Текст книги "Ребёнок и взрослый в учебном диалоге. Книга для учителя"

Рок и характер

 
Яростен рок;
Яростней жар воли одной…
 

Эсхил

Чтобы продолжить диалог с ребятами, учитель должен ещё немного продвинуться в построении собственного понимания мифологической культуры, в таком поворачивании её, при котором возникают диалогические грани. Обернём теперь мифологию на психологические проблемы человека. Рассмотрим два предшествующих мифологических периода в качестве определённых ступеней самосознания индивида.

В мифах архаики человек полностью слит со своим характером, со своей судьбой. Он поступает только так, как хочет. Но его желания – не в его власти. Его страсти, как и «деяния» природы, не имеют чёткой цели. Эти деяния нельзя остановить, прервать мыслью. Со своими страстями нельзя общаться, как нельзя общаться с архаическими демонами земли, воды, молнии[50]50
  См. Лосев А. Ф. Античная мифология в её историческом развитии. М., 1957. С. 35 и др.


[Закрыть].

В титаномахии человек покоряет в себе титаническое, архаическое начало. Он перестает быть кентавром, человеком-зверем, перестает быть лапифом, человеком-деревом. Он противопоставляет себя природным силам и хтоническим чудовищам, поведение которых непредсказуемо. Эти чудовища должны быть уничтожены – вне себя и в себе.

Но преобразованный, цивилизованный человек теряет свободу воли, становится законопослушным, постигающим и претворяющим в жизнь не им, а Зевсом установленные законы. Да, теперь жизнь строится по разумным законам, в мире есть порядок. Но человек не может изменить этот порядок. Он поступает по воле Рока-порядка, Рока-закона. Каждый шаг подчинения своей воли закону Рока воспроизводит титаномахию в каждом отдельном человеке.

Герой не просто умерщвляет титаническое начало, но и насаждает порядок в жизнь, вводит чёткие божественные законы. Но жизнь героя – главы патриархального государства оказывается куда более сложной, чем самый полный свод законов. Возникает конфликт между законом и законом, трагическая ситуация выбора между благом и благом, грехом и грехом. Возникает возможность свободы выбора. В бездну между законом и законом вторгается титанический характер. Характер возрождается не как свойство исполнителя воли Рока, а как свойство человека, выбирающего свою судьбу и кару. В выборе между грехом и грехом Я (Прометей, Агамемнон, Орест, Эдип) выбираю это не по воле богов, а потому, что не могу иначе. Таков герой античной трагедии, следующего этапа переосмысления мифа.

Античная культура в трагедии концентрируется в образе трагического героя. Именно он будет Собеседником детей на новом витке диалога. В этой главе мы расскажем о диалоге шестиклассников с Эдипом – одним из центральных трагических героев. Детям рассказывали миф об Эдипе в изложении Н. А. Куна. В наиболее острых и «узловых» точках мифа изложение прерывалось чтением трагедии Софокла «Эдип-царь».

Диалог начинает Учитель:

– Не кажется ли вам, ребята, что Эдип чем-то похож на Атланта? Что в нём как бы оживает титанова правда?

Аня Дидур: Эдип выше Атланта тем, что он человек, тем, что он смертен, тем, что над ним властвует судьба, но он тем не менее пытается противостоять ей. Бессмертному и ничем не ограниченному титану все это легче.

(Аня своеобразно переосмысливает реплику Вадика Бабырева о неограниченности титанов. Хотя сам Вадик и не назван, его позиция выступает в качестве Собеседника, позволяющего Ане поставить новую проблему.)

Саша Ахиезер: Человек – это материальное существо. Бог, титан – это идеальное, придуманное людьми существо. Их нельзя сравнивать.

Глеб Кутепов: Титан, как ребёнок, борется «из принципа», за свои личные права, за свои личные «хочу». Титан может бороться до конца за самые маленькие права, ничего по сути ему не дающие. А у Эдипа отнимают жизненно важное. Он вынужден бороться.

Аня Дидур: Но вместе с тем Эдип чем-то ниже титанов. Титаны боролись активно против Зевса. А что Эдип – просто ушёл из своего города. Если на то пошло, он мог броситься в море, убить себя и тем доказать богам, что он не станет убийцей своего отца, что пророчество не исполнилось.

