Текст книги "Кентерберийские головоломки"

Сэр Хьюг объясняет свои задачи

Друзья сэра Хьюга были настолько озадачены многими из его странных головоломок, что ему пришлось собрать родственников и домочадцев и объяснять свои задачи.

– По правде говоря, – сказал он, – некоторые из моих загадок слишком сложны для неискушенного ума. И все же я попытаюсь объяснить их так, чтобы все смогли понять, в чем здесь дело. Есть люди, которые не способны сами додуматься до ответа, но, когда им сообщают решение, они могут разобраться в нем и получить при этом удовольствие.

32. Сэр Хьюг объяснил, что если лунки находятся на расстояниях 300, 250, 200, 325, 275, 350, 225, 375 и 400 ярдов, а человек всегда может послать мяч строго по прямой на расстояние либо в 125, либо в 100 ярдов, он сумеет закончить игру за 26 ударов. Это совершенно верно, поскольку, если мы назовем «прогоном» удар, соответствующий 125 ярдам, а «подходом» – удар, соответствующий 100 ярдам, то можно играть следующим образом. Первой лунки можно достичь за 3 подхода, второй – за 2 прогона, третьей – за 2 подхода, четвертой за 2 подхода и один прогон, пятой – за 3 прогона и 1 обратный подход, шестой – за 2 прогона и 1 подход, седьмой – за 1 прогон и 1 подход, восьмой – за 3 прогона и, наконец, до девятой лунки можно добраться за 4 подхода. Всего, таким образом, получается 26 ударов. За меньшее число ударов игру закончить невозможно.

33.

– Клянусь пресвятой Девой! – воскликнул сэр Хьюг, – если бы кого-нибудь вон из тех молодцов заковали в цепи, чего они воистину заслужили за свои грехи, тогда бы он, быть может, узнал, что длина любой цепочки, состоящей из одинаковых колец, равна внутренней ширине кольца, умноженной на число колец, да еще к этому надо прибавить удвоенную толщину железного прута, из которого сделаны кольца. Можно показать, что внутренняя ширина каждого из колец равна 1²/₃ дюйма, что число колец, выигранных Стивеном Мале, равно 3, а Анри де Турне выиграл 9 колец.

Рыцарь совершенно прав, ибо 1²/₃ × 3 + 1 =6, а 1²/₃ × 9+1 = 16– Таким образом, де Турне опередил Мале на 6 колец. Приведенный здесь рисунок может помочь читателю проверить ответ и понять, почему длина цепочки равна внутренней ширине кольца, умноженной на число колец, плюс удвоенная толщина кольца. Можно заметить, что каждое звено, будучи надетым на цепочку, теряет в длине ровно на удвоенную толщину железного прута, из которого сделаны кольца.

34.

– Меня здесь спрашивали, – продолжал сэр Хьюг, – как можно найти камеру в Темнице мертвой головы, в которой томилась дева. Будь я проклят, если это так уже трудно! Главное – знать, как приступить к делу. Пытаясь пройти через каждую дверь один раз и не больше, вы должны заметить, что каждая камера имеет две или четыре двери, за исключением двух, у которых только по три двери. Теперь раскиньте-ка мозгами: вы не можете войти и выйти из какой-то камеры, пройдя через каждую дверь ровно по одному разу, если число дверей нечетно. Но поскольку таких камер с нечетным числом дверей две, вы с успехом можете пройти весь путь, начав его в одной из этих камер, а закончив в другой. Прошу заметить, что только одна из этих камер внешняя, так что именно из нее следует начинать путь. Тогда совершенно ясно, любезные господа, что благородная дева томилась в другой камере с нечетным числом дверей.

Рисунок делает это совершенно очевидным. Камеры с нечетным числом дверей отмечены звездочками, а пунктиром показан один из многих возможных путей. Совершенно ясно, что вы должны начать путь от нижней звездочки, а закончить его в верхней; следовательно, искомая камера расположена над левой глазницей.

35.

– Сказано, что доказать существование пудинга можно лишь с помощью собственных челюстей, и, клянусь зубом святого Георгия, я не знаю, как еще объяснить нужное расположение чисел, если не показать его. Поэтому я здесь и написал числа, сумма которых вдоль каждой из прямых, расположенных на мишени, равна 23.

