует четко выраженная зависимость между риском и доходностью активов и временным горизонтом инвестирования.

Удлинение сроков инвестирования положительно влияет на соотношение доходности и риска. Высокая волатильность фондового рынка в краткосрочном периоде обусловлена неэффективностью рынков, наличием информационного шума, игрой спекулянтов и рядом других факторов, действующих короткий период времени. В долгосрочной перспективе фондовые рынки отражают состояние дел в реальном секторе экономики. В связи с тем что экономика развивается по эволюционному пути и, несмотря на циклические спады и подъемы, имеет тенденцию к росту, инвестиции в акции на длительном временном горизонте всегда дают положительный результат. Результаты исследования, полученные на российском фондовом рынке, совпадают с результатами, полученными Р. Гибсоном, К. Харвейем, Ф. Нардари и Ж. Скруггсом для оценки рисков и доходностей активов на развитых рынках капитала.

Волатильность акций – это негативный фактор для краткосрочных инвестиций. В долгосрочном периоде волатильность имеет позитивный акцент, так как выступает основой более высокой доходности. В связи с этим акции являются более выгодным активом для инвестирования на длительный период. Это доказывает, что более рискованные в краткосрочном периоде активы могут быть подходящим инструментом для консервативного инвестора, который инвестирует свои средства на длительный срок.

Источники

Лобанов А.А., Чугунов А.В. Энциклопедия финансового риск-менеджмента. М.: Альпина Паблишер, 2003.

Ang A., Hordrick К, Xing Y., Zhang X. The Cross-section of Volatility and Returns. Working paper. Columbia Business School, 2004.

Barberis N., HuangM., Santos T. The Center for Research in Security Prices. Working paper. University of Chicago, Graduate School of Business, 1999.

Gibson R. Asset Allocation: Balancing Risk. McGraw-Hill, 2000.

Ibbotson R., Chen P. Stock Market Returns in the Tong Run: Participating in the Real Economy. Working paper. Yale School of Management, 2002.

Lo A. The Statistics of Sharpe Ratios // Financial Analysts Journal. 2002. July-August. P. 36–50.

Lucas A., Klaasen P. Extreme Returns, Downside Risk, and Optimal Asset Allocation //The Journal of Portfolio Management. 1998. Fall. P. 71–80.

Nardari F., Scruggs J. Why Does Stock Market Volatility Change Over Time? A Time-Varying Variance Decomposition for Stock Returns. Working paper. Arizona State University, 2005.

Robertson D., Wright S. The Good News and the Bad News about Long-run Stock Market Returns. Working paper. University of Cambridge, 1998.

Sharpe W. Portfolio Theory and Capital Markets. McGraw-Hill, 1970.

Sortino F.A., Van Der Meer R. Downside Risk // The Journal of Portfolio Management. 1991. Summer. P. 27–32.

Pezier J., White A. The Relative Merits of Investable Hedge Fund Indices and of Funds of Hedge Funds in Optimal Passive Portfolios. Submotted JAI, 2006.

www.rts.ru

www.cbonds.info

www.djaveragescom

www.finam.ru

www.cbr.ru

www.federalreserve.gov

Глава 9
Трактовка риска в анализе соотношения «риск – доходность» на развивающихся рынках капитала
Т.В. Теплова

Инвестирование в любые активы (финансовые и реальные) практически всегда сопряжено с неопределенностью и риском[32]32
  Дж. М. Кейнс ввел достаточно простой критерий разделения неопределенности и риска: неопределенность подразумевает невозможность вычисления вероятности или оценки ее на базе научных предпосылок, риск – это ситуация в инвестиционной деятельности, которая позволяет оценить вероятность исходов тем или иным методом (частотным или экспертным). Таким образом, риск – это вероятностная категория.


[Закрыть]. Большинство инвесторов характеризуются восприятием риска, как нежелательного фактора, т. е. трактуются как избегающие риск (любители риска и нейтральные к риску рассматриваются как незначительное число участников инвестиционного рынка). Заметим, что инвесторы различаются степенью избегания риска (risk averse), но в любом случае они при наличии выбора откажутся выбирать рискованную «честную игру» с нулевым ожидаемым выигрышем.