Вадик Бабырев: Эдип боролся за своё духовное существование. Ему важнее всего на свете доказать, что он живёт по своим собственным, а не по предписанным Зевсом законам.

Женя Ковалёв: Но он идёт к Аполлону, когда хочет узнать, почему на Фивы ниспослан мор! Значит, он верит в пророчества и смиряет свой дух!

Вадик: Он – государь, он любит свой народ и отвечает за него. Он любит людей, граждан Фив, сильнее, чем свой собственный дух, он смиряет свой дух и идёт к Аполлону ради людей.

Саша: Но против чего боролся Эдип? Какой смысл в этой борьбе? Ведь он боролся против силы, которая повелевает всем!

Вадик: Легче сказать, за что он боролся. Он боролся за то, чтобы не быть игрушкой богов. И величие его в том, что он, зная пророчество, не согнулся, а всю свою жизнь прожил гордо, радостно, уверенно, так, как будто никакого пророчества и не было. Он не трясся, не умолял богов изменить его судьбу.

Саша: Что хотел сказать Софокл? Зачем он писал свою трагедию? Неужели только для того, чтобы ещё раз продемонстрировать, что боги сильнее человека, что дело богов – изменить его судьбу.

Вадик: Быть может, Софокл хотел показать, что Эдип – «золотая середина» между Атлантом и Зевсом. Атлант – беззаконие, полное непризнание любых принципов и законов (хотя беззаконие – это тоже принцип!). Зевс устраивает жизнь по жёстким законам. А Эдип борется не вообще против законов, а за то, чтобы человек жил по своим законам, по законам, созданным им самим.

Дима Мац: Софокл хотел выразить своё презрение к богам. Для Эдипа важнее всего было унизить богов: «Вот я всё сделал по-своему!»

Миша Гринберг: Ну и что он сделал? Ничего!

Паша Бондаренко: Ну как же! Ведь он так резко и бесстрашно говорил презрительные слова о вещателях, о вещих птицах, о пифии!

Учитель: Я думаю, что даже зрители трагедии Софокла внутренне сжимались, когда актёр, игравший Эдипа, произносил эти слова: а вдруг Аполлон поразит его вот сейчас, на сцене!

Вадик: Вот Миша говорит, что Эдип ничего не сделал. Он сделал очень много. Он всю жизнь, почти до самого конца, жил своей жизнью. Для богов он был страшен тем, что много лет жил в своём мире, а не в мире, созданном богами.

Саша: Он жил по законам Зевса. Всё свершилось так, как предсказали боги. Это – полное поражение.

Вадик: Но ему казалось, что он жил по законам своей жизни. А Зевсу казалось тоже, что Эдип живет по законам, созданным Зевсом. Значит, возможны две правды, две точки зрения на жизнь Эдипа. И этой неоднозначностью он и бросает вызов богам. И в этом – его победа.

Миша: Он – восставший. И как любое восстание, пусть это Жакерия или восстание Спартака, как любое восстание, которое потерпело поражение, оно велико уже потому, что возможно.

Саша: Но что такое жизнь спартаковцев вне закона, вне закона мощнейшего государства, внутри огромной враждебной страны, которая живёт по другим законам!

Вадик: Четыре года люди жили иначе. Это очень долго, если учесть среднюю продолжительность жизни раба, тем более – гладиатора. Все время жизни восстания они жили по-другому. Жили как люди.

Намечаются новые темы уроков-диалогов. Среди них едва ли не самая перспективная – переосмысление исторического события (восстание Спартака) как варианта античной трагедии.

Если внимательно присмотреться к репликам детей, то можно обнаружить, что каждый участник диалога ведет свою линию разговора, а не просто ситуативно реагирует на реплики товарищей. Например, Вадик Бабырев, по сути дела, развивает тему, заявленную им в самом начале обучения: «неограниченность» героев мифа, возможность свободного существования, жизни «по своим законам». Саша Ахиезер последовательно развивает тему античности как «только придуманного мира», мира идеальных образов и героев, к которым вообще неприменимы мерки обыденной жизни. Костя Хавин, наоборот, стремится «погрузиться» в античные реалии как можно глубже, поверить в них по-настоящему и т. д.

