Текст книги "История науки"

Критический рационализм Карла Поппера

Процесс научного познания мира пыталась осмыслить философия КРИТИЧЕСКОГО РАЦИОНАЛИЗМА, виднейшим представителем которой был Карл Поппер (1902–1994).

Карл Поппер родился в Вене, изучал математику и теоретическую физику в Венском университете (где, как мы помним, сформировался «Венский кружок»). Помимо математики и физики он увлекался философией, психологией, и многими другими вещами. Когда над Австрией нависла угроза захвата фашистской Германией, Поппер эмигрировал в Новую Зеландию, где преподавал в Университете. После Второй мировой войны он перебрался в Англию. За заслуги в области философии английская королева пожаловала Попперу дворянство, и он стал именоваться сэром Карлом.

Философия, развивавшаяся К. Поппером, получила название «критического рационализма».

В отличии от большинства позитивистов Карл Поппер не сомневался в том, что истина существует и поэтому бывают концепции истинные, а бывают и ложные. Однако наши знания о том, какая из них истинна, а какая ложна, являются сугубо предположительными. Ибо один и тот же набор фактов может быть объяснен несколькими разными способами.

Поппер считал, что истинность той или иной концепции никаким конечным набором фактов доказать нельзя. Но зато можно доказать её ложность. И что сущность научно-исследовательского процесса заключается в опровержении ложных теорий. Когда опровергнуты все возможные объяснения, кроме одного, оставшееся можно (разумеется, с оговорками) считать истинным.

Карл Поппер понимал, что существуют утверждения, опровергнуть которые невозможно. Так, невозможно опровергнуть утверждение о Бытии или Небытии Божием. К числу неопровергаемых утверждений Поппер относил и такие глобальные концепции, как дарвинизм, марксизм, фрейдизм. По мнению К. Поппера такие концепции следует вынести за пределы науки и рассматривать, как предмет Веры.

Карл Поппер считал научными только такие концепции, для которых можно указать факт, который (если бы в действительности имел место) мог бы эту концепцию опровергнуть. Этот критерий научности концепции он назвал ПРИНЦИПОМ ФАЛЬСИФИКАЦИОНИЗМА.

С точки зрения Поппера научность и истинность концепция – это две совершенно разные вещи. Ложная концепция может быть научной, если понятно, как её опровергнуть, а ненаучная концепция может оказаться истинной. «Меня интересовал не вопрос о том, «когда теория истинна?» и не вопрос «Когда теория приемлема?». Я поставил перед собой другую проблему. Я хотел провести различие между наукой и псевдонаукой, прекрасно зная, что наука часто ошибается и что псевдонаука может случайно натолкнуться на истину», – писал Поппер.

До работ Поппера главной задачей исследователя, выдвинувшего какую-то теоретическую концепцию, считался поиск подтверждающих её фактов. Работы Поппера обратили внимание исследователей на другую задачу: опровержение альтернативных концепций. С точки зрения Поппера отрицательный результат в науке оказывался ценнее положительного.

Впрочем, ещё до Поппера сходную точку зрения высказал легендарный чекист майор Пронин. «Ты совершил ошибку, которую допускает большинство следователей. Достаточно тебе кого-нибудь заподозрить, как ты во что бы то ни стало пытаешься доказать, что именно этот человек и совершил преступление. Это – неверный и скользкий путь. Людей следует оправдывать, а не обвинять. Ты постарайся доказать, что человек не совершил преступления, и вот если при таком намерении ты не сумеешь опровергнуть улики, значит, человек действительно виноват.» (Л. Овалов. «Голубой ангел»).

Всегда ли факт, противоречащий теории, эту теорию опровергает? Отнюдь не всегда. В некоторых случаях такой факт просто ограничивает область применимости теории. Так, для тел, скорости которых близки к скорости света, положения Ньютоновской механики не выполняются. Значит ли это, что такой факт опровергает механику Ньютона? Разумеется, нет. Он просто уточняет область её применимости.

Опровергает ли взлет ракеты закон Всемирного тяготения? Ведь, согласно этому закону, все тела должны падать на Землю? Разумеется, не опровергает. Он говорит лишь о том, что движение тела подчиняется многим законам и влияние некоторых из них оказывается большим, чем влияние закона Всемирного тяготения.

