Текст книги "История науки"

НЕОДНОРОРОДНОЕ СЖАТИЕ – 3 предполагает, что в каких-то точках функция f_i(p_i – p_0i) является «негладкой». При этом в образующемся геометрическом теле могут появиться дополнительные углы, ребра и т. д. А в случае НЕОДНОРОДНОГО СЖАТИЯ – 4 негладкой является функция многих переменных, о которой мы говорили при рассмотрении неоднородного сжатия – 2.

Есть и ещё два отражения, при котором одно геометрическое тело может превратиться в другое. Для того, чтобы в них разобраться, нужно ввести новое понятие – РАЗРЕЗ. Разрез геометрического тела размерности m – это геометрическое тело размерности m-1, все точки которого принадлежат исходному геометрическому телу и хотя бы некоторые из них для него являются внутренними. Разрезом может быть точка на кривой линии или линия внутри прямоугольника. В последнем случае не принципиально, соприкасается эта линия со стороной прямоугольника или нет.

Геометрическое тело можно раздвинуть по разрезу, или, напротив, слить две границы, превратив их в разрез. В первом случае точки разреза превращаются в граничные точки исходного геометрического тела, во втором случае некоторые граничные точки искомого тела превращаются в точки разреза. Первую операцию можно назвать РАСТАСКИВАНИЕМ ПО РАЗРЕЗУ, вторую – СЛИЯНИЕМ ГРАНИЦ. Вообще говоря, взаимного однозначного отражения точек при этом не получается. При растаскивании одной точке разреза ставятся в соответствие две точки границы, а при слиянии двум точкам границы ставится в соответствие одна точка разреза.

Несколько преобразований геометрических тел могут происходить последовательно.

Ф. Клейн разделил геометрию на несколько разделов так, что в рамках каждого из разделов изучаются свойства, остающиеся неизменными при определенных преобразованиях. Так, ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ изучает свойства геометрических тел, остающиеся неизменными при их переносе и повороте, главы евклидовой геометрии, посвященные подобным фигурам, изучают однородное сжатие-1. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ изучает свойства тел, остающиеся неизменными при проектировании этого тела на плоскость (однородное сжатие-2), ТОПОЛОГИЯ изучает свойства тел, остающиеся неизменными при их деформации (неоднородном сжатии 1, 2, 3, 4), но изменяющиеся при растаскивании по разрезу или слиянии границ…

В 1899 году математик Давид Гильберт (1862–1943) предложил уточнить понятия равенства геометрических тел.

Пусть у нас есть два отрезка прямых одинаковой длины, но один нарисован наверху страницы, а другой – внизу. Кроме того, первый отрезок направлен горизонтально, а второй – вертикально. Равны ли эти отрезки? С точки зрения традиционной геометрии равны. Хотя и отличаются по месторасположению и направлению.

Д. Гильберт предложил считать равными только такие геометрические тела, которые полностью совпадают друг с другом, а тела, равные по размерам, но отличающиеся по расположению в пространстве считать не равными, а КОНГРУЕНТНЫМИ. Различение понятий равенства и конгруентности устраняет путаницу при доказательстве теорем и, несомненно, важно для теоретической математики.

Понятие конгруентности имеет смысл лишь по отношению к тем преобразованиям, которым подвергается тело. Так, окружность и эллипс неконгруенты с точки зрения переноса, поворота и однородного сжатия -1 и конгруенты с точки зрения однородного сжатия – 2, 3, 4, обеих неоднородных сжатий, растаскивания по разрезу и слияния границ.

В СССР была предпринята ввести понятия конгруентности в школьные программы по математике. Однако у учеников возникли большие трудности и от этого пришлось отказаться.

В середине XIX века начала формироваться ТОПОЛОГИЯ – раздел геометрии, изучающий общие свойства тел, сохраняющиеся при их деформации, но без растаскивания по разрезу и слияния границ. Этот термин ввел в 1847 году немецкий математик Иоганн Листинг (1808–1882). Топологию не интересуют ни размеры, ни форма геометрических тел, её интересует единственное свойство – сохранение непрерывности при деформациях без разрыва и склеивания. С точки зрения топологии бублик с дыркой посредине и кружка с кольцевой ручкой конгруентны.