9.1. Стандартное отклонение как показатель оценки риска, бета как мера риска

Критерий ранжирования и отбора финансовых активов, а также ранжирования различных портфелей на основе соотношения «средняя доходность – стандартное отношение этой доходности» (mean-variance) является основополагающим в современных финансах. Портфельная теория Г. Марковица [Markowitz, 1959] гласит, что при выборе портфеля инвесторы, используя свои кривые безразличия (indifference curves)[33]33
  Которые для инвесторов-противников риска являются выпуклыми и имеющими положительный наклон из-за предположений о ненасыщаемости богатства и неприятии риска.


[Закрыть], должны сопоставить все альтернативные портфели с точки зрения их ожидаемых доходностей (учитывающих прирост богатства на некотором отрезке времени) и стандартных отклонений этих приростов от среднеожидаемого значения. Учет вероятности как «плохих событий», приводящих к падению стоимости портфеля, так и «хороших», т. е. использование в качестве оценки инвестиционного риска именно дисперсии (стандартного отклонения) является неочевидным решением. Г. Марковиц в работе 1959 г. отказался от идеи учета только одностороннего отклонения доходности от заданного бенчмарка и применил трактовку риска как двустороннего отклонения от среднего значения, которая впоследствии стала классической.

Первый мотив перехода к стандартному отклонению как двусторонней оценке риска – простота вычислений. Второй мотив – фиксация на фондовом рынке нормальности кривой распределения доходности, например, по акциям. Действительно, на небольших временйых интервалах распределение доходности ценных бумаг (акций) можно признать близким к нормальному (Гауссову) распределению, которое симметрично относительно среднего значения доходности (равного медианному и модальному значению) или к логнормальному. Хотя существуют финансовые активы, которые явно не соответствуют таким предположениям нормальности или логнормальности распределения доходности. Графически различия между нормальным и логнормальным распределением богатства S показаны на рис. 9.1.

Рис 9.1. Традиционно используемые предположения о вероятностном распределении доходностей ценных бумаг

Например, опционы или ценные бумаги с включенными опционами (конвертируемые, отзывные облигации, привилегированные акции) заведомо не характеризуются нормальным распределением (см. рис. 9.1). Отбор портфелей таких активов должен учитывать специфику вероятностного распределения выгод по ним. Более того, можно утверждать, что ни одна мера риска не может претендовать на точность результатов в оценке эффективности инвестирования, при объяснении различий доходностей в любых обстоятельствах. Анализ рыночной среды и особенностей поведения доходности рассматриваемых активов должен позволить выработать адекватные меры для сопоставления и ранжирования этих активов по инвестиционной привлекательности.

Базируясь на положениях портфельной теории Г. Марковица и критерии сопоставления портфелей «средняя доходность – стандартное отклонение»[34]34
  Имеется в виду сопоставление активов и портфелей по оценкам среднего значения доходности и стандартному отклонению доходности от этого среднего уровня.


[Закрыть] У. Шарп (1964), Дж. Линтнер (1965) и Ж. Мосин (1966) разработали равновесную модель ценообразования финансовых активов (портфелей акций), которая объясняла взаимосвязь ожидаемой и требуемой доходностей по портфелю и инвестиционным риском этого портфеля (Capital Assets Pricing Model – САРМ). Одновременно были предложены портфельные оценки эффективности инвестирования (performance measures), которые базируются на критерии «средняя – стандартное отклонение»: индекс Трейнора (1965), коэффициент Шарпа (1966) и альфа-коэффициент Дженсена (1968).

Коэффициент Шарпа (Sharp ratio – SR, или reward to variability ratio – RVarR) показывает результат инвестирования в виде избыточной доходности, приходящийся на единицу риска, когда мерой риска выступает стандартное отклонение. Коэффициент Шарпа показывает дополнительную доходность (премию), получаемую инвестором относительно безрисковой ставки на единицу общего инвестиционного риска.

где R_p – расчетная доходность актива или портфеля (например, за месяц, год); σ_p – стандартное отклонение доходности этого портфеля; R_ƒ – безрисковая ставка доходности на рынке, как доходность, принимаемая для безрискового актива.