Бывает и так, что отрицательный результат опровергает не саму концепцию, а неудачную форму её построения или обоснования. Так, в 1816 году врач Уильям Праут (1785–1750) выдвинул гипотезу о том, что атомы сложены из отдельных кирпичиков, каждый из которых подобен атому водорода. Из этой гипотезы следовал вывод о том, что отношение атомного веса любого атома к атомному весу водорода всегда будет целым числом. Однако в конце 1820-х годов Йенс Якоб Берцелиус (1779–1848) показал, что вес хлора в 35.4 раза больше атомов водорода. Казалось бы, красивая концепция была опровергнута. Но в XX веке стало понятным, что концепция кирпичиков сама по себе была правильной. Но существует два сорта кирпичиков с почти одинаковой массой: протоны и нейтроны. И хлор является смесью двух изотопов, у которых числа протонов одинаково, а число нейтронов – нет.

Кроме того, отдельного факта, противоречащего концепции, во многих случаев недостаточно для её опровержения. Этот факт может быть результатом случайной ошибки, или случайного стечения обстоятельств.

Вслед за первым русским философом Григорием Саввичем Сковородой (1722–1794) Карл Поппер сформулировал представление о трех мирах, в которых живет человек: мире природных объектов, мире собственных переживаний и мире культуры. И считал, что наука имеет дело только с первым миром. Поппер отказывал истории, социологии и гуманитарным наукам в праве считаться научными дисциплинами, ибо для теоретических концепций, возникающих в этих областях, невозможно указать факты, которые могли бы их опровергнуть. Он считал, что в истории нет достоверно установленных законов и поэтому предсказывать будущее невозможно. В этом он принципиально расходился с марксистами.

В сравнении со своими предшественниками Карл Поппер дал более глубокий анализ механизмов развития науки. Он отбросил традиционные позитивистские представления о том, что задача научных концепций заключается только в том, чтобы следовать за фактами и пассивно их описывать. Теоретики не должны следовать за экспериментаторами и наблюдателями, они должны их опережать. Поппер отстаивал правомерность и даже необходимость формулировки нескольких альтернативных объяснений вновь обнаруженным фактам. Эти объяснения, сформулированные в виде концепций, представляют собой закономерный этап научно-исследовательского процесса.

Вопросы:

**. Сомневался ли К. Поппер в существовании объективной истины?

**. В чем заключается суть принципа фальсификационизма?

Вопросы для любителей подумать:

**. С какими философами и исследователями мог в молодости общаться К. Поппер?

**. Отрицал ли К. Поппер ненаучные способы познания мира?

**. Согласны ли Вы с мнением К. Поппера о том, что научную теорию доказать нельзя, но однозначно опровергнуть можно?

**. Как по-Вашему, всегда ли опровержение теории является однозначным?

**. Согласны ли Вы с мнением К. Поппера о том, что в истории нет твердо установленных законов?

Постмодернизм

Важнейшим явлением культурной жизни второй половины XX столетия стал ПОСТМОДЕРНИЗМ.

Термин «постмодернизм» придумал в 1917 году немецкий литератор Рудольф Панвиц (1881–1969) в работе «Кризис европейской цивилизации». Рассуждения на эту тему были в большой моде в первой половине XX века.

В 1969 году появляется скандальная статья литературного критика Лесли Фидлера (1917–2003) «Пересекайте границу, засыпайте рвы», в которой говорилось о том, что элитарная и массовая культура должны не фыркать друг на друга, а жить дружно. А в перспективе разница между ними должна вообще исчезнуть. Свои представления о слиянии элитарной и массовой культуры Л. Фидлер подкрепил публикацией своей статьи не где нибудь, а в журнале «Плейбой».

Сходные идеи о полезности мирного сосуществования всего со всем высказывались в 1970-х годах в самых разных сферах: в архитектуре (Чарльз Дженкс (род. 1939)), в богословии (Харви Кокс (род. 1929)) и т. д. А на философском уровне они были обобщены в работах выдающегося французского философа Жана Франсуа Лиотара (1924–1998).