Осваивая античность, шестиклассники формулируют своё понимание человека в истории и культуре. И это – самый важный итог диалогов.

Глава 5
Треугольник Вани Ямпольского, или Ребёнок в учебном диалоге

Сознание человека не только отражает объективный мир, но и творит его.

В. И. Ленин

Диалогизация определений

Воображение, не способное выйти за пределы чувственных вещей, не улавливает, что линия может быть треугольником, …но для разума это нетрудно.

Николай Кузанский

Все уроки-диалоги, описанные ранее, были проведены или на материале предметов гуманитарного цикла, или на естественнонаучном материале (природоведение), основные проблемы которого были существенно «гуманитаризованы». Возникает вопрос: а возможно ли диалогическое обучение математике, одному из основных школьных предметов, содержание которого как будто исключает возможность диалогизирования?

В качестве «полигона» нашей работы был выбран фрагмент программы по математике для V класса (тема «Построение треугольников»). Дети, строя различные треугольники «по трём сторонам», несколько раз столкнулись с характерным случаем: отрезки-стороны были подобраны таким образом, что в результате построения «обычного» треугольника не получается, треугольник «вырождается» в отрезок. Программа V класса не предусматривает знакомства с общим определением треугольника, «отсекающего» подобные случаи. Возникает разрыв между интуитивным представлением о треугольнике и практикой построения реальных треугольников, в том числе и «вырожденных» треугольников-отрезков. Этот разрыв порождает вопрос. Итак.

Рис. 2. «Треугольник» Вани Ямпольского

Ваня Ямпольский: Является ли такая фигура (рис. 2) треугольником?

Учитель: А как ты получил такую фигуру?

Ваня: Э-э… Ну, например, так: нарисовал треугольник ABC и точку В стал двигать вниз, к стороне АС, пока не получилось такое…

(Ваня сразу задаёт происхождение своей фигуры не из построения треугольника «по трём сторонам», а из более сложного процесса, из предельного перехода от обычного треугольника к треугольнику-отрезку. Хотя этот процесс куда сложнее, чем классическое построение «по трём сторонам», известное каждому пятикласснику, но Ванин вариант появления «странной фигуры» сразу сближает этот «вырожденный» случай с нормальным и тем самым ставит проблему их разведения или, наоборот, отождествления.

Как мы покажем ниже, Ванин ход – это только один из вариантов начала диалога о треугольнике-отрезке.)

Учитель ещё раз повторяет для всех детей построение Вани. Все дети видят, как постепенно точка В приближается к стороне АС и треугольник ABC постепенно сжимается, превращаясь в странную фигуру.

Учитель: Понятно, как Ваня получил такой странный «треугольник»? А треугольник ли это?

Юля Богданович: Это не треугольник, так как у него нет углов. Если показать любому человеку эту фигуру, не говоря, что раньше это был треугольник, то он скажет, что это просто отрезок с точками!

Учитель: Верно ли, что у треугольника Вани нет углов?

Несколько детей (дополняя друг друга): Углы есть! Первый угол ВАС, он равен нулю, второй угол ВСА – тоже нуль, ну а третий угол – это угол ABC, 180 градусов…

Учитель: Значит, это всё-таки треугольник?

Аня Дидур: Да, это треугольник. Ведь у этой фигуры всё как у треугольника. Даже сумма углов 180 градусов!

Руслан Дергун: Это не треугольник! У него нельзя найти высоты!

Учитель: Подумайте, ребята, в самом ли деле здесь нет высот? Давайте построим несколько этапов превращения нормального треугольника в Ванин и посмотрим, что происходит с высотами (рис. 3).

Рис. 3. Экспериментирование в пространстве идей Вани

Ваня: Хорошо видно, что у моего треугольника есть все три высоты. Только они равны нулю по длине, так как всё время уменьшаются, когда мы делаем треугольник из нормального.

Жанна Мельцина: Это – не треугольник!!! У треугольника все высоты пересекаются в одной точке, а у этого – нет!

Коля Озеров: У него параллельные высоты! Где же их пересечение?

Учитель: Кажется, ребята правы… Точка пересечения высот куда-то исчезла… Но давайте-ка всё-таки проверим, что же происходит с этой точкой, когда треугольник превращается?