Индекс Трейнора (Treinor Index или Reward to Volatility Ratio – RYolR) в отличие от коэффициента Шарпа в качестве показателя риска рассматривает не общий риск, а только его систематическую часть, выраженную через бета-коэффициент (как коэффициент эластичности доходности портфеля к доходности хорошо диверсифицированного портфеля).

где бета-коэффициент портфеля – оценка систематического риска этого портфеля, как отношение коэффициента ковариации доходностей портфеля (Р) и рынка (М) к дисперсии доходности рынка (фондового индекса):

Альфа-коэффициент Дженсена (Йенсена) рассматривается как мера несистематического риска портфеля, это результат, который может быть расценен как вклад в доходность управляющего портфелем. Альфа-коэффициент (а) рассчитывается по рыночной модели, увязывающей премию за инвестирование в портфель (MRP = R_p – R_ƒ) с ожидаемой премией за систематический риск, которая пропорциональна бета-коэффициенту портфеля. Альфа-коэффициент показывает переоценку или недооценку рынком систематического риска портфеля (или отдельного актива). Рыночная модель: R_p – R_ƒ = β_p×MRP+α_p, соответственно

α_p=R_p-[R_ƒ + β·MRP].

Все три портфельные меры риска подразумевают, что доходность рассматриваемых портфелей нормально распределена и инвестор сопоставляет активы по риску и выгодам на основе критерия «средняя – стандартное отклонение» (mean variance analysis framework). На этом же предположении строится и модель САРМ.

Ключевая идея САРМ заключается в наличии линейной связи между доходностью актива (R) и мерой его систематического риска, определяемой бета-коэффициентом: E(R_i) = R_ƒ+ β [E(R_M) – R_ƒ].

Заметим, что в практике инвестиционного анализа приемлемы два подхода к расчету доходности. Процентная (дискретная) доходность с момента времени t до момента i:

где р_i – цена актива в i-й период времени.

Логарифмическая (непрерывная) доходность с момента времени t до момента i: 

. При работе с финансовыми активами довольно часто используют логарифмическую доходность. Преимущество ее использования двояко: во-первых, она может быть экономически более содержательной, чем процентная доходность. Если логарифмическая доходность распределена нормально, распределение не приведет к отрицательной цене (в «левом хвосте» распределения логарифмы отношения цен стремятся к «минус бесконечности» при текущей цене, стремящейся к нулю. Напротив, в «левом хвосте» нормально распределенной доходности величина стремится к «минус бесконечности» при отрицательной величине текущей цены, что экономически бессмысленно). Второе преимущество логарифмических доходностей состоит в том, что они хорошо агрегируются во времени. Логарифмическая доходность от момента времени t до момента времени Т эквивалентна сумме логарифмических доходностей на интервалах от t до τ и от τ до Т, где t≤ τ ≤T:

Эта временна́я аддитивность логарифмических доходностей говорит о том, что если однопериодные доходности независимы, волатильность доходностей масштабируется на квадратный корень из времени (√Tσ). Однако процентные (дискретные) доходности имеют преимущества для случаев, когда ставится задача агрегировать активы в портфель. Например,

где α – доля портфеля, вложенная в акцию; r⁽¹⁾ – доходность акции; r⁽²⁾ – доходность облигации; Р_i – стоимость портфеля в i-й момент времени (Р₀ – стоимость портфеля в начальный момент; Р₁ – стоимость портфеля на конец периода).

В то же время логарифмическая доходность портфеля не является средневзвешенным логарифмических доходностей активов, входящих в портфель.

Насколько модель САРМ позволяет объяснить различия в доходностях отдельных акций или портфелей, зависит от соответствия достаточно жестких предпосылок модели рыночным реалиям. На протяжении многих лет от первых публикации по САРМ проводится тестирование модели на предмет объяснительной силы в наблюдаемых различиях доходности по активам рынка (cross-section return variations)[35]35
  Традиционно используется двухшаговый алгоритм [Fama, MacBeth, 1973], который, например, впоследствии применен в работах [Ferguson, Shockley, 2003; Ang et al., 2006; Teplova, Shutova, 2011].


[Закрыть], а также возможности предсказать будущую доходность (test of predictability) по той или иной ценной бумаге (портфелю) на основе моделирования риска[36]36
  Рассмотрение методологии такого тестирования представлено в работе (Lamoureux, Lastrapse, 1993).