Мне кажется, что относительно решения де Фортибуса стоит добавить несколько замечаний. Девятнадцать чисел можно расположить таким образом, чтобы сумма вдоль каждой прямой равнялась любому числу от 22 до 38 включительно, кроме 30, В некоторых случаях существует несколько различных решений, но в случае 23 их только два. Я привел одно из них. Чтобы получить другое, поменяйте на рисунке местами 7, 10, 5, 8, 9 соответственно с 13, 4, 17, 2, 15. Также поменяйте местами 18 с 12, а остальные числа оставьте на прежних местах. В каждом случае в центре должно находиться четное число; им может оказаться любое число от 2 до 18. У каждого решения есть дополнительное к нему решение. Таким образом, если вместо каждого числа на приведенном рисунке мы поставим разность между ним и 20, то получим решение для случая 37. Аналогичным образом из расположения на исходном рисунке мы сразу же получим решение для случая 38.

36. Сэр Хьюг весьма озадачил своего главного зодчего, потребовав от него построить окно, у которого каждая сторона равнялась бы одному футу и которое было бы разделено железными прутьями на восемь одинаковых просветов с равными сторонами. На рисунке показано, как это можно сделать.

Нетрудно заметить, что стороны окна равны одному футу, а каждая сторона треугольных просветов составляет половину фута.

– По правде говоря, мой добрый зодчий, – сказал лукаво де Фортибус, обращаясь к мастеру, – я не требовал от тебя, чтобы окно было квадратным; совершенно ясно, что оно и не может быть таковым.

37.

– Клянусь пальцами святого Модена, – воскликнул сэр Хьюг де Фортибус, – мой бедный ум никогда не придумывал ничего более искусного и более занимательного. Меня словно озарило, и теперь, по прошествии некоторого времени, я все больше восхищаюсь головоломкой, которая представляется мне все труднее и труднее. Мои господа и родичи, я сейчас покажу вам, как она решается.

Затем достойный рыцарь указал на слегка неправильную форму полумесяца – его два участка от а до d и от с до d представляют собой отрезки прямых, а дуги ас и bd в точности одинаковы. Если сделать разрезы, показанные на рисунке 1, то из четырех получившихся частей (кривые на рисунке 2) можно сложить правильный квадрат. Если теперь этот квадрат разрезать (прямые на рисунке 2), то мы получим 10 частей, из которых можно будет затем сложить симметричный греческий крест, который вы видите на рисунке 3. Пропорции полумесяца и креста на исходном рисунке были указаны правильно, и можно показать, что решение получается абсолютно точное, а не приближенное.

Мне известно решение с существенно меньшим числом частей, но его значительно труднее понять, чем приведенное, где все упрощается введением промежуточного квадрата.

38. Головоломка состояла в том, чтобы, начиная от верхнего А и двигаясь вниз от одной соседней буквы к другой, подсчитать, сколькими различными способами можно прочитать слово ABRACADABRA.

– Теперь обратите внимание, добрые друзья мои, – сказал сэр Хьюг, обращаясь ко всем, кто находился рядом, – что вначале есть два пути: вы можете выбрать любое В, затем любое R и так далее до самого конца. До каждой из букв можно добраться, двигаясь от верхнего А, соответственно 2, 4, 8, 16, 32 и т. д. способами. Следовательно, поскольку нужно сделать 10 шагов, спускаясь от верхнего А до нижней строки, нам остается только умножить 2 на себя 10 раз. В результате мы и получим искомое число, равное 1024.

39. Хотя сэр Хьюг и заявил, что нет нужды измерять шест, все же совершенно необходимо было определить его высоту. Друзьям и домочадцам сэра Хьюга де Фортибуса было хорошо известно, что он имел шесть футов росту. На исходном рисунке можно заметить, что рост сэра Хьюга в два раза больше длины его тени. Следовательно, высота флагштока в том же месте и в то же время дня тоже должна вдвое превышать длину его тени. Длина тени флагштока равна росту сэра Хьюга, следовательно, она составляет 6 футов, а высота флагштока – 12 футов. Далее, улитка, поднимаясь на 3 фута днем и опускаясь на 2 фута ночью, поднимается в действительности за сутки на 1 фут. В конце девятых суток она окажется в трех футах от вершины и, значит, закончит свое путешествие на десятый день.