В молодости Ж. Ф. Лиотар был троцкистом, но затем разочаровался в революционных идеях. И это разочарование как-то само собой распространилось на все большие идеи вообще. Современную эпоху Ж. Ф. Лиотар рассматривал, как эпоху краха «метанарративов», то есть крупных проектов будущего мира. Был проект Христианства, был проект Возрождения, был проект Просвещения, был проект Коммунизма. Все они ушли в прошлое. И поэтому разумному человеку следует не служить обветшавшим идеям, а жить, как ему нравится. А люди разные. Поэтому нужно быть терпимыми друг к другу и не навязывать свое мнение. По этому поводу получил распространение даже специальный термин «толерантность», обозначающий вежливое равнодушие. Если человеку нравится верить в леших и русалок – это его законное право. В конце концов, чем эта вера хуже скучного научного мировоззрения? Истинна та идея, которая находит поклонников (читай – покупателей). А на вкус и цвет товарищей нет.

Иными словами: «Да здравствует всеядность! И равнодушие к поиску истины!»

Все это очень мило и демократично. Если, разумеется, оставить в стороне вопрос о том, возможно ли вообще появление крупных идей и культурных ценностей вне масштабных Проектов.

С точки зрения истории науки существенно, что постмодернизм стер границу между мнением, гипотезой и теорией. Для исследователей в области естественных наук столь радикальная ломка была совершенно неприемлема. Они привыкли к тому, что любое утверждение нужно как-то обосновать. И привыкли оценивать степень этой обоснованности. Но в гуманитарных науках постмодернизм был встречен благожелательно.

Постмодернизм мог быть полезен для науки легализацией некоторых чрезмерно оригинальных и малообоснованных идей, которые людьми науки ранее просто не рассматривались. И, тем самым, расширением круга альтернатив, в рамках которого ведется поиск. Но в целом подмена теорий мнениями и индивидуальным вкусом превращает науку в какую-то другую форму общественного сознания.

Справедливости ради следует отметить, что ещё до появления постмодернизма исчерпывающую критику его основных идей дал выдающийся советский философ и искусствовед Михаил Александрович Лифшиц (1905–1983).

Вопросы:

**. Как Вы понимаете, в чем заключаются основные идеи Постмодернизма?

Вопросы для любителей подумать:

**. Как по-Вашему, почему постмодернизм начал бурно развиваться именно в 1970-х годах.

**. Как по-Вашему, почему постмодернизм оказал на гуманитарные науки большее влияние, чем на естественные?

**. Как по-Вашему, может ли человек в принципе быть терпимым ко всему, чему угодно?

**. Поспорили как то Ваня с Петей из рассказа В. А. Пьецуха «Новый завод». Петя считал, что нужно формировать толерантность к представителям иных народов и культур, а Ваня предлагал воскресить советские традиции Дружбы Народов. Какие аргументы в пользу своей точки зрения мог привести каждый из мальчиков? Чья точка зрения представляется Вам более правильной?

**. Какие работы М. А. Лифшица Вы читали? Понравились ли они Вам?

**. Как по-Вашему, почему постмодернизм начал бурно развиваться именно в 1970-х годах.

**. Как по-Вашему, почему постмодернизм оказал на гуманитарные науки большее влияние, чем на естественные?

**. Как по-Вашему, может ли человек в принципе быть терпимым ко всему, чему угодно?

**. Поспорили как то Ваня с Петей из рассказа В. А. Пьецуха «Новый завод». Петя считал, что нужно формировать толерантность к представителям иных народов и культур, а Ваня предлагал воскресить советские традиции Дружбы Народов. Какие аргументы в пользу своей точки зрения мог привести каждый из мальчиков? Чья точка зрения представляется Вам более правильной?

**. Какие работы М. А. Лифшица Вы читали? Понравились ли они Вам?

Часть V
История научных проблем: XVII–XIX века

Академии наук

Важное значение для развитие науки имело создание национальных научных обществ – Академий наук. Членами Академий выбираются выдающиеся исследователи, внесшие значительный вклад в ту или иную область науки.

Появление Академий наук повысило социальный статус исследователей, интенсифицировало общение межу ними и способствовало развитию исследовательской работы.

В истории существовало два вида Академий: Академии, члены которых получают жалование от государства или других структур, и Академии, члены которых не получают жалования и сами платят членские взносы. Но зато они имеют право подписываться: Джон Смит, член Лондонского Королевского общества, эсквайр.

Первая Академия наук была создана в 1603 году в Италии. Она получила название Академия делла Линчеи (Академия Рысеглазых). Ибо взор настоящего исследователя не уступает по своей остроте взору рыси. Членом этой Академии был Великий физик Галилео Галилей (1564–1642).

