Текст книги "Ребёнок и взрослый в учебном диалоге. Книга для учителя"

Угол треугольника (тре-угольника) только тогда для меня становится углом, мог бы сказать средневековый мастер, когда я его могу ощупать рукой, воспроизвести движением кисти, понять как продолжение моей руки, как мое умение (то, что есть у меня и от меня неотделимо).

Но, с другой стороны, понять новую, необычную, странную, рукотворную вещь (скажем, треугольник, построенный циркулем и линейкой, по трём сторонам, сумма двух из которых равна третьей) можно лишь как причастную к слову. Возникает проблема называния (но совсем не в смысле определения, перечисляющего формальные признаки!) как нахождения слова, приоткрывающего загадку вещи и удерживающего вещь как загадку (загадочный треугольник, прямолинейный треугольник, раскрученный треугольник…).

Пятиклассница Оксана Омельченко пишет: «Это может быть развёрнутый треугольник, у него данные обычного треугольника, но он раскрывался постепенно, и вскоре вообще раскрылся, и получился развёрнутый треугольник! Это может быть треугольник раскрученный, если вырезать треугольник, а потом – круть его в руках и остановиться на этом, а потом срисовать».

В слове дети стараются удержать свои действия, производящие данную фигуру, как действия мастера, своими руками, вот здесь, вот сейчас «круть» – и изготовляющего странную фигуру…

Знание Нового времени удерживается, во-первых, в доведении Ваней Ямпольским и другими его одноклассниками определённой, конечной, «эйдетически завершённой», рукотворной треугольной формы («нормального» треугольника ABC) до парадоксальных бесконечных форм, невозможных с точки зрения здравого видения, не могущих быть реально изготовленными (треугольник-отрезок, у которого высоты – бесконечно малые параллельные отрезки, пересекающиеся в бесконечно удалённой точке). Как мы уже отмечали, такой тип понимания характерен для философии Николая Кузанского, «изобретавшего» начала мышления нового времени.

Во-вторых, логика этого времени представлена на уроках не только в своих изначальных, но и в развитых формах. Дети отождествляют «странную» фигуру с треугольником, так как её основные свойства могут выражаться теми же формулами, что и свойства обычного треугольника (сумма углов 180°), или, наоборот, не считают эту фигуру треугольником, так как её свойства не отвечают другой формуле (сумма двух сторон не больше третьей). С этой точки зрения понять треугольник – это значит познать его свойства и выразить их в виде общего закона, формулы.

Наконец, в-третьих, Саша Ахиезер и Алёша Степановский сводят решение проблемы треугольника к его формальному определению, не заботясь о том, соответствует ли этому определению та или иная вещь – чувственно воспринимаемая, или могущая быть изготовленной, или способная быть доведённой до бесконечных форм. Это – позиция, характерная для формалистических поисков в математике конца XIX – начала XX века.

Напряжённость диалога, его неразрешимость в пользу одной из «абсолютно правильных» позиций поддерживается на уроке тем, что решение учебной проблемы доводится до диалога логик и культур мышления, в котором каждая культура (античность, средневековье, Возрождение, новое время, XX век) имеет неисчерпаемые резервы развития в споре и согласии с иными формами разумения. Проблематичным является здесь само содержание учебного предмета, само развитие математического понятия, а не только путь к нему. И в этом – принципиальное отличие урока-диалога от внешне сходных с ним форм обучения (проблемное обучение, «восхождение от абстрактного к конкретному» и др.).

Парадоксалист Вова Кандыба, или Кант на уроке математики

Я снимаю шляпу перед грозой микрорайона Вовой с характерной фамилией Кандыба, этим маленьким Кантом на уроке…

Л. Л. Челидзе, реплика при обсуждении уроков-диалогов

Иногда учебные диалоги возникают совсем неожиданно. Впрочем, именно такие диалоги – самые интересные. Интересные своей незаданностью, непредсказуемостью.

…Шёл самый обычный урок математики в V классе. Учитель рассказал детям о симметричных фигурах, привёл обычные примеры: квадрат, равнобедренный треугольник, отрезок… Затем в учебнике идёт фраза: «А круг имеет бесконечно много осей симметрии».

Но этот последний тезис наталкивается на неожиданное сопротивление учащихся.