[Закрыть]. Хотя тесты на предмет объяснительной способности САРМ однозначно не дают положительных ответов, однако на практике модель получила огромное признание и распространение.

В расчетах аналитиков инвестиционных компаний и менеджеров нефинансовых корпораций модель САРМ и конструкция дисконтированных денежных потоков (discounting cash flow, DCF) занимают лидирующие позиции. Ведущие информационно-аналитические агентства (Bloomberg, YalueLine, DataStream, Merrill Lynch, Thomson Reuters) включают информацию о параметрах САРМ (регрессионный бета-коэффициент, скорректированный бета-коэффициент, безрисковая ставка) для компаний разных рынков. Ежегодные опросные исследования более 11 тыс. финансовых директоров США, проводимые периодически Duke University и CFO Magazine, показали, что и в докризисные годы, и в 2008–2009 гг. порядка 75 % респондентов при принятии инвестиционно-финансовых решений ориентировались на САРМ [Graham, Harve, 2009]. Анализ публичных аналитических отчетов 38 инвестиционных компаний, работающих на российском рынке капитала [Teplova, 2010], показал, что в рамках конструкции дисконтированных выгод большинство аналитиков ориентируются на конструкцию САРМ с введением странового риска через поправку на относительную волатильность российского рынка по сравнению с глобальным. Значение бета-коэффициента в большинстве отчетов вводится на отраслевом уровне по глобальным компаниям или через экспертные оценки с учетом низкой ликвидности рассматриваемых акций.

9.2. Переход к односторонней трактовке риска в сопоставлении активов и портфелей

Одно из распространенных направлений модификации стандартной однофакторной модели ценообразования и введения новых мер риска диагностирования эффективности инвестирования основано на использовании полувариации в качестве меры риска активов, охватывающей только левостороннее (отрицательное) отклонение от среднего.

Данное предложение мотивируется тем, что дисперсия ожидаемой доходности является не лучшей мерой риска как минимум по двум причинам: во-первых, потому что она правдоподобна только для активов, у которых ожидаемая доходность имеет симметричное распределение, и, во-вторых, она может непосредственно применяться, только когда распределение является нормальным. Однако в реальности эти требования зачастую не выполняются.

В работе Ч. Мамогли и С. Дебюсси [Mamoghli, Daboussi, 2009] представлен сопоставительный анализ 27 развивающихся рынков на отрезке 1995–2004 гг. на предмет тестирования формы распределения месячной доходности. Авторы выявили, что по 20 развивающимся рынкам диагностируется положительная асимметрия, и по семи – отрицательная. Все рынки, за исключением рынка капитала Индии, демонстрируют островершинность в распределении доходности. Тестирование по критерию Jarque-Bera показало, что распределение нельзя признать нормальным по 22 рынкам из выборки (пять рынков могут быть охарактеризованы как подчиняющиеся нормальному распределению: Индия, Тайвань,

Израиль, Марокко, Колумбия). Более того статистический тест Jarque-Bera показал, что и глобальный рынок, оцениваемый по индексу MSCI ЕМ, не позволяет признать гипотезу о нормальности распределения месячной доходности (табл. 9.1).

Таблица 9.1

Сопоставительный анализ рынков на нормальность распределения месячных доходностей

Источник: [Mamoghli, Daboussi, 2009].

Как показывает анализ динамики акций российских компаний [Teplova, Shutova, 2011], а также компаний из развивающихся рынков капитала, одновременное выполнение требований о симметричности и нормальности распределения ожидаемой доходности не достигается[37]37
  В исследовании по российскому рынку используются недельные доходности, которые рассчитываются как разница между логарифмом цены закрытия на конец недели (пятницы) и логарифмом цены закрытия на начало недели (понедельника).


[Закрыть]. Таблица П.1 приложения показывает островершинность распределения доходности (leptokurtosis) практически по всем компаниям выборки (50 российских публичных компаний, которые определяют 95 % капитализации российского фондового рынка – ММВБ)[38]38
  Только по компаниям «Новатэк» и «Система Галс» значение коэффициента эксцесса близко к нулю.