Дети: Очень интересно! Точка пересечения О поднимается всё выше и выше!

Коля Озеров: А высоты не просто уменьшаются, а расходятся…

Дети: …расходятся и становятся почти-почти параллельными… А точка О уходит всё выше и выше…

Ваня: Если высота, которая опущена на АС, очень-очень маленькая, то высоты пересекаются, ну, очень-очень высоко, ну, на расстоянии 500, 1000, миллион километров…

Учитель: Так есть ли точка пересечения высот у этого треугольника?

Дети: Есть! Очень-очень высоко! В бесконечности!!!

Марина Радченко: Нет… У Ваниного треугольника просто нет этой точки. Нет её.

Вита Котлик: Я согласна с Мариной. У очень-очень маленького треугольничка, может быть, и пересекаются высоты. А у Ваниного – нет.

Марина: Вообще-то я не знаю, треугольник это или мет. Потому что, во-первых, это не треугольник, так как все его высоты не пересекаются; во-вторых, это треугольник, так как у него есть углы.

Женя Ковалёв: Этот треугольник не имеет площади.

Дети: Площадь есть, но она равна нулю!

Женя: А разве бывают треугольники с нулевой площадью? Что это за фигура без… то есть с нулевой площадью?

Саша Ахиезер: Всё в мире относительно. А поскольку нет точного, полного и абсолютного определения треугольника, то задача решается так: смотря что взять за определение треугольника…

Алёша Степановский: Принято считать, что треугольник – это фигура, которая имеет три вершины, не лежащие на одной прямой. Но при большом желании можно считать эту фигуру треугольником, как, например, моя сестра Аня, бывает, говорит: «Давайте зайчика называть львом!»

(Алёша и Саша скептически относятся к построениям Вани как к «только придуманному», зыбкому, воображаемому миру. Сравним эти реплики с позицией Саши Ахиезера по поводу античной мифологии, которую он будет отстаивать в споре с Зевсом-учителем через год, – они логически сходны. Однако, как и в споре об античности, у Кости Хавина, Вадика Бабырева и других ребят возникают серьёзные вопросы, углубляющие поднятую проблему, но не сводящие её к лингвистическим тонкостям.)

Серёжа Опивалов: А можно вопрос? Ваня построил «треугольник-отрезок» с точкой посредине. Но можно построить «треугольник-отрезок», если взять нормальный прямоугольный треугольник и «подтащить» одну сторону к другой (рис. 4). Как быть с таким «треугольником»?

Рис. 4. Треугольник Серёжи Опивалова

Вадик Бабырев: А ведь Серёжин треугольник можно построить совсем иначе: взять равнобедренный треугольник и сближать боковые стороны, пока не получится отрезок! Будет ли это тот же треугольник или другой (рис. 5)?

Рис. 5. Треугольник Вадика Бабырева

Костя Хавин: Ну, так можно дойти и до «треугольника-веточки», если сближать все вершины, прижимать их друг к другу. А и правда, будет ли такой «треугольник-точка» треугольником? (рис. 6).

Рис. 6. Треугольник Кости Хавина

Рассмотрим более детально внутренний диалог, который проходит в сознании ребёнка на уроке.

Все знают, что в обычном, «нормальном» треугольнике вершины не лежат на одной прямой. Но почему? Что если это условие нарушится?

Рядом с миром привычных геометрических образов выстраивается образ странный, невозможный, опровергающий или по крайней мере расшатывающий исходные представления о треугольнике[51]51
  Известный исследователь логики и истории науки И. Лакатос в книге «Доказательство и опровержение» (М., 1967) вводит интересное понятие «монстра» для гипотетических конструкций и образов, которые позволяют «остранить» привычные представления о предмете, ввести в незыблемое некую «щепотку соли» Конечно, научные диалоги, реконструируемые Лакатосом, по своей структуре отличаются от учебных диалогов. Но в учебных диалогах воспроизводятся некоторые характерные особенности диалогов научных, в частности, производство «мыслеобразов-монстров»: треугольник-отрезок, пар № 1 и пар № 2, победоносное восстание Спартака и др.