– Почему?

Учитель вынужден отступить и перевести утверждение учебника в форму вопроса: «Сколько осей имеет круг?»

Дима Овчинников: Конечно, 360 – по числу градусов.

Серёжа Курилкин: А если провести деления между градусами?

Ира Глущенко: Бесконечно много.

Роман Дихтяренко: Столько осей, сколько в нём поместится…

Андрей Просов: …пока круг полностью не закрасится.

Юра Чернобай: В разных кругах будет по-разному. В большем круге – больше осей, в меньшем – меньше.

Оксана Цыганёнко: Круг имеет бесконечно много осей симметрии, потому что в учебнике так написано.

Наташа Травнева: По-научному, конечно, можно узнать, сколько осей у круга. А так – нельзя. Вот учёные считают звёзды… (разводит руками, сбивается, садится на место).

Таня Скорнякова: Оси в круге не сосчитать, их очень много. Но не бесконечно много! Их просто невозможно сосчитать… но это не значит, что их бесконечно много!

Дима Криничный: Круг имеет столько же осей, сколько одна точка.

Вова Кандыба: Я считаю, что количество осей в любых двух кругах одинаковое. Возьмем два разных круга, большой и маленький. Совместим их центры. Проведем ось через большой круг. Ясно, что каждая ось большого круга является осью круга маленького. Значит, у всех кругов – одинаковое количество осей (рис. 14).

Рис. 14. Пример Вовы Кандыбы

Гена Коваленко: …Одинаковое. Но не бесконечное.

Вова Кандыба: Дальше. Увеличим большой круг. Число осей при этом не меняется. Тут говорили про звёзды. Но если взять огромный круг, небо, бесконечный круг, то в нём будет бесконечное количество осей. Значит, всегда и у всех кругов число осей бесконечно. Но я считаю, что в круге число осей конечно!

Учитель: ?!

Вова: Ведь если взять только маленький круг, а большой не трогать… Будем рисовать оси. Раз, два, три, смотрите: дальше рисовать некуда (рис. 15). Значит, осей конечное количество.

Рис. 15. Круг-монстр Вовы Кандыбы

Учитель: Ты же противоречишь сам себе!

Вова: Да. Но так получается. Я не виноват.

Лена Ключкова: Я беру круг. Рисую его на доске. А теперь – убираю его с доски и держу здесь, в руке. Теперь на доске только одна точка – центр. Через неё проходит бесконечно много прямых. Снова ставлю круг на место. Ничего не изменилось. Все эти прямые превратились в оси. Их – бесконечно много.

Вова Кандыба в своей антиномической реплике удержал противоречие, не снял его в опровержениях-доказательствах, выстроил его как неразрешимое. В странном образе полностью заштрихованного круга, одновременно равного бесконечному кругу и – точке (дополнение Лены Ключковой), противоречие живет, «пульсирует», проблематизирует мышление, не даёт покоя.

Итоговый текст учебника «ощетинивается» вопросами детей, новыми гипотезами и доказательствами. Пытаясь отвечать на эти вопросы, дети углубляют их. Доводят до парадокса, антиномии. Что такое – бесконечно большой круг? Изменяются ли законы геометрии при переходе к бесконечным объектам? Почему через точку проходит бесконечно много прямых?

Количество вопросов растёт. А время урока конечно. Каждое детское высказывание по-своему переопределяет проблему, разворачивает её новыми гранями. Урок может «расползтись», разрушиться… Хотя, быть может, мы присутствуем при разрушении традиционного урока-монолога и при рождении корявого, сложного, непривычного, но перспективного урока-диалога.

Диалогизация аксиом

Аксиома – это истина, не требующая доказательств. Это – мысль, выраженная словами и ясная для всех, кто её прочитает. Чтобы опровергнуть аксиому, требуется исключительный ум, которого у меня, увы, нет! И поэтому аксиома «Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости…» для меня очевидна, и я её вижу и понимаю, как она формулируется. И пока я не могу додуматься до таких положений, где бы эта аксиома могла нарушиться. Наверно, мне ещё долго нужно учиться геометрии, чтобы критически к ней относиться.