В 1651 году Академия Делла Линчеи прекратила свое существование. Она была воссоздана в Италии в 1847 году.

В 1668 году британские джентльмены, увлекающиеся естественными науками, создают Лондонское Королевское общество. Его неформальным лидером становится Великий физик и химик Роберт Бойль (1627–1691). А затем его сменяет другой Великий физик Исаак Ньютон (1642–1727).

В настоящее время Лондонское Королевское общество является одной из самых авторитетных научных организаций в мире. Его члены не получают зарплаты за свое членство и, более того, платят из своего кармана членские взносы. Престиж члена Лондонского Королевского общества очень высок.

При создании общества его члены сформулировали некоторые негласные правило. Одно из правил заключалось в том, что, докладывая на заседания Общества, его члены должны подкреплять фактами все свои утверждения. Такими фактами считались или результаты наблюдений или результаты экспериментов.

Очень существенно то, что членами Лондонского Королевского общества могут состоять не только профессиональные исследователи, получающие жалование за свою исследовательскую работу, но и любители, для которых научные исследования – это хобби. Иногда такие исследователи-любители делают выдающийся вклад в науку. Вспомним, например, Чарльза Дарвина (1809–1882).

Активное участие любителей в научно-исследовательской работе сделало английскую науку более открытой для новых оригинальных идей.

В 1666 году создается Французская академия наук, которая построена по другому принципу: её члены получают пожизненное жалование.

В 1700 году создается Прусская (в дальнейшем – Берлинская) Академия наук, в 1725 году – Санкт-Петербургская, в 1739 году – Шведская, в 1759 году – Баварская, в 1780 году – Американская Академия наук, в 1863 году – Национальная Академия наук США. В 1936 году Римско-Католическая церковь создает Папскую Академию наук, члены которой занимаются не богословием, а вполне светскими исследованиями.

В настоящее время Академии наук существуют почти во всех цивилизованных странах.

Помимо Академий, в которые входят выдающиеся исследователи, в мире существуют и Академии, в которые входят лучшие специалисты в той или иной области, а также Академии, в которые входят деятели искусства.

Помимо академий, в мире существует большое число научных обществ, существующих на членские взносы своих членов. Такие общества заслушивают доклады своих членов, обсуждают научные проблемы, в ряде случаев издают научные журналы и даже финансируют реализацию не слишком затратных научных проектов. К числу таких обществ относится, например, Московское общество испытателей природы, основанное в 1805 году.

Вопросы:

**. Чем принципиально отличаются Лондонское Королевское общество и Российская академия наук?

**. Какие академии, возникшие в XVII веке, Вы можете назвать?

Вопросы для любителей подумать:

**. Чем принципиально отличается Лондонское Королевское общество и Московское общество испытателей природы?

**. Как по-Вашему, какая Академия более полезна для развития науки: Академия, где академикам платят большое жалование, или Академия, в которой академики не получают жалование, а платят членские взносы?

**. «Парнас превратить в Департамент – прельстительное дело, да только сразу заполнится свиньями», – думала русская императрица Екатерина II в романе Мориса Давыдовича Симашко (1924–2000) «Семирамида». Как Вы понимаете эту мысль императрицы? Какое она имеет отношение к теме, обсуждаемой в настоящем параграфе? Согласны ли Вы с этой мыслью?

Математика. Числа и операции над ними

Математика начала развиваться очень давно. Первоначально математика была наукой о ЧИСЛАХ и ОПЕРАЦИЯХ с ними, зачем начала изучать различные ФИГУРЫ и их свойства. В дальнейшем предметом её изучения стали ФУНКЦИИ – то есть, зависимости одних величин от других. С конца XIX века основным предметом изучения математики являются МНОЖЕСТВА, то есть, совокупности большого (а иногда и бесконечного) числа объектов произвольной природы.

Исторически первым понятием математики было понятие НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА. Оно возникло из осознания того факта, что три камня и три кошки имеют между собой нечто общее. И это общее можно назвать ЧИСЛОМ три. Кто и когда первым это понял – неизвестно, но этот человек был, несомненно, гениальным математиком и философом.