Читатель, безусловно, воскликнет здесь:

– Все это очень хорошо, но как мы могли узнать рост сэра Хьюга? О нем ничего не говорилось!

Действительно, прямо на это не указывалось, но для людей искушенных не составит труда его определить. На рисунке к задаче 36 сэр Хьюг изображен у квадратного окна, про которое сказано, что его сторона равна 1 футу. Следовательно, отложив эту длину (нужное число раз), можно было убедиться, что рост сэра Хьюга в 6 раз превышает высоту окна, то есть равен 6 футам!

40. Последняя головоломка была, без сомнения, крепким орешком, но, надо думать, трудности не делают хорошую головоломку менее интересной, когда нам покажут ее решение. На приведенном здесь рисунке показано, как была выложена крышка у шкатулки леди Изабеллы де Фитцарнульф. Это единственное возможное решение, и удивительно (хотя я и не могу привести здесь довольно тонкий метод решения), что число, размеры и порядок расположения квадратов определяются размерами золотой полоски и что крышка шкатулки не может иметь других размеров, отличных от 20 квадратных дюймов. Число, указанное в каждом квадрате, равно длине его стороны, выраженной в дюймах, так что ответ можно проверить почти с одного взгляда.

Сэр Хьюг сделал несколько общих замечаний, которые не совсем безынтересны и сегодня.

– Друзья и домочадцы, – сказал он, – если те странные порождения моего бедного ума, о которых мы так приятно поговорили сегодня вечером, и оказались, быть может, малоинтересными для вас, пусть они послужат напоминанием разуму о том, что наша быстротекущая жизнь окружена и наполнена загадками.

Решения загадок ридлуэлских монахов

41. Перенумеруйте корзинки, показанные на исходном рисунке, от 1 до 12 в направлении, в котором, как мы видим, двигается брат Джонатан. Начиная от 1, действуйте, как указано ниже, причем «1 в 4» означает, что надо взять рыбку из корзинки 1 и переложить ее в корзинку 4.

1 в 4, 5 в 8, 9 в 12, 3 в 6, 7 в 10, 11 в 2 и кончайте последний обход, перейдя к 1; при этом вы совершите всего три обхода. Можно действовать и по другому: 4 в 7, 8 в 11, 12 в 3, 2 в 5, 6 в 9, 10 в 1. Легко решить задачу за четыре обхода, но решения с тремя обходами найти труднее.

42. Если бы аббат не требовал, чтобы в каждой келье жило не более трех человек и чтобы каждая келья была занята, то можно было бы оказать гостеприимство 24, 27, 30, 33, 39 или 42 паломникам. Но если принять 24 паломника так, чтобы на втором этаже было вдвое больше человек, чем на первом, и чтобы на каждой стороне было по 11 человек, то некоторые кельи пришлось бы оставить пустыми. Если, с другой, стороны, мы попробуем разместить 33, 36, 39 и 42 паломника, то нам придется в некоторых кельях разместить более трех человек.

Таким образом, предполагавшееся число паломников равнялось 27, а поскольку их прибыло на 3 человека больше, то истинное число паломников составило 30. На приведенном здесь рисунке показано, как их можно разместить в каждом случае; при этом видно, что все условия выполнены.

43. Правильное решение показано на приведенном здесь рисунке. Никакой изразец не находится на одной прямой (вертикальной, горизонтальной или диагональной) с другим изразцом того же рисунка, причем использовано только три простых изразца. Если, расположив львов, вы ошибочно используете четыре изразца какого-либо другого рисунка вместо трех, то у вас окажется четыре места, куда придется поместить простые изразцы.

Трюк заключается в том, чтобы взять четыре изразца одного рисунка и только по три изразца каждого другого рисунка.