Оксана Шибуняева, VI класс

Особенностью современного преподавания геометрии является то, что аксиомы, на которых в дальнейшем строится курс, изучаются шестиклассниками в явном виде на самых первых уроках[57]57
  См.: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для VI–X классов средней школы. М., 1983. С. 3–14.


[Закрыть]. Перед учителем возникает сложная методическая проблема организации обучения аксиомам. Самая главная трудность состоит в необходимости приведения учащихся к мысли о том, что нужно обстоятельно и подробно изучать очевидные для них отношения. Возникает неприятная ситуация, известная из школьного анекдота: «Учитель нарисовал на доске равные треугольники, а потом долго доказывал, что они равны». Именно очевидность аксиом и затрудняет обучение им.

Как мотивировать сравнительно продолжительное обучение аксиомам, этим исходным «клеточкам» будущего геометрического организма? И более широкий вопрос – какова может быть методика обучения исходным отношениям учебного предмета? Зачем изучать то, что очевидно?

В данном случае к логике диалога учителя подводят проблемы, возникающие внутри самой методики преподавания математики.

В книгах по основаниям геометрии показано, что процесс обоснования геометрических аксиом требует выхода за пределы данной аксиоматики и рассмотрения иной аксиоматики. Обоснование данных начал есть процесс перехода (на мгновение!) к иным началам. «Для того, чтобы доказать независимость постулатов… нужно… построить патологические пространства, по одному на каждый постулат, с одной патологической особенностью каждое… Возможность такого пространства обнаруживает, что, принимая остальные постулаты, мы не вынуждены принять и этот постулат, он поэтому от них не зависит».

Исходя из этого, мы выстроили программу диалогического обучения аксиомам геометрии в VI классе. Перед детьми с самого начала ставилась задача описания основных свойств двух пространств: евклидовой плоскости и поверхности шара. Позднее были введены термины «геометрия Евклида» и «геометрия Римана». Вводились основные понятия, характеризующие эти пространства: точка и прямая. Под прямой понималась кратчайшая линия, соединяющая две точки.

Дети в ходе учебных задач убеждаются, что прямые в евклидовой плоскости и прямые на поверхности шара обладают различными свойствами. Отсюда возникает необходимость исследования того, какие свойства прямых на поверхности шара и на евклидовой плоскости являются общими, а какие – различными.

Аксиомы, таким образом, не являлись для детей в ходе обучения очевидными. Например, необходимость в тщательной фиксации аксиомы о единственности прямой, проходящей через две точки, мотивируется тем, что эта аксиома нарушается на поверхности шара (рис. 16).

Рис. 16. Две геометрии

В геометрии Евклида через любые точки А и В проходит только одна прямая

В геометрии Римана существуют точки, через которые можно провести несколько прямых

Однако есть ряд аксиом, общих для геометрии Евклида и Римана. В этих случаях мы предлагали к каждой такой аксиоме придумать такое пространство, в котором эта аксиома нарушается.

Шестиклассники с увлечением работали над созданием своих геометрических «миров». 75 % учащихся двух классов построили геометрию, в которой не выполняется такая аксиома (так называемая аксиома 112 в школьном учебнике): «Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости так, что, если концы отрезка лежат в одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую-границу. Если же концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, то отрезок пересекает границу». Многие дети предлагали два, три и даже четыре варианта различных пространств. Всего же было предложено 18 вариантов «геометрий».

Геометрия Ани Кушнир. «Допустим, у нас есть плоскость. В результате страшного геометрического землетрясения она раскололась надвое, образовав две полуплоскости и пустое пространство между ними (рис. 17). Ни действовать в этом пространстве, ни восполнить его мы не можем. В этой геометрии если у нас есть две точки в разных полуплоскостях, то отрезок не только не может пересечь границу, но даже не может соединить эти точки».

Рис. 17. Геометрия Ани Кушнир

Геометрия Олега Гузенко. «Это происходит в геометрии на поверхности трубы-цилиндра. Две точки А и В, лежащие по разные стороны от границы а, можно будет соединить отрезком, что противоречит аксиоме (рис. 18)».