В некотором смысле можно считать, что топология изучает непрерывность в чистом виде и пытается создать топологическую классификацию геометрических тел, основанную на этом свойстве.

В середине 1730-х годов немецкий математик Леонард Эйлер (1707–1783) заинтересовался задачей о семи кенигсбергских мостах. В городе Кенигсберге на реке стоит остров, связанный с берегами реки семью мостами. Можно ли пройти по каждому мосту только один раз и вернуться в исходную точку? Эйлер рассмотрел задачу в общем виде. Существует некоторое число точек, и некоторые пары точек можно связать линиями. Можно ли пройти по всем линиям однажды и вернуться в исходную точу? И при каких условиях? А при каких условиях можно пройти по всем линиям один раз без возвращения в исходную точку? Эйлер показал, что путешествие с возвратом в исходную точку возможно только в том случае, если из каждой точки выходит четное число линий. А обойти линии, не возвращаясь – лишь в том случае, если нечетное число линий выходит только из двух точек.

Л. Эйлер назвал исследованные им точки вершинами, а линии, их соединяющие ГРАФАМИ. И, тем самым, создал новое направление в математике – ТЕОРИЮ ГРАФОВ. В настоящее время это направление приобрело большое число приложений и активно развивается.

Вопросы:

**. В чем заключается вклад Евдокса Книдского и Евклида в геометрию?

**. В каком веке появились декартовы координаты?

**. Для чего нужна начертательная геометрия?

**. Сформулируйте определение геометрического тела?

**. Сформулируйте определение внутренней и граничной точки геометрического тела.

**. Что является оболочкой куба?

**. Можно ли считать геометрическим телом два несоприкасающихся круга?

**. В чем заключается Эрлангенская программа Ф. Клейна?

**. Чем отличаются понятия «равенства» и «конгруентности»?

Вопросы для любителей подумать:

**. Существуют ли в реальной действительности точки и линии?

**. Как по-Вашему, почему геометрия стала развиваться раньше алгебры?

**. Можно ли рассматривать в качестве геометрического тела два пересекающихся отрезка прямых?

**. Можно ли рассматривать в качестве геометрического тела две окружности, одна из которых полностью находится внутри другой и не соприкасается с ней?

**. Приведите доводы за и против введения понятия «конгруентность» в школьную программу по математике.

**. Одинаковы ли с точки зрения топологии отрезок и окружность?

**. Одинаковы ли с точки зрения топологии прямоугольник и окружность?

**. Попробуйте самостоятельно сформулировать условия топологической идентичности двух геометрических тел.

Как по-Вашему, можно ли после растаскивания круга по разрезу (отрезка кривой от центра к окружности) с помощью нескольких разных преобразований получить такой же круг? Как Вы будете действовать?

**. Как по-Вашему, можно ли рассматривать теорию графов, как раздел геометрии?

Математика. Математическая логика

Ещё до появления теории множеств возникла мысль о том, что математика может и должна работать не только с числами, но и с объектами другой природы. Эта мысль привела к появлению математической логики. Её создателями стали британский математики Джордж Буль (1815–1864) и Огастес де Морган (1806–1871).

Арифметика оперирует с числами, алгебра – с буквами, а математическая логика – с высказываниями и их комбинации. Каждому высказыванию можно поставить в соответствие два значения – «ИСТИННО» или «ЛОЖНО».

Комбинацию высказываний можно записывать в виде ЛОГИЧЕСКИХ ФОРМУЛ, в которые входят логические переменные (X₁…., X_n). Например:

высказывание «А» истинно только в том случае, если истинны одновременно и высказывание «X₁» и высказывание «X₂»;

высказывание «А» истинно только в том случае, если высказывание «X₁» истинно, а высказывание «X₂» ложно;

высказывание «А» ложно только в том случае, если и высказывание «X₁» и высказывание «X₂» истинны.

Формулы могут быть существенно более длинными и включать много переменных. Записываются логические формулы, разумеется, не словами, а специальными значками, которые предложил О. де Морган.

Подставляя вместо X₁ и X₂ их значения («ИСТИННО» или «ЛОЖНО»), мы можем вычислить значение высказывания «А».

В рамках математической логики сформулированы правила преобразования логических формул, позволяющие в ряде случаев их упрощать.

Язык математической логики оказался очень удобным для теории множеств. Ведь в этой теории нужно определять, относится ли элемент к данному множеству или нет.