44. Вопрос состоял в том, чего больше взял брат Бенджамин: вина из бутылки или воды из кувшина. Оказывается, ни того, ни другого. Вина было перелито из бутылки в кувшин ровно столько же, сколько воды было перелито из кувшина в бутылку. Пусть для определенности бокал содержал четверть пинты. В бутылке была 1 пинта вина, а в кувшине – 1 пинта воды. После первой манипуляции в бутылке содержались ³/₄ пинты вина, а в кувшине – 1 пинта воды, смешанная с ¹/₄ пинты вина. Второе действие состояло в том, что удалялась ¹/₅ содержимого кувшина, то есть ¹/₅ одной пинты воды, смешанной с ¹/₅ одной четверти пинты вина. Таким образом, в кувшине были оставлены ⁴/₅ четверти пинты (то есть ¹/₅ пинты), тогда как из кувшина в бутылку было перелито равное количество (¹/₅ пинты) воды.

45. В бочонке было 100 пинт вина, и Джон-келарь 30 раз отливал оттуда по пинте, наливая взамен пинту воды. После первого раза в бочонке оставалось 99 пинт вина; после второго раза его оставалось 9801/100 (квадрат 99, деленный на 100); после третьего раза в бочонке оставалось 970299/10000 (куб 99, деленный на квадрат 100); после четвертого раза там оставалась четвертая степень 99, деленная на куб 100, а после тридцатого раза в бочонке оставалась тридцатая степень 99, деленная на двадцать девятую степень 100. Это при обычном методе вычисления приведет к делению 59-значного числе на 58-значное! Однако с помощью логарифмов удается быстро установить, что в бочонке осталось количество вина, очень близкое к 73,97 пинты. Следовательно, украденное количество приближается к 26,03 пинты. Монахам, конечно, не удалось получить ответ, поскольку у них не было таблиц логарифмов и они не собирались проводить долгие и утомительные выкладки, дабы «в точности» определить искомую величину, что оговорил в условии хитрый келарь.

С помощью упрощенного метода вычислений я удостоверился, что точное количество украденного вина составило

26,0299626611719577269984907683285057747323737647323555652999

пинты. Человек, который вовлек монастырь в вычисление 58-значной дроби, заслуживал сурового наказания.

46. Правильным ответом будет 602 176. Такое число крестоносцев могло образовать квадрат 776×776. После того как к отряду присоединился еще один рыцарь, можно было образовать 113 квадратов по 5329 (73×73) человек в каждом. Другими словами, 113×(73)²-1=(776)². Это частный случай так называемого уравнения Пелля.

47. Читатель знает, что целые числа бывают простыми и составными. Далее, 1 111 111 не может быть простым числом, ибо если бы оно было таковым, то единственными возможными ответами оказались бы те, что предложил брат Бенджамин и отверг брат Питер. Точно так же оно не может разлагаться в произведение более двух простых сомножителей, ибо тогда решение оказалось бы не единственным. И действительно, 1 111 111 = 239×4649 (оба сомножителя простые); поскольку каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек, то кошек было 239 (см. введение).

В общем случае данная задача состоит в нахождении делителей (если они имеются) чисел вида (10n – 1)/9.

Люка в свой книге «Занимательная арифметика» приводит несколько удивительных таблиц, которые он позаимствовал из арифметического трактата под названием «Талкис», принадлежащего арабскому математику й астроному Ибн Албанна, жившему в первой половине XIII века. В Парижской национальной библиотеке имеется несколько манускриптов, посвященных «Талкис», и комментарий Алкаласади, который умер в 1486 г. Среди таблиц, приведенных Люка, есть одна, где перечислены все делители чисел указанного вида вплоть до п = 18. Кажется почти невероятным, что арабы того времени могли найти делители при п = 17, приведенные во введении к настоящей книге. Но Люка утверждает, что они имеются в «Талкис», хотя выдающийся математик читает их по-другому, и мне кажется, что их открыл сам Люка. Это, разумеется, можно было бы проверить, обратившись непосредственно к «Талкис», но во время войны сделать это оказалось невозможно.