Следующим этапом на пути развития математики стало осознание того факта, что одно число может быть больше другого и существуют не только числа, но и соотношения между числами. Впрочем, возможно, что этот факт был осознан раньше, чем появилось понятие число. А затем появились ОПЕРАЦИИ НАД ЧИСЛАМИ: операции СЛОЖЕНИЯ, ВЫЧИТАНИЯ, УМНОЖЕНИЯ и ДЕЛЕНИЯ.

Где-то около 500 года до нашей эры жившие на территории современной Италии этруски изобрели запись чисел с помощью РИМСКИХ ЦИФР. Затем этот прием переняли римляне.

Около 500 года уже нашей эры неизвестный индийский математик изобрел современную запись чисел с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. В дальнейшем эти цифры были названы арабскими. В первой половине 9 века благодаря работам великого персидского математика Аль-Хорезми (783–850) арабские цифры получили распространение во всем мусульманском мире. В конце X века монах Герберт Аврилакский (946 – 1003) (рукописи которого приезжал изучать в Москву профессор Воланд) внедрил арабские цифры в Европе.

Аль-Хорезми переосмыслил задачи математики. В своей «Книге о восстановлении и противопоставлении» он впервые начал изучать общие свойства математических операций. В этой книге впервые появляется слово АЛЬ-ДЖАБР, которое в дальнейшем превратится в АЛГЕБРУ. Значительно позже от имени Аль-Хорезми образовался термин АЛГОРИТМ (правило для вычисления чего-бы то ни было).

Начиная с XV века в Европе начали формироваться современные математическое обозначения. В 1489 году Иоганн Видман (1460–1505) предложил знаки «плюс» и «минус»; в 1557 году Роберт Рекорд (1510–1558) предложил знак равенства (=); в 1626 году Альбер Жирар (1595–1632) предложил использовать круглые скобки; в 1631 году Уильям Отред (1575–1660) предложил знаки умножения и деления; в 1525 году Кристоф Рудольф (1499–1545) предложил знак извлечения квадратного корня.

Значки «больше» и «меньше» впервые появились в работах Томаса Хэрриота (1560–1631), опубликованных после его смерти, а значки «больше или равно» и «меньше или равно» ввел в 1670 году Джон Валлис (1616–1703).

Неизвестно, кто и когда предложил записывать буквами неизвестные величины, но известно, что первым, кто начал обозначать буквами и известные величины стал Франсуа Виет (1540–1603). Ему принадлежит и термин «КОЭФФИЦИЕНТ».

Современный вид алгебраические обозначения приобрели в работах Рене Декарта (1596–1650). Он начал обозначать неизвестные величины буквами x, y, z и т. д., а известные a, b, c.

В VI веке до нашей эры в Древней Греции в школе Пифагора (570–495 до н. э.) возникла идея аксиоматического построения математики. В основу математики брали несколько самоочевидных АКСИОМ и на их основе последовательно доказывали ТЕОРЕМЫ. В дальнейшем Евклид (365–300 до н. э.) построил на этой основе стройное здание ГЕОМЕТРИИ.

Одной из первых теорем, доказанных школой Пифагора, была теорема о том, что площадь квадрата, стороной которого является гипотенуза прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на двух его катетах. Эта теорема получила название ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА. Впрочем, историки показали, что идея, лежащая в основе этой теоремы, была известна ещё в XVIII веке до нашей эры в Вавилоне.

В середине VI века до нашей эры вскоре после появления теоремы Пифагора Гиппас (574–522 до н. э.) доказал, что катет и гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника нельзя точно измерить в одних и тех же единицах. Это доказательство вызвало у учеников Пифагора потрясение. Ибо противоречило представлениям о мировой гармонии. Существует легенда, что они просто убили Гиппаса и дали клятву никому не рассказывать об этом открытии.

Из факта несоизмеримости катета и гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника выросло в дальнейшим понятие ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. К этому понятию ещё до Гиппаса подошел индийский математик Манава (750–690 до н. э.).

В Средние века сформировался ряд важных понятий математики. Так, было введено понятие НУЛЯ и ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. Введение этого понятия позволило сделать операцию вычитания универсальной. Из любого числа можно было вычесть любое, в результате чего получалось строго определенное третье число. Было введено и понятие ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ (или ДРОБЕЙ). Понятие дробных числе позволило сделать универсальной операцию деления (за исключением деления на ноль). По-видимому, эти понятия сперва возникли в Индии, затем пришли в Китай, затем – на Арабский Восток, и лишь затем в Европу.