Рис. 18. Геометрия Олега Гузенко

Геометрия Лизы Пятигорской. «Круги, которые вы видите (рис. 19), – это дыры, внутри которых – пустота. Эти дыры никогда не могут быть расположены „рядами“. Они расположены беспорядочно. Имея такие сведения о „дырчатой“ геометрии, как мы её теперь будем называть, мы можем поговорить и о прямых. Так как дыры попадаются очень часто, то как бы мы ни проводили прямую, она всюду натыкается на дыру, т. е. будет ограниченной. А ограниченная прямая – это уже не прямая[58]58
  Эти представления, конечно, нуждаются в уточнении и детализации. Ведь можно сказать, что здесь есть кратчайшие линии, т. е. прямые, но не в евклидовом смысле. Этого Лиза не учитывает.


[Закрыть]. Дырчатая геометрия – это геометрия без прямых, и в этой геометрии некому делить плоскость на две полуплоскости».

Рис. 19. Геометрия Лены Пятигорской

Геометрия Ани Королёвой. «Аксиома нарушается в геометрии только параллельных прямых. Пусть точки А и В лежат в разных полуплоскостях с границей а. Тогда отрезок АВ не пересекает границу а, так как такого отрезка просто нет. Ведь прямая, соединяющая точки А и В, – вне нашей геометрии (рис. 20)».

Рис. 20. Геометрия Ани Королевой

Тривиальный на первый взгляд факт требует самого нетривиального исследования, как только найдено его опровержение. Размышляя над природой аксиом в человеческом мышлении, В. И. Ленин заметил: «Практика человека, миллиарды раз повторяясь, закрепляется в сознании фигурами логики. Фигуры эти имеют прочность предрассудка, аксиоматический характер именно (и только) в силу этого миллиардного повторения»[59]59
  Ленин В. И. Философские тетради. М., 1978. С. 198.


[Закрыть]. Переход от аксиом, усвоенных как предрассудок, к пониманию их сущности, необходимости требует остановки, перерыва в практике «миллиардного повторения» аксиом. А для этого надо допустить возможность иных аксиом, иных начал геометрического знания.

Вспомним первые самостоятельные образы-конструкты детей, созданные на уроках по природоведению в III классе! За три года диалогического обучения дети существенно продвинулись в умении создавать и конденсировать в слове, образе, модели своё видение учебного предмета.

Вместе с тем из 52 учащихся 6 совсем не справились с работой, 7 – не сумели грамотно оформить результаты своих поисков. Беседы, проведённые с этой группой учащихся, приводят нас к выводу, что эти дети рассматривают евклидову аксиоматику как единственно возможную.

Наиболее интересно позицию этих ребят сформулировала Оксана Шибуняева. Эту реплику мы вынесли в эпиграф.

Негативный результат выполнения задания Оксаной сопровождается напряжённым внутренним диалогом: «Я допускаю, что аксиома может нарушиться». – «Но я же вижу, что она верна!» – «А может быть, я просто мало знаю?»

Негативный ответ не воспринимается учащимся как неудача. Скорее речь идёт об особой позиции Оксаны, предостерегающей от слишком легкого обращения с основами мироздания. Для того чтобы усомниться в аксиоме, нужен исключительный ум! Отказ от решения проблемы, поставленной учителем, переопределение её – не каприз или сбой, а сомнение в самой сути задачи. Это сомнение аналогично сомнению Ани Кушнир в самой возможности создания своего понимания мифа и передачи его другим людям (в диалогах о мифах).

Дети как бы вступают с учителем в диалог об учебном диалоге, о его возможности, целесообразности, о его границах.

Серьёзной ограниченностью разработок уроков, проведённых на этом этапе, является то, что в процессе обучения моделировался диалог нескольких целостных образов: диалог усваиваемого (евклидового) мира и вновь создаваемых детьми геометрических «миров». В предыдущих же диалогах (о треугольнике Вани Ямпольского, об осях круга) нам удалось удержать спор на более тонком логическом уровне: на уровне преобразования одного понятия (треугольника или круга).

Геометрические миры в диалоге шестиклассников об аксиомах Евклида были несколько размыты, не сфокусированы в едином понятии. Создаётся впечатление, что это – два взаимодополняющих момента урока-диалога, представленных пока в нашей работе как разделённые во времени.

Более тонкая проработка уроков, посвящённых введению в предмет геометрии (проработка на уровне диалога понятия с понятием), равно как и более широкая развёртка уроков о треугольнике и круге (фокусировка в одном понятии-«перевёртыше» целостных геометрических систем, а не только возможности их появления на границе перехода от евклидовой геометрии к проективной и т. п.) – задача дальнейшей работы, в которой мы приглашаем принять участие наших читателей.