Трудности возникают исключительно в тех случаях, когда п – простое число. При п = 2 мы получаем простое число 11. Для п = 3, 5, 11 и 13 делители соответственно равны (3×37), (41×271), (21649×513 239) и (53×79×265371653). В этой книге я привел уже делители для п = 7 и 17. Делители в случаях п = 19, 23 и 37 неизвестны, если они вообще имеются.[32]32
  О. Хопп сообщил мне, что его исследования случая п = 19 позволяют утверждать, что соответствующее число – простое. Он представил свое доказательство в Лондонское математическое общество, и специально назначенная комиссия признала доказательство верным и окончательным (Proceedings of Lond. Math. Soc от 14 февраля 1918 г.).


[Закрыть] При п = 29 делителями будут (3191×16 763×43 037×62 003×77 843× 839 397); при п = 31 одним из делителей будет 2791; при п = 41 два делителя имеют вид (83×1231).

Что же касается четных и, то следующая любопытная последовательность сомножителей, несомненно, заинтересует читателя. Числа в скобках – простые.

п = 2 = (11)

п = 6 = (11) × 111 × 91

п = 10 = (11) × 11 111 × (9091)

п =14 = (11) × 1 11l 111 × (909091)

п =18 = (11) × 111 111 111 × 90 909 091

Или мы можем записать делитель иначе:

п = 2 = (11) п = 6 = 111 × 1001

п = 10 = 11 111× 100001

п = 14 = 1 111 111 × 10 000 001

п =18 = 111 111 111 × 1 000 000 001

В приведенных выше двух таблицах п имеет вид 4m + z. Когда п имеет вид 4m, делители можно записать следующим образом:

п= 4 = (11) × (101)

п= 8 = (11) × (101) ×10001

п = 12 = (11) × (101) × 100 010 001

п = 16 = (11) × (101) × 1 000 100 010 001[33]33
  Во избежание недоразумений следует отметить, что автор во всех приведенных здесь таблицах допускает небрежность в обозначениях. Так, запись п = 4 = (11)×(101) означает, что при п = 4 число вида (10п-1)/9 разлагается на множители (11)×(101). – Прим. перев.


[Закрыть]

При п = 2 мы получаем простое число 11; при п = 3 делителями будут 3 × 37; при п = 6 они имеют вид 11 × 3 × 37 × 7 × 13; при п = 9 получается 3² × 37 × 333 667. Следовательно, мы знаем, что делителями при п = 18 будут 11 × 3² × 37 ×7 × 13 × 333 667, тогда как остающийся множитель – составной и может быть представлен в виде 19 × 52 579. Это показывает, как можно упростить работу в случае составного п.

48. Наименьшее число шагов равно 118. Я приведу решение полностью. Белые кружки двигаются по часовой стрелке, а черные – в противоположном направлении. Ниже приведены номера кружков, которые следует перемещать в указанном порядке. Сдвигаете ли вы просто кружок на соседнее место или перепрыгиваете через другой кружок, станет ясно из расположения кружков, ибо иной альтернативы не будет. Ходы, указанные в скобках, следует совершать пять раз подряд: 6, 7, 8, 6, 5, 4, 7, 8, 9, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 7, 8, 9, 10, 11 (6, 5, 4, 3, 2, 1), 6, 5, 4, 3, 2, 12 (7, 8, 9, 10, И, 12), 7, 8, 9, 10, 11, 1, 6, 5, 4, 3, 2, 12, 7, 8, 9, 10, 11, 6, 5, 4, 3, 2, 8, 9, 10, 11, 4, 3, 2, 10, 11, 2. Таким образом, при заданных условиях мы сделали 118 ходов; черные лягушки поменялись с белыми местами, причем номера 1 и 12 также поменялись местами.

В общем случае потребуется 3n² + 2n – 2 ходов, где п равно числу лягушек каждого цвета. Закон, управляющий последовательностью ходов, легко обнаружить, рассматривая наиболее простые случаи, где п = 2, 3 и 4.

Если вместо кружков с номерами 1 и 12 должны поменяться местами кружки с номерами 6 и 7, то потребуется п^г – 4п + 2 ходов. Если мы придадим п значение 6, как в нашем случае, то получится 62 хода.