Совокупность чисел, которые могут получаться в результате деления одного целого числа на другое, была названа РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ.

Потребность решить любое квадратное уравнение привело к появлению новых понятий. Как мы помним, корнями квадратного уравнения x² + px + q = 0 являются числа – p/2 + корень квадратный из (p²/4 – q) и – p/2 – корень квадратный из (p²/4 – q). Но при извлечении квадратного корня стали появляться несоизмеримые числа, подобные тем, которые когда-то обнаружил Гиппас. Эти числа стали называться ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ. Оказалось также, что при решении квадратного уравнения под квадратным корнем может стоять и отрицательное число. Это заставило ввести условные числа, которые значительно позже получили название МНИМЫХ. Мнимые числа была противопоставлены ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ ЧИСЛАМ.

Решения квадратных уравнений во многих случаях представляли собою сумму действительного и мнимого числа. Такие суммы получили название КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

Комплексные числа впервые появились в 1541 году в работе итальянского математика Джироламо Кардано (1501–1576). А в 1771 году Леонард Эйлер (1707–1783) предложил понятие МНИМОЙ ЕДИНИЦЫ, которую он обозначил буквой i. При возведении мнимой единицы в квадрат получалось число -1. Сам термин «комплексные числа» ввел в 1803 году французский математик, государственный и военный деятель Лазар Карно (1753–1823).

Выдающийся философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) назвал такие числа «Уродцами из мира идей».

В 1844 году французский математик Жозеф Лиувилль (1809–1882) показал, что могут существовать и ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА, которые в принципе не могут быть решениями каких-либо степенных уравнений. В 1873 году Шарль Эрмит (1822–1901) доказал, что таким числом является число «е» (основание натуральных логарифмов), а в 1882 году Фердинанд фон Линдеман (1852–1939) доказал трансцендентность числа «пи» (отношение длины окружности к её радиусу).

Совокупность рациональных и иррациональных чисел была названа АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ЧИСЛАМИ, совокупность алгебраических и трансцендентных чисел – ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ или ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ.

В начале 1870-х годов три исследователя практически одновременно попытались предложить общие правила для построения множества действительных чисел. В основе этих правил легли представления о БЕСКОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ ЧИСЕЛ.

Впервые такие последовательности стал рассматривать английский математик Джон Валлис (1616–1703) в своей книге «Арифметика бесконечного» (1655).

Последовательность чисел – это набор чисел, каждое из которых имеет свой НОМЕР. Простейшей последовательностью является ряд натуральных чисел, в котором номер числа совпадает с его значением.

В отличии от конечной последовательности бесконечная последовательность определяется не путем перечисления входящих в неё чисел, а путем ОПИСАНИЯ ОПЕРАЦИИ, с помощью которой из любой конечной последовательности чисел можно получать новые числа с более высокими номерами.

Джон Валлис ввел понятие ПРЕДЕЛА бесконечной последовательности и предложил понятие суммы бесконечного ряда чисел. Предел последовательности – это такое число, к которому члены последовательности, по мере роста их номеров приближаются на сколь угодно близкое расстояния и за пределы этого расстояния более не уходят.

Строгое определение предела последовательности дается в любом учебнике математики и повторять его, наверное, нет смысла.

В дальнейшем было доказано, что существуют сходящиеся последовательности алгебраических чисел, предел которых является не алгебраическим, а трансцендентным числом. То есть для обоснования математического анализа нужно выйти за пределы алгебраических чисел и рассматривать действительные числа в целом.

В первой половине 1870-х годов три немецких математика независимо друг от друга предлагают три разных определения множества действительных чисел.

По Георгу Кантору (1845–1918) действительные числа – это множество пределов множества сходящихся последовательностей алгебраических чисел. По Карлу Вейерштрассу (1815–1897) множество действительных чисел в интервале от нуля до единицы – это множество десятичных дробей, образуемых всеми возможными бесконечными последовательностями однозначных натуральных чисел. И, наконец, по Юлиусу Дедекинду (1831–1916) – это множество границ, получающихся при разбиении множества алгебраических чисел на два подмножества, таких, что любое число из первого подмножества больше любого числа из второго множества.