В диалогах по математике вскрылись те же закономерности формирования диалогического мышления, что и на уроках природоведения, литературы, истории, мифологии. Но жёстко заданный предметный материал, не терпящий бесплодного фантазирования, подключение чётких ограничений на устную и письменную речь (математическая символика), обилие графических моделей и другие особенности математики делают такого рода учебные диалоги своеобразной пробиркой, в которой основные закономерности урока-диалога обнаруживаются с наибольшей выпуклостью, лаконичностью и простотой.

На путях к диалогизации обучения

Нужно отметить, что в этой книге описаны только первые шаги по диалогизации школьного преподавания математики. Но уже сейчас видны основные черты такого обучения.

1. На уроках-диалогах математики рассматривается как совокупность точек удивления, в которые, как в «чёрные дыры», втягивается всё, что «до» и «после»: весь известный детям материал – понятия, способы действия, навыки построения, свойства фигур… и весь спектр будущих проблем – проективная геометрия, математический анализ и т. д.

2. Как и при диалогическом преподавании истории, на уроках математики доказательство не снимает исходного удивления и в особых формах (с помощью образов-головоломок, математических «монстров») сохраняет его, сохраняет как уникальное математическое событие, до конца не могущее быть «перетянутым» на берег обычного познания. Вспомним письмо Кантора, доказавшего, что в квадрате ровно столько же точек, сколько и на отрезке: «Я вижу это, но не верю»[60]60
  См., например: Виленкин Н. Я. В поисках бесконечности. М., 1983. С. 77, Клайн М. Математика. Утрата определённости. М. 1984. С. 233.


[Закрыть]. Или другой пример: доказательство (с помощью предельного перехода) того, что Ахиллес догонит черепаху, не снимает мыслительной содержательности возражений Зенона, а только углубляет их. В курсе математики образуются плотные «ядра» удивления и – разрежение между ними. Плотное последовательное изложение, делающее все понятным и до донышка познанным, соседствует рядом с тщательно скрываемыми ныне школьной геометрией, школьной теорией пределов и производных исходными трудностями понятий предела, производной, множества, точки, прямой и других. Трудностями, над которыми бились и бьются математики античности, XVII, XX веков…

Поэтому математические головоломки, курьёзы, «монстры»-это не просто продукт индивидуального творчества ребёнка, это особые «орудия», аккумулирующие трудности и парадоксальности исходных математических абстракций.

3. Каждое математическое понятие – удивительное, парадоксальное, уникальное – рассматривается как диалог различных исторических способов понимания. Они не навязываются извне, а «всплывают» в учебных диалогах и репликах учителя и учеников. Для того чтобы диалог на уроке был действительно диа-логом (т. е. спором различных логик, выходящим на вечные, неразрешимые проблемы бытия), он должен обнаруживать в математическом предмете не только спор разных точек зрения внутри одного знания (знания нового времени, наиболее полно ассимилированного школой), но и, в первую очередь, актуализировать античное, средневековое, современное (характерное для математики XX века) понимание числа, треугольника, круга, бесконечности.

4. Обычно математическое развитие ребёнка в начальной и средней школе понимается как переход от эмпирического, ненаучного мышления дошкольника к понятийному, научному, теоретическому мышлению ученика школы.

Мир дошкольника – это мир разнокачественных предметов, каждый из которых тождествен сам себе. Это – мир индивидуальных вещей, каждая из которых самоценна и, как сказал бы Древний Грек, не может быть сравнима с другой индивидуально неповторимой вещью, так как в себе самой несёт свою собственную меру. Этому особому миру дошкольника соответствует психологический мир феноменов Пиаже, в котором слово «удав» длиннее, чем слово «червячок», а шарик из пластилина меньше, чем вылепленная из такого же количества пластилина полоска…

Мир школьника – это мир эталонов, признаков, мерок. Мир, в котором преодолеваются феномены Пиаже, ибо слово «удав», конечно же, короче, так как в нём меньше знаков, а величины сравниваются не на глаз, а приведением к одинаковым меркам.