[Закрыть]. Далее возникает спор двух логик: «успокоенной», логически выверенной математической теории с известными фактами и теоремами (высоты пересекаются в одной точке, сумма углов 180 градусов…) и становящегося индивидуального образа. Этот спор образует «логический нерв» урока.

– В этом треугольнике нет углов.

– Почему же? Есть, если изменить понимание углов, обобщить его.

– Хорошо, но у этого треугольника нет площади.

– Есть, равная, правда, нулю.

– Не бывает фигур с нулевой площадью.

– Это вопрос, нуждающийся в обсуждении. Площадь равна нулю у точки, у отрезка. У этого треугольника тоже нулевая площадь.

– У этого треугольника нет высот.

– Почему же? Есть. Только это – бесконечно малые параллельные отрезки.

– Но эти «высоты» не пересекаются в одной точке!

– Пересекаются – в бесконечно удалённой точке.

– А бывают разве точки, находящиеся в бесконечности?

Странный образ, созданный учеником, определяет, ограничивает безбрежное море диалога в данной, единичной и вполне осязаемой конструкции.

На уроке-диалоге в развёрнутой форме воспроизводятся основные логико-психологические особенности диалога как формы мышления. Вот как описывает эти особенности В. С. Библер:

«– Он (внутренний Собеседник. – С. К.) совершенно не понимает, о чём идёт речь, в чём суть предмета (какого, собственно?)…

Он, кажется, может быть переубежден, ибо „как же это возможно, такие простые вещи не понять, ведь все так ясно…“

– Я сам, оказывается, кое-что не понимал – не понимал, как его лучше убедить, не понимал, что именно может быть непонятно…

– Он всё же совершенно непроницаем, у него какая-то совсем иная логика…

– Впрочем, даже если посмотреть на предмет) с логических позиций моего собеседника, то…

– Да, выходит, что я не понимал, что…»[52]52
  Библер В. С. Понимание Л. С. Выготским внутренней речи и логика диалога // Методические проблемы психологии личности/ Под. ред. Ф. Т. Михайлова. М., 1981. С. 124.


[Закрыть]

В этом смысле учебный диалог представляет собой уникальный полигон для исследования процессов диалогического мышления.

Учитель математики, читая диалог о Ванином треугольнике, может спросить: а где же здесь развитие математического мышления? Попытаемся ответить.

Обычно на уроках математики у детей формируются два вида логических умений. Во-первых, это умение подчиняться логике теории и выдерживать её противоречия. Это – умение видеть в сложных математических конструкциях (например, в геометрических задачах) результат последовательного усложнения исходных форм. Во-вторых, это умение представлять результаты теоретического обобщения в виде формализованной модели, в виде цепочки следствий, т. е. умение переходить от единого развивающегося понятия к формализованному тексту и, наоборот, расшифровывать текст через его «динамические характеристики»[53]53
  Взаимодействие этих логических культур (теоретического обобщения и формальной дедукции) в процессе обучения ребёнка подробнее прослежено в книге: Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. М. 1972.


[Закрыть].

Всё это очень важно и нужно ребёнку. Но на уроке-диалоге ничего такого в «чистом виде» не происходит. Нет (пока?) поступательного развития некоторой исходной «клеточки» в конкретную целостность учебного предмета. Нет и жёсткой цепочки доказательств. Работают какие-то иные логические законы. Развиваются иные стороны математического мышления. Обоснованию подвергается само исходное понятие. И обосновывается оно не цепочкой следствий и не перерастанием в теорию. Оно обосновывается самим собой, углубляется в себя, само себя переформулирует. Оно обосновывается контрпримером-«монстром», выворачивающим исходное определение наизнанку[54]54
  Логика «учёного незнания», лежащая в основе таких обоснований, разработана в книге: Кузанский Н. Сочинения. М., 1979. Т. 1. Там же приведены и характерные примеры: треугольник, тождественный прямой, и т. п.


[Закрыть].

Образ Вани Ямпольского, развиваясь, доводит логику евклидовой геометрии до последней грани, где обнаруживаются новые начала: начала проективной геометрии.

На уроке-диалоге центром стал вопрос, заданный Ваней Ямпольским. Вопрос ребёнка – это та грань, которая переводит урок-монолог в урок диалогического типа. В. Г. Белинский, характеризуя рефлексивную сущность поэзии Лермонтова, обронил фразу: «Вопрос – вот альфа и омега нашего времени»[55]55
  Белинский В. Г. Полн. собр. соч. в 13 тт. М., 1954. Т. 4. С. 518.