[Закрыть]. Аналогичная ситуация наблюдается и для временного отрезка 2008–2010 гг. Большинство компаний демонстрирует отрицательную асимметрию (в 2004–2007 гг. – 25 финансовых активов из 50, в 2008–2009 гг. – 30 финансовых активов из 50). Решение проблемы ненормальности распределения в ряде академических исследований предлагается искать через отказ от классической (двусторонней) дисперсии, и переход к односторонней (semivariance frameworks).

Односторонняя дисперсия доходности как оценка риска имеет несколько преимуществ. Во-первых, инвесторов действительно беспокоит именно отрицательная волатильность доходности, положительные всплески доходности рассматриваются как достоинство данного актива. Теория поведенческих финансов доказывает, что для инвесторов потери (отрицательная доходность) оказывают большее эмоциональное влияние, чем прибыль того же размера. Во-вторых, для применения односторонней дисперсии не требуется симметричность распределения. Более того, определение односторонней дисперсии предполагает расчет двух характеристик функции распределения: дисперсии и коэффициента скошенности, что дает возможность использовать однофакторную модель для оценки ожидаемого уровня доходности. Так как именно развивающиеся рынки капитала характеризуются повышенной асимметрией, то тестирование связи «односторонний риск – доходность» стало популярным направлением исследований с 90-х годов XX в. с ростом инвестиционной привлекательности быстро растущих рынков капитала Латинской Америки, Азии и Восточной Европы. В качестве односторонних мер систематического риска предлагается использовать односторонний бета-коэффициент (как показатель негативной чувствительности к рыночному риску).

Именно на учете вероятности отрицательных результатов строятся такие меры риска, как коэффициенты Сортино (простой и модифицированный), коэффициент UPR, мера Омега, коэффициент Эстрады.

Коэффициент Сортино (Sortino ratio – SR) предложен в 1994 г. Ф. Сортино и Л. Прайсом [Sortino, Price, 1994] и аналогичен коэффициенту Шарпа, однако вместо общей волатильности

портфеля используется так называемая волатильность вниз, как одностороннее отклонение доходности. Для коэффициента Сортино волатильность рассчитывается по значениям доходности, которые на рассматриваемом отрезке опускались ниже заданного (MAR) минимального допустимого уровня[39]39
  Минимально допустимый уровень доходности портфеля (Minimum Acceptable Return — MAR), например средняя доходность, наблюдаемая ранее по портфелю, или рыночная доходность (как доходность рыночного портфеля).


[Закрыть]:

σ_down — одностороннее стандартное отклонение (downside deviation).

Модифицированный коэффициент Сортино вычисляется относительно безрисковой ставки, т. е. в качестве минимально допустимого уровня доходности выступает усредненная безрисковая ставка за рассматриваемый период времени. Односторонняя дисперсия и стандартное отклонение рассчитываются по формуле:

Сопоставление динамики доходности и индикаторов риска по российскому рынку по различным активам глобального рынка представлены в табл. 9.2,9.3и9.4.

Коэффициент UPR (upside potential ratio) предложен в 1999 г. Ф. Сортино, R Ван дер Меером и А. Плантингом [Sortino et al., 1999]. Предложено вместо «чистого риска» как отклонения «вниз» доходности относительно некоторого заданного уровня рассматривать потенциал роста «вверх». Частные моменты высшего порядка (Higher Partial Moment – НРМ) с единичной степенью для функции полезности, которые рассчитываются по превышениям наблюдаемых значений доходности над минимально приемлемым уровнем, делятся на одностороннее стандартное отклонение. Таким образом, в отличие от коэффициента Сортино, где в числителе фигурирует спред между наблюдаемыми значениями доходности и минимально допустимым уровнем, в коэффициенте UPR в числителе – превышение средней доходности над минимальным уровнем.

Таблица 9.2

Традиционные индикаторы риска (стандартного отклонения) и доходности по индексу ММВБ, а также оценки коэффициентов асимметрии и эксцесса распределения недельной доходности

Источник: Расчеты по базе Bloomberg проведены Т.В. Тепловой и К.Ф. Кущ.

Таблица 9.3

Динамика показателей эффективности инвестирования в портфели глобального рынка – коэффициент Шарпа (Сортино) на данных недельной доходности

Источник: Расчеты по базе Bloomberg проведены Т.В. Тепловой и К.Ф. Кущ.