Должен ли мир дошкольника полностью «сниматься» миром школьника, миром ученика? И если нет, то в каких формах в познании школьника может удерживаться дошкольное сознание?

Нам думается, что возможная в учебном диалоге актуализация античного видения предмета как особой, тождественной себе, эстетически значимой, неповторимой внутренней формы не только тормозит и проблематизирует видение мира как предмета познания в эпоху нового времени, но и своеобразно воспроизводит в школьном обучении ситуацию дошкольного отношения к миру («Я умею измерять, но вижу вещь целостно»).

В частности, при обучении математическим абстракциям (числу, фигуре, множеству) необходимо помнить, что переход от дошкольного видения целостных вещей к отделению от вещи её величины для изучения величин в «чистом виде» есть отнюдь не переход к теоретическому мышлению как таковому. Это – переход к особому типу мышления нового времени. Здесь проблема освоения мира подменяется задачей присвоения только одной его фиксации, одного видения мира (мир как предмет измерения).

При сведении обучения к присвоению только данной модели мира (обучение как «восхождение от абстрактного к конкретному») происходит примерно следующее. Начинают с проблемы восстановления целостной формы; поломался мостик, по которому двигались игрушечные машинки. Как его восстановить? Затем проблема восстановления и построения вот этой целостной, единичной формы подменяется задачей выделения параметров вещей (величин) и оперированием с ними. От целостной вещи отделяется величина и моделируется отрезком длины (идея количества как пространственно-временного качества), к индивидуальности предмета уже не возвращаются[61]61
  См. Давыдов В. В. Проблемы развивающего обучения. М., 1986. С. 179.


[Закрыть].

Вместе с тем видение вещи как целостной, невозможность сравнения индивидуально-неповторимых предметов по абстрактно выделенным параметрам, невозможность рассматривать число только как средство измерения величин (три яблока всё же чем-то очень важным отличаются от трёх половинок яблока, и шесть ёлочек очень трудно охарактеризовать числом «три», даже если в качестве мерки выбрать две ёлочки!) постоянно прорываются в мышлении школьников. Почему? Почему даже пятикласснику трудно порой окончательно отождествить дробь «три третьих» (полученную путём раздробления исходной меры на три равные доли и взятии трёх долей) и натуральное число «один»? Почему нет-нет да мелькнёт в методических статьях отголосок старого спора об «относительных» числах и нетождественности числа 1 числу +1?[62]62
  См., напр.: Бархаев Ю. П., Захарова А. М. Выделение предметной области теории как предпосылка содержательного обобщения (на материале числовых систем) // Вестник Харьковского университета. – № 200; Психология памяти и обучения. Харьков, 1980. С. 48–54. В этой работе убедительно показывается нетождественность учебных действий, приводящих школьников к понятию скалярной и направленной величины.


[Закрыть]

Как ни сильна в школьном обучении тенденция сведения всех форм числа к одной – отношению величин, к числу как к абстрактному средству измерения, построение школьного курса математики, ориентированного на понимание числа в духе нового времени, сталкивается с большими психологическими трудностями.

На наш взгляд, эти трудности связаны в первую очередь с тем, что в современном (научном) понимании числа присутствуют по крайней мере несколько различных и несводимых друг к другу определений.

Первое. Число как средство воспроизведения величин, как результат измерения, нанесения «ран» на непрерывные величины. Число как результат снятия непрерывного в дискретном, замены непрерывной величины набором отдельных меток, каждая из которых означает однократное применение, откладывание стандартной меры. Число как указатель, показывающий, какие преобразования надо произвести со стандартной мерой, чтобы получить нужную величину (повторить несколько раз – натуральное число; раздробить на несколько равных долей и взять столько-то долей – дробь; изменить направление на противоположное и повторить нужное число раз – целое отрицательное число; повернуть на определённый угол и повторить нужное количество раз – комплексное число[63]63
  См. Боданской Ф. Г., Курганов С. Ю., Фещенко Т. И. Формирование всеобщего способа действия как психологическая предпосылка организации учебной деятельности при расширении изучаемой числовой области // Вестник Харьковского университета. № 155; Психология. Харьков, 1977. С. 54–58.