[Закрыть].

Задавая вопрос, ребёнок делает истину предметом собственной энергичной деятельности, воли. «То, что полагалось существующим само по себе, теперь предполагается, порождается изнутри. Бытие субъективируется, вбирается в человека и отсюда воспроизводится. Но тем самым реальные трудности и проблемы бытия, которые казались вначале живущими вне человека, вне и легко преодолимыми, стоит мне только начать жить из себя, сознательно, – вдруг всплывают уже изнутри, как собственные затруднения личности и её мысли»[56]56
  Гачев Г. Д. Содержательность художественных форм. Эпос. Лирика. Театр. М., 1968. С. 51.


[Закрыть].

Урок-митинг, урок-сочинение…

Ученик Гамма: Я думаю, что если мы хотим изучить что-нибудь действительно глубоко, то нам нужно исследовать это не в его «нормальном», правильном, обычном виде, но в его критическом положении, в лихорадке и страсти…

Имре Лакатос

Описанный выше диалог о треугольнике проходил в спокойной атмосфере «учёного спора» класса с Ваней Ямпольским. Такая форма общения, однако, далеко не единственно возможная. Рассмотрим и другие формы урока-диалога, которые могут возникнуть при изучении этой темы.

В одном из пятых классов средней школы № 142 г. Харькова инициативу сразу захватил авторитетный мальчик Гена Коваленко, который очень убедительно «доказал», что данная фигура – треугольник с тремя углами: 0°, 0°, 180°, с тремя сторонами.

Оля Рыбалко и Лилия Золотарёва, с трудом преодолевая недовольный гул мальчиков, робко возражают:

– Ну, это всё-таки линия, отрезок с точками…

Мальчики: А пусть они докажут, что это не треугольник!

Лилия: Я сейчас не знаю, почему это не треугольник. Но я подумаю, и завтра мы посмотрим. Я думаю, что докажу, что это не треугольник.

Оля сначала сдалась, а потом тоже сказала, что подумает.

Мальчики: А зачем думать? Ведь Гена так ясно доказал, что это – треугольник!

На следующем уроке от имени девочек выступила Оля:

– Если чуть приподнять стороны вашего «треугольника» ABC, то они не сойдутся! (рис. 7). Значит, это – не треугольник!

Рис. 7. Опровержение девочек

Мальчики: А не надо приподнимать!!!

Олег Сапельников: Но и в обычном треугольнике происходит то же самое (рис. 8). Значит, то, что сказала Оля, скорее доказывает, что это – треугольник, то есть правоту мальчиков.

Рис. 8. Схема Олега Сапельникова

Лилия: Мы видим, что у всех нормальных треугольников сумма двух сторон больше третьей. А у нашей фигуры сумма двух сторон равна третьей. Значит, это не треугольник.

Мальчики в замешательстве.

Девочки: Пусть теперь они докажут, что это – треугольник.

Мальчики (спокойно): Мы подумаем дома, завтра договорим. Пока мы не знаем.

Этот урок, как видим, сильно отличается от предшествующего. Там – тихая беседа мальчиков и девочек, каждый из которых говорит от своего имени. Здесь – бурный митинг, жёсткая борьба двух «партий» – мальчиков и девочек. Каждая реплика – это слово «лидера» партии, подкрепляемое одобрением «своих» и гулом неодобрения противников. И здесь и там урок начинают сами дети, и он проходит практически без вмешательства учителя.

Циркулем и линейкой дети строили треугольники. Заранее не было известно, будет ли иметь решение задача или нет. И вдруг дело застопорилось. Получилось нечто странное. Обычно эта странность отбрасывалась репликой учителя: «Дети, это – не треугольник». Но учитель молчит. Возникает загадка: «И треугольник, и отрезок. Что такое?» Урок-митинг, поляризовав класс, удерживает эту загадочность, парадоксальность геометрического образа. Удерживает противоречие как упрямое, неснимаемое. Упрямство противоречия поддерживается упорством сторон (мальчиков и девочек). Учитель должен быть готовым к проведению различных типов диалогов: от спокойного обсуждения до бурного митинга.