В настоящее время математическая логика широко используется при составлении компьютерных программ. А первую логическую машину построил уже в 1869 году английский математик и экономист Стенли Джевонс (1835–1882).

В 1879 году Готлоб Фреге (1848–1925) в свое книге «Исчисление понятий» сформулировал систему аксиом математической логики.

Вопросы:

**. Сколько элементов имеет множество значений логических высказываний в классической математической логике?

**. Что такое «логическая формула»? Приведите пример логической формулы.

Вопросы для любителей подумать:

**. Можно ли множество значений логических высказываний рассматривать как группу в алгебраическом смысле? Что для этого нужно сделать?

Движение в природе и Исаак Ньютон

На рубеже XVII–XVIII веков резко меняется облик физики. Эти изменения были связаны с деятельностью Великого английского Ученого Исаака Ньютона (1643–1727). Однако предпосылки для революции в физике начали закладываться значительно раньше.

С очень древних времен в сознании людей прочно укоренился ряд предрассудков, которые, казалось бы, подтверждаются повседневными наблюдениям. Такими предрассудками были мнения о том, что

Существует абсолютное движение и абсолютный покой.

Пространство неодинаково в разных направлениях: существует абсолютный верх и абсолютный низ.

Тело движется только тогда, когда на него действует какая-то сила.

Тяжелое тело падает быстрее легкого.

Однако уже наблюдательные греки обратили внимание на то, что камень, брошенный человеком, продолжает свой полет, хотя сила человеческой руки на него уже не действует. Первым объяснением этого факта стала идея о том, что сила человеческой руки продолжает действовать на камень уже после того, как он полетел. Эта сила как-то сохранилась в камне.

Для такой силы, якобы сохраняющейся в брошенном теле, был введен особый термин термин ИМПЕТУС. Свое полное развитие концепция импетуса получила в работах французского исследователя Жана Буридана (1300–1358) (того самого, который придумал «буриданова осла»).

С точки современной механики импетус – это не сила, это величина, называемая КОЛИЧЕСТВОМ ДВИЖЕНИЯ (произведение массы на скорость). И сила, и количество движения – это векторные величины, однако сила всегда связана со взаимодействием тела с чем-то внешним, а количество движения – нет.

Однако между доньютоновским представлением об импетусе и современным представлением о количестве движения имеется принципиальная разница. Концепция импетуса предполагает существование абсолютного покоя и абсолютного движения. Благодаря работам И. Ньютона физика отказалась от этой точки зрения.

Брошенный камень не может лететь бесконечно: рано или поздно он останавливается. Такую остановку камня логично объясняли исчерпанием заключенного в нем импетуса. По мнению одних исследователей импетус исчерпывался самопроизвольно, по мнению других – в результате столкновения с другими телами и сопротивления среды, в которой камень двигался. Об этом много спорили и во времена Античности, и во времена Средневековья.

С точки зрения современной механики импетус (количество движения) не способен исчерпаться самопроизвольно. О чем справедливо гласит ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. Количество движения передается другим телам, с которыми сталкивается движущееся тело.

Для серьезного изучения движения требовалось его математическое описание.

Неизвестно, кто и когда первым ввел понятие СКОРОСТЬ, то есть отношение пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь пройден. Уже в XII веке арабский исследователь аль-Багдади (1080–1165) четко осознавал, что скорость тяжелого падающего тела все время возрастает и связывал это возрастание с каким-то постоянным воздействием на тело.

В середине XIV века английский исследователь Уильям Хейтсбери (1313–1372) сформулировал представления о РАВНОМЕРНОМ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ, О НЕРАВНОМЕРНОМ ДВИЖЕНИИ, о МГНОВЕННОЙ и СРЕДНЕЙ СКОРОСТЯХ и о РАВНОУСКОРЕННОМ ДВИЖЕНИИ (Хейтсбери называл его «равнопеременным»). По существу, Хейтсбери сформулировал понятийный аппарат кинематики что открыло путь для описания движения.