Таблица 9.4

Динамика оценок коэффициентов асимметрии (эксцесса) по портфелям глобального рынка

Аналитическое выражение имеет вид:

Омега-коэффициент (omega measure) предложен К. Китингом и В. Шедвиком [Keating, Shadwick, 2002] и при расчете учитывает все моменты распределения вероятности. Все доходности, превышающие заданный уровень, делятся на доходности, которые оказались ниже заданного значения:

где R – целевой уровень доходности (заданное значение); интервал от а до b – границы изменения доходности; F(x) – кумулятивная функция распределения доходности.

Омега-коэффициент показывает соотношение вероятностей получить положительную и отрицательную доходность, рассчитанных на основе эмпирически выявленного распределения доходностей активов.

Появление односторонних систематических мер риска (односторонних бета-коэффициентов) способствовало развитию серии показателей эффективности инвестирования, нормирующих полученные избыточные доходности (над неким заданным уровнем) на односторонние бета-коэффициенты (по аналогии с коэффициентом Трейнора). В работе Б. Мишра и М. Рэмана [Mishra, Rahman, 2002] предлагается в качестве знаменателя в коэффициенте Трейнора использовать односторонний бета-коэффициент Харлоу и Pao [Harlow, Rao, 1989]. Таким образом, аналитическое выражение для коэффициента Mishra, Rahman (MR) примет вид:

Еще одна попытка развить набор коэффициентов сопоставительной эффективности – использовать односторонний бета-коэффициент Эстрады. Заменяя в формуле MR знаменатель на одностороннюю бетаХ. Эстрады (2007), Ч. Мамогли и С. Дебюсси [Mamoghli, Daboussi, 2009] доказывают преимущества коэффициента MD,

Соответственно по аналогии с альфа-коэффициентом Дженсена, предлагается оценивать меру одностороннего несистематического риска – альфа-коэффициент для «чистого риска». Альфа-коэффициент для этого случая будет показывать превышение доходности портфеля над требуемым уровнем доходности в соответствии с моделью D-CAPM Эстрады [Estrada, 2007].

X. Эстрада предложил еще одну простую меру риска, учитывающую вероятность отрицательного результата инвестирования [Estrada, 2009]. Эта мера получила название «спред выигрыша-потерь» (gain-loss spread – GLS). Мера строится на учете за фиксированный период времени следующих оценок: вероятности потерь, средней величины потерь и средней величины выигрыша. Тестирование новой меры риска автор использовал для объяснения различий в месячной доходности портфелей локальных фондовых рынков и отраслевых портфелей на отрезке 1900–2007 гг. (в выборку вошли 22 развитых рынка капитала и 27 – развивающихся, 57 – отраслей). Эстрада доказывает, что GLS более корректная мера риска в объяснении различий доходности, чем стандартное отклонение или традиционный бета-коэффициент (причем как при сопоставлении стран, так и отраслевых портфелей). В табл. 9.5 представлены оценки доходности и риска по индексу S&P 500 за период с 1900 по 2007 г.

Таблица 9.5

Параметры для расчета меры риска Эстрады для портфеля S&P 500, %

Оценка на годовых интервалах для отрезка 1900–2007 гг. показывает, что GLS индекса S&P 500 составляет 19,1 %, в то время как оценка глобального портфеля составляет 17,6 %.

Источник: [Estrada, 2009].

Здесь и далее (табл. 9.6 и 9.7): Т – число наблюдений; AM – среднее арифметическое значение доходности на рассматриваемом промежутке времени; GM – среднее геометрическое значение доходности; SD – стандартное отклонение (сигма); PL – вероятность потерь; AL – средняя оценка потерь; EL – ожидаемые потери; PG – вероятность выигрыша; AG – средний выигрыш в терминах доходности; EG – ожидаемый выигрыш; GLS – искомая мера риска.

Для демонстрации новой меры риска рассмотрим поведение российского индекса акций биржи ММВБ (MICEX index) на 24-месячном отрезке с начала 2008 по конец 2009 г. Арифметическое среднее и стандартное отклонение помесячной доходности составляют —0,28 и 13,72 % соответственно (табл. 9.6).