В другом пятом классе урок проходил совсем по-иному. Ребята в самом деле испугались треугольника-«монстра», попытались, как нам вначале показалось, уйти от противоречия с помощью словесных приёмов:

– Это – прямолинейный треугольник.

– Это – плоский треугольник.

Казалось, для большинства детей нет проблемы. Что-то непонятное получилось в ходе построений, его надо как-то назвать. И всё.

Однако дальнейший анализ показал, что попытка удержать противоречие не в бурном споре с другим, а в противоречивом слове является чрезвычайно продуктивной и внутренне диалогичной. Но для того чтобы «проявить» этот диалог, нужно было искать иные формы урока. Здесь не годился внешний диалог. Тогда учитель предложил пятиклассникам дома описать, что произошло на уроке. Формой детских размышлений явились математические сочинения. Приведём некоторые из них.

«Это – загадочный треугольник. Это треугольник, но показан только его верх. Вот как обыкновенный треугольник превращается в нашу фигуру (рис. 9)».

Рис. 9. Треугольник Сергея Чернова

«Эта фигура – треугольник. Для доказательства возьмём зеркало и треугольник. Будем поворачивать треугольник так, чтобы отражение в зеркале стало прямой линией. Это и есть проекция треугольника в виде прямой линии» (Галущенко Алексей).

«У нас начался урок. Тема – „Построение треугольников“. И вдруг получилось вот что (рисунок). Что же это такое? „Это что-то вроде треугольника и отрезка!“ – говорит Чернов. Тут – тишина. Вдруг поднялась Ключкова и говорит: „А давайте увеличим чуть-чуть сторону, и тогда получится обычный треугольник“. Но почему не получился треугольник с предыдущими данными? Какой прок переворачивать фигуры? Ведь круг – это не треугольник, но если посмотреть на круг сбоку (рисунок), то получится… прямоугольник?!» (Зайцев Андрей).

«Идея Чернова – это воображение. Потому что это может быть не только треугольником, но и авторучкой, а авторучку как ни крути, а она треугольником не станет (рис. 10)» (Феофанов Гена).

Рис. 10. Контрпример Гены Феофанова

Дети впервые получили возможность работать наедине с листом бумаги, вести диалог с самими собой. Оказалось, что ребята способны в своих сочинениях удерживать многоголосицу урока, разделять свои голоса и чужие, уважительно представлять чужие голоса, не навязывать оппонентам свою логику.

Многие подчеркивают странность ситуации, возникшей на уроке, её загадочность: «странная фигура», «загадочный треугольник», «если не треугольник, то что это?». Даже те ребята, которым, кажется, все ясно, подчёркивают исходную проблемность, неокончательность ситуации. «Тут – тишина», – замечает маленький Гамлет – пятиклассник Андрюша Зайцев.

Ещё в одном пятом классе урок о треугольнике породил бурные споры. Учитель предложил ребятам рассказать об этих спорах в математических сочинениях.

Рассказывает Серёжа Салов:

«Наш учитель Сергей Юрьевич задал вопрос: треугольник это или нет?

АВ = 6 см, ВС = 4 см, АС = 2 см.

И тут завязался спор. С самого начала Дима Овчинников сказал, что это – треугольник-отрезок. Затем я сказал, что это необычный треугольник, Просто раньше мы таких не строили. Вова Кандыба (он очень любит парадоксы на уроках) опроверг наши мнения. Он говорит: „Это не треугольник. Так как само слово „треугольник“ говорит – три угла. А тут?“ Но Сергей Юрьевич показал, что тут есть три угла. Затем Вова Кандыба сказал: „Если мы проводим рукой по плоскости, то мы лишь ощущаем ровную поверхность. А у треугольника есть углы, и они колются! А как же тут они будут колоться?“ (рис. 11).

Рис. 11. „Методологические“ иллюстрации, придуманные Серёжей Саловым

Илона Нищета сказала, что между простым треугольником и нашим есть какая-то связь. И Илона показала, какая именно (рис. 12).

Рис. 12. Треугольник Илоны Нищета, повторившей эксперимент Вани Ямпольского

Но придя домой, я понял, что это не треугольник. Ведь треугольник можно построить, если длина большей стороны меньше суммы двух других сторон».