[Закрыть]. Натуральное число, дробь, отрицательное число, комплексное число как бы надстраиваются друг над другом так, что каждое числовое множество «снимается» в более широком классе чисел, легко отождествляясь с его подмножеством: три ёлочки, три килограмма, три шага в заданном направлении – суть одно и то же «три»: ведь надо три раза повторить данную меру – скалярную или направленную, меру массы или длины.

Второе. Число как предмет «умного» всматривания, как тождественная самой себе внутренняя форма. Число как некое индивидуальное тело. Каждое тело измеряется своей собственной мерой. Здесь невозможны стандартные меры[64]64
  См. Ахутин А. В. История принципов физического эксперимента (от античности до XVII в.). М. 1976. С. 38 и др.


[Закрыть]. Число не есть отношение величин, а есть неотделимое от данного образа (эйдоса) отношение целой вещи к своим частям, образующим гармоническую структуру. Каждая вещь имеет свою «единицу», и эти единицы различны и не могут быть сведены к единой. Каждый вид чисел не может быть сведён друг к другу или выведен из другого. Натуральные числа образуют особый класс чисел и, строго говоря, не являются подмножеством рациональных чисел. Это – числа особой природы. Более того, сами натуральные числа отнюдь не являются просто результатом повторения исходной единицы (числа «один») и отнюдь не представляют собой множество абстрактных, качественно тождественных меток, точек на прямой и т. п. Каждое натуральное число имеет свою внутреннюю форму, передаваемую особой фигурой («фигурные числа»). Числа, получаемые путём пересчёта отдельностей, и числа, которые получаются из измерения величин, – принципиально различны.

Так называемое «школьное» понимание числа затушевывает эту исходную содержательную диалогичность современного математического знания и поэтому рассматривает трудности «протаскивания» ребёнка через нововременные представления о числе, реальное сопротивление мышления ребёнка этому «протаскиванию» как частные, связанные с несовершенством методики преподавания.

Представляется, что упорное нежелание ребёнка отказаться от восприятия «по Пиаже» и до конца, сжигая за собой все мосты, перейти на нововрёменные позиции коренится гораздо глубже.

Интуитивно удерживая в себе дошкольника, ребёнок, сопротивляясь нововременному знанию, вытесняющему (вспомним это важное понятие Пиаже) дошкольное видение, на самом деле приближается к современному научному знанию, к знанию XX века, в котором понятие числа, например, формируется на границе конструктивистской, интуитивистской, формалистской математики, в споре различных школ и «математик», в неустранимом диалоге взаимодополнительных видений числа: число как объект счёта – и как предмет интуитивного всматривания, понимания; натуральное число как рядоположенное другим числовым множеством – и как особое, «нерукотворное» явление, объект особой природы[65]65
  См. Клайн М. Математика. Утрата определённости. М., 1984. Т. 2. С. 269.


[Закрыть]…

Делая остановку в таких «точках удивления» (на которых спотыкается логика восхождения, стремящаяся уложить мышление в прокрустово ложе единственной логики – логики нового времени), учебный диалог делает явным для учителя и ребёнка те иные возможности понимания математики и мира в целом, с которыми метод «восхождения» тайно борется.

Если обучение по типу «восхождения» рассматривает не укладывающиеся в его рамки формы детского разумения как то, что должно быть преодолено, вытеснено, преобразовано[66]66
  «Знание их нужно, как знание врагов» (Выготский Л. С. Собр. Соч. М. 1952. Т. 2. С. 198).


[Закрыть], то учебный диалог вскрывает в борении ученика и учебного предмета внутренний, глубинный спор двух, по крайней мере, логик: логики нового времени и логики античного мышления.

Стратегия поведения учителя на таких уроках состоит в рассмотрении этих логических подходов как одновременных и взаимодополнительных, не снимающих друг друга в некоторой единой понятийной системе[67]67
  В связи с этим см. о соотношении «лево-» и «правополушарной» логики в книге Ротенберг В. С., Бондаренко С. М. Мозг. Обучение. Здоровье. М. 1989.


[Закрыть]. Не идея обобщения, а идея общения пронизывает уроки-диалоги. Точно так же и идея общения разных «математик» пронизывает современное математическое мышление, в отличие от мышления нового времени, стремившегося создать единую теорию, «обобщив» все факты, добытые в античности, средневековье и т. д.