Как удалось бежать королевскому шуту

Хотя королевский шут и пообещал «потом все объяснить», записей, где бы говорилось, как он это сделал, не сохранилось. Поэтому я предложу читателю мою собственную точку зрения относительно вероятного решения предложенных загадок.

49. Шут «разделил веревку пополам» – это вовсе не означает, что он разрезал ее на две равные части. Без сомнения, он просто расплел жгуты, из которых она была свита, и разъединил их, так что у него получились две веревки, равные по длине исходной, но вдвое тоньше ее. Связав их, он получил веревку, которая оказалась почти вдвое длиннее исходной и позволила ему спуститься вниз из окна темницы.

50. Как шут нашел во тьме путь из лабиринта? Он просто прикоснулся своей левой (или правой) рукой к стене и, не отрывая ее, двинулся вперед Пунктир на рисунке поможет проследить его путь, если шут пошел из А влево Если читатель попытается проложить аналогичный путь вправо, то он также добьется успеха. На самом деле эти два пути вместе покрывают все участки стен лабиринта, за исключением двух изолированных частей слева (одна из них U-, а другая – Е-образная).

Это правило приложимо к большинству лабиринтов и головоломных садов; однако если бы центральная часть оказалась окруженной изолированной стеной наподобие кольца со щелью, то шут все ходил бы и ходил вокруг этого кольца.

51. Головоломка состояла в том, чтобы найти английское слово из трех букв, по одной букве на каждом диске. В английском языке нет слов, составленных из одних согласных, а единственной гласной на всех дисках является Y. Ни одно английское слово из трех букв, начинающиеся с Y, не содержит в качестве остальных букв одни согласные, а слова из трех букв, кончающиеся на Y (с двумя согласными), либо начинаются на S, либо в качестве второй буквы содержат H, L или R. Но этих четырех согласных нет на дисках. Следовательно, Y должно стоять в середине, а единственное подобное слово, которое мне удалось обнаружить, – это PYX.[34]34
  Сосуд для святых даров, дароносица, ящик для монет-эталонов (англ.) – Прим. перев.


[Закрыть] Так что именно оно и служит решением нашей головоломки.

52. Без сомнения, читатель улыбнется, услышав, что лодка с человеком может двигаться вперед в стоячей воде с помощью причальной веревки. И тем не менее это факт. Если шут привяжет конец веревки к корме, а потом, стоя на носу, начнет делать ею резкие рывки, то лодка будет двигаться вперед. Этим часто пользуются на практике и утверждают, что таким образом можно развить скорость от двух до трех миль в час.

53. Эта головоломка должна показаться многим читателям абсолютно неразрешимой. Шут сказал: «В каждый из 16 садов я вошел по одному и не более разу». Если мы проследуем путем, указанным на рисунке пунктиром, то обнаружим, что совсем нетрудно войти по одному разу во все сады, кроме одного, прежде чем мы достигнем последнего сада с выходом В.

Трудность состоит в том, чтобы войти в сад, отмеченный звездочкой, поскольку если мы уйдем из сада В, то нам перед уходом придется войти туда второй раз, что запрещено условием. Трюк состоят в том, что войти в сад со звездочкой следует, не покидая при этом другой сад. Представьте себе, что шут, подойдя к проходу (пунктирная линия делает здесь острый угол), хотел спрятаться в саду со звездочкой, но, уже поставив одну ногу на эту звездочку, обнаружил, что тревога была напрасной. Он с полным основанием, мог сказать: «Я вошел в сад со звездочкой, ибо я перенес в него одну ногу и часть корпуса, но я не вошел в другой сад дважды, поскольку, войдя туда однажды, я не покидал его до тех пор, пока не вышел через ворота В». Это единственный возможный ответ, и, конечно, шут имел в виду именно его.

54. Решение этой головоломки лучше всего объяснить с помощью рисунка. Если шут положил свои 8 досок указанным здесь способом через угол, образованный канавой, то он сумел довольно просто перебраться через нее.

Таким образом королевский шут мог преодолеть все трудности и благополучно бежать, что он, как нам сообщает, и сделал.