Из рассказа Олега Гусева:

«…Вова Кандыба говорил, что на любой стене есть углы, и мы можем их почувствовать, мы их почувствуем, я не отрицаю. Дальше он говорит, что, проводя по стенке рукой, мы не чувствуем угла С, который равен 180°. Вова прав, я за него.

Теперь – моё утверждение, что это – отрезок. У каждого есть деревянный треугольник и линейка. Но на плоскую линейку, ручку, карандаш, ветку дерева мы не скажем, что это треугольник и что мы его получили способом Илоны!»

Из рассказа Серёжи Поливанного:

«…Постепенно спор о том, треугольник это или нет, перешёл в спор, как произошла эта фигура… Гусев говорил, что линейка и треугольник – разные вещи».

Возражения Саши Мирошко:

«Да, я с ним согласен, но если посмотреть на эти два предмета вот таким образом (рис. 13), то они кажутся совсем одинаковыми, и мы бы их не различили, если бы не было надписей».

Рис. 13. Контрпример Саши Мирошко

Сомнения Лены Бобро: «Мои одноклассники спорили, треугольник ли это. Я сомневаюсь. Но я думаю, что это называть треугольником просто смешно. Но вообще-то может быть, что и так и так – правильно. Но, скорее всего, что это не треугольник. Таково мое мнение».

Интересен ритмический рисунок многих детских текстов. Первая часть урока обычно характеризуется плавными, округлыми выражениями, подчеркивающими внеличностность, пассивность восприятия знаний: «Нам надо было начертить…», «К доске вышел отвечающий…», «У нас начался урок». Вторая, дискуссионная часть характеризуется резкими, бурными выражениями, подчеркивающими смену ритма: «Вдруг получилось…», «Вдруг поднялось…», «Кожин Алёша встал и говорит…».

Дети обращают внимание на личностность урока в его диалогической части. «Я думаю», «Моё мнение», «Идея Чернова – воображение», «Вова прав, я за него» – характерные фразы этой части сочинения.

Дети чётко выражают переход от надоевшего урока-монолога к иному типу урока, на котором не просто «нам сказали – мы начертили», «нас вызывали – мы отвечали». К уроку, на котором реально существуют «я» и «ты» и «мое мнение» и «воображение» моего товарища Чернова. К уроку-диалогу, на котором напряжённая тишина «вдруг» взрывается идеей Лены Ключковой, и всё начинается сначала.

Приём «сочинение по математике» понравился учителю и ребятам. Сочинение позволяет как бы дважды прокрутить в своём сознании урок: вначале как реальный спор, «митинг», а затем – как внутренний спор, удержанный в тексте и – неснимаемый в нём.

Своё сочинение Серёжа Салов заканчивает словами, в которых выражена, как нам кажется, самая суть позиции ученика на уроке-диалоге: «В этих спорах я научился добросовестно трудиться. То есть: достать нужные книги, найти в них нужный материал и скорректировать ответ. Учился отстаивать свою точку зрения». Эта реплика Серёжи имеет и важный логический аспект.

Выстраивая свои образы треугольника, учащиеся разных школ и разных классов актуализируют в них различные формы видения математического объекта. На уроке сталкиваются не просто «мнения» Алёши, Вовы, Вани: в их голосах «всплывают» голоса античных, средневековых, нововременных собеседников.

Античный способ мышления представлен на уроках репликами детей, не согласных с тем, что данная фигура – треугольник, так как она не имеет характерной треугольной формы. Как мог бы сказать Древний Грек, она лишена эйдоса, внутреннего образа треугольника. В ней нет настоящих вершин, настоящих углов (как определённых углов зрения, под которыми каждая сторона видна из противолежащей вершины), настоящих сторон (две его вершины нельзя соединить непрерывной прямой линией).

Ребята отказываются признать данную фигуру треугольником не в силу того, что её свойства противоречат тем или иным правилам или определениям, а в силу того, что по разным причинам не видят в этом «треугольнике» треугольной формы.

Способ разумения, схожий со средневековым, представлен на уроках по крайней мере в двух взаимодополнительных ипостасях: предмет (треугольник) как рукотворная вещь – и предмет как слово.