Ю. Дедекинд ввел понятия ЧИСЛОВОГО МНОЖЕСТВА, ОГРАНИЧЕННОГО СНИЗУ, и ЧИСЛОВОГО МНОЖЕСТВА, ОГРАНИЧЕННОГО СВЕРХУ. Для числового множества, ограниченного снизу, можно назвать число, такое, что все члены множества будут больше него. Он постулировал, что для каждого числового множества, ограниченного снизу, существует наибольшее число, такое, что все члены множества будут больше него. Такое число Дедекинд назвал НИЖНЕЙ ГРАНЬЮ. Нижняя грань – это не обязательно алгебраическое число, оно может быть и трансцендентным.

Аналогично было введено понятия ЧИСЛОВОГО МНОЖЕСТВА, ОГРАНИЧЕННОГО СВЕРХУ, и его ВЕРХНЕЙ ГРАНИ.

Введение понятия иррациональных чисел позволило обозначить числом длину любого отрезка прямой, а введение понятия трансцендентных чисел – длину отрезка любой кривой. Кроме того, введение трансцендентных чисел поставило теорию пределов на прочную логическую основу.

В 1891 году итальянский математик Джузеппе Пеано (1858–1932) построил опирающуюся на теорию множеств строгую теорию натуральных чисел. В её основу он положил аксиоматический метод, широко применявшийся в геометрии. Пеано сформулировал пять аксиом множества натуральных чисел и на основании этих аксиом построил теорию.

5 аксиом Пеано выглядят следующим образом:

1. Единица является натуральным числом.

2. За каждым натуральным числом непосредственно следует другое натуральное число.

3. Единица не следует ни за каким натуральным числом.

4. Если натуральное число k непосредственно следует за натуральными числами m и п, то m и п тождественны.

5. Если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа k вытекает, что оно следует для непосредственно следующего за ним натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Обобщались и представления о комплексных числах. В 1843 году ирландский математик Уильям Гамильтон (1805–1865) ввел представления о КВАРТЕРИОНАХ: числах вида a + bi + cj + dk, где i, j, k – условные числа, квадраты которых равны – 1. В дальнейшем он интерпретировал а как обычное число, а сумму bi + cj + dk как точку в трехмерном пространстве. В 1847 году Гамильтон предложил называть число а СКАЛЯРОМ, а сумму bi + cj + dk – ВЕКТОРОМ и ввел операции над векторами: сложение, умножение на целое число, скалярное и векторное умножение.

В 1880-х годах физики-теоретики Джозайя Гиббс (1839–1903) и Оливер Хевисайд (1850–1925) разработали важный частный случай квартерионного анализа Гамильтона и создали векторный анализ. Этот анализ оказался очень удобным для использования в самых разных областях физики. После того, как в 1880-х годах Оливер Хевисайд (1850–1925) описал теорию электромагнитного поля в простой векторной форме, векторный анализ стал важнейшим инструментом в физике.

В 1750 году математик Габриэль Крамер (1704–1752) попытался разработать общее правило для решения системы из произвольного числа линейных уравнений с произвольным числом неизвестных. Для решения таких систем Крамер предложил составлять из их коэффициентов по определенным правилам МАТРИЦЫ и вычислять ОПРЕДЕЛИТЕЛИ этих матриц. Правда, самого слова определитель Крамер не использовал – его ввел К. Гаусс (1777–1855) в 1801 году.

Матрица – это набор действительных чисел, каждое из которых ставится в соответствии двум целым числам (индексам) i и j, меняющихся от единицы до каких-то конечных целых чисел (для i и j не обязательно одинаковых). А определитель – это поставленное в соответствии к данной матрице число, вычисляемое по определенным правилам.

В середине XIX века матрицы исследовали Уильям Гамильтон (1805–1865) и Артур Кэли (1821–1895).

В 1900 году итальянские математики Грегорио Риччи-Кубастро (1853–1925) и Туллио Леви-Чивитта (1873–1941) ввел понятие ТЕНЗОРА, обобщающее понятия числа, вектора, матрицы и т. д. Тензор – это набор чисел, каждое из которых ставится в соответствие набору произвольного числа натуральных чисел. Число таких натуральных чисел было названо порядком тензора. Скаляр – это тензор нулевого порядка, вектор – тензор первого, а матрица – тензор второго порядка. Тензоры могут иметь и более высокие порядки.