Почему лист падает медленно, а кусок железа – быстро? Этот факт Аристотель объяснил очень просто: потому, что кусок железа тяжелый, а лист – легкий. Долгие годы это объяснение считалось общепринятым. Однако в середине XVI века итальянский исследователь Джамбатиста Бенедетти (1530–1590) осознал, что маленький кусок железа падает столь же быстро, как и большой. Вначале он предположил, что быстрота падения определяется не абсолютным весом тела, а его удельным весом (весом единицы объема тела). Но к концу жизни Бенедетти показал, что на быстроту падения сильно влияет площадь поверхности тела и объяснил этот факт сопротивлением среды.

Развивая работы Бенедетти Галилео Галилей (1564–1642) высказал смелое предположение, что скорость падения тела ни от его веса, ни от его удельного веса вообще не зависит, а кажущаяся зависимость, которую наблюдают в опыте, объясняется всецело и исключительно сопротивлением воздуха. Для проверки своего предположения Галилей наблюдал падение тел в трубке, из которой был выкачан воздух. Оказалось, что в этих условиях все тела падают одинаково быстро, вне зависимости от их веса, удельного веса, площади поверхности и других параметров.

Накопление астрономических знаний привело к тому, что представления о существовании абсолютного верха и абсолютного низа постепенно исчезли, по крайней мере в среде интеллектуалов, интересующихся природой. Их место постепенно заменили представления о том, что тела способны притягиваться друг к другу. И именно притяжением тел к Земле и объясняется иллюзия существования абсолютного верха и абсолютного низа.

Мысль о том, что крупные тела притягиваются друг к другу, высказывалась задолго до Ньютона. Первым её, по-видимому, высказал Эпикур (341–270 до н. э.). А в начале XVII века выдающийся немецкий астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) говорил об этом вполне определенно. Более того, именно этим притяжением массивных тел друг к другу он объяснял вращение планет вокруг Солнца. По мнению Кеплера сила притяжения массивных тел убывает с увеличением расстояния, однако каких-либо конкретных формул Кеплер не предлагал.

Г. Галилей и И. Кеплер высказали ещё одну важную мысль о том, что тело, на которое не действуют другие тела, не обязательно будет находиться в состоянии покоя. Оно может и двигаться, но с постоянной скоростью. Способность тела, на которое не действуют другие тела, двигаться с постоянной скоростью, И. Кеплер назвал ИНЕРЦИЕЙ.

И. Кеплер сформулировал три закона движения планет вокруг Солнца. В дальнейшем стало ясно, что эти законы являются следствием более общих законов механики, сформулированным Исааком Ньютоном.

И. Кеплер занимался не только физикой и астрономией, но и астрологией. Свой интерес к этой области знания он достаточно цинично объяснил следующими словами: Конечно, эта астрология – глупая дочка, но, Боже мой, куда бы делась её мать высокомудрая астрономия, если бы у неё не было глупенькой дочки! Свет ведь ещё гораздо глупее и так глуп, что для пользы этой старой разумной матери глупая дочка должна болтать и лгать. И жалование математиков так ничтожно, что мать, наверно бы, голодала, если бы дочь ничего не зарабатывала.

Главная заслуга И. Ньютона заключается в том, что он сформулировал 3 ОСНОВНЫХ ЗАКОНА МЕХАНИКИ и ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ.

ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА гласит, что ВСЯКОЕ ТЕЛО, НА КОТОРОЕ НЕ ДЕЙСТВУЮТ ДРУГИЕ ТЕЛА, НАХОДИТСЯ В СОСТОЯНИИ ПОКОЯ ИЛИ РАВНОМЕРНОГО ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ (движения с постоянной скоростью).

Иными словами, принципиальной разницы между состоянием покоя и состоянием равномерного прямолинейного движения не существует.

Первый закон Ньютона опровергает традиционное представление о пространстве, как некоей субстанции, независимой от находящихся в нем тел. Согласно этому закону, бессмысленен вопрос о том, находимся ли мы все время в одной точке пространства или перемещается в нем с постоянной скоростью. Этот вопрос приобретает смысл лишь тогда, когда мы добавляем «относительно какой системы отсчета (какого тела)».

Таким образом, согласно первому закону Ньютона «ПРОСТРАНСТВО – ЭТО ВЗАИМООТНОШЕНИЕ ПО МЕНЬШЕЙ МЕРЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТЕЛАМИ».

ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА гласит, что УСКОРЕНИЕ (скорость изменения скорости) ПЕРЕМЕЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА, ПРОПОРЦИОНАЛЬНО СИЛЕ, С КОТОРОЙ НА ТЕЛО ДЕЙСТВУЮТ ДРУГИЕ ТЕЛА. Коэффициент пропорциональности между силой и ускорением И. Ньютон назвал МАССОЙ.

Второй закон вводит несколько новых понятий.

Во-первых, понятие СИЛЫ. Сила – это характеристика взаимодействия, имеющая свое количественное значение и направление в пространстве. В некоторых случаях силу можно измерить. Например, по величине растяжению пружинки динамометра. Или по числу гирек, которые могут уравновесить тяжелое тело на весах.

Во-вторых, понятие УСКОРЕНИЯ, которое тоже имеет свое количественное значение и направление. Ускорение легко измерить.

В-третьих, понятие МАССЫ. Это самое сложное понятие. Масса имеет только количественное значение, но не имеет направления. Выражаясь языком XIX века – масса не вектор, она скаляр. И, что самое неприятное, массу невозможно измерить. Легко измерить ВЕС, то есть силу, с которой тело определенной массы давит на чашку весов. Или силу, с которой одно тело притягивается другим. А пропорциональность веса и массы вытекает из другого закона, введенного Ньютоном: ЗАКОНА ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ.

ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА гласит, что тела не просто действуют одно на другое, тела ВЗАИМОДЕЙСТВУЮТ. И что сила, с которой тело А действует на тело Б равно силе, с которой тело Б действует на тело А, но направлено в противоположную сторону.

Веселые студенты предложили свою, несколько вольную формулировку законов Ньютона:

Первый закон: Не пнешь – не полетит.

Второй закон: Как пнешь, так и полетит.

Третий закон: Как пнешь, так и получишь.

И, наконец, четвертый закон, ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ гласит, что все тела притягиваются друг к другу с силой, ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЙ ПРОИЗВЕДЕНИЮ ИХ МАСС и ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЙ КВАДРАТУ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ НИМИ.

Почему тела притягиваются друг к другу? Ответить на этот вопрос наука времен И. Ньютона не мгла. Не может это сделать и современная наука. Закон Всемирного Тяготения просто констатирует этот факт и описывает его количественно. Если бы Ньютон вместо того, чтобы просто описать Закон Всемирного тяготения, начал бы разбираться в его причинах, то он бы и причин не нашел, и закон не сформулировал.

Подход, при котором исследователь просто описывает явление, но не стремится выяснить его причины, называется ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИМ ПОДХОДОМ.

Из закона Всемирного тяготения следует ряд важных выводов.

Во-первых, в природе нет абсолютного верха и абсолютного низа. Такое впечатление возникает из-за того, что мы находимся на поверхности огромного тела – Земли. Низ – это направление к центру Земли – верх – это направление от центра. И в течении всего половины суток низ и верх меняются местами.

Во-вторых, если на падающее тело не действует, помимо силы Всемирного тяготения, никаких иных сил, то скорость падения тел на Землю не зависит от их веса. Что и было обнаружено в свое время Галилеем.

И в-третьих, Закона Всемирного Тяготения вполне достаточно для того, чтобы описать движение планет вокруг Солнца.

Величина, именуемая «массой», фигурирует в двух Законах Ньютона: во Втором Законе и Законе Всемирного Тяготения. При этом массу, фигурирующую во Втором Законе Ньютона, называют ИНЕРТНОЙ МАССОЙ, а массу, фигурирующую в Законе всемирного Тяготения – ГРАВИТАЦИОННОЙ МАССОЙ. Почему инертная и гравитационная массы равны друг другу? Ответить на этот вопрос современная наука не может.

Вообще говоря, законы Ньютона были известны ещё до Ньютона. Так, о том, что тело, на которое не действуют другие тела, будет равномерно и прямолинейно двигаться, писал ещё Галилей. Он же писал, что скорость падающего тела растет со временем, прошедшим с начала падения, а время падения пропорционально корню квадратному из высоты, с которой тело падает. Что же касается идеи о том, что сила взаимного притяжения двух тел обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, то эта идея, по-видимому, принадлежит Роберту Гуку (1635–1703). Однако именно И. Ньютон привел работы своих предшественников в единую систему, на основе которой было построено здание классической механики.

Классическая механика с достаточной точностью описывает движение тел со скоростями, значительно меньшими, чем скорость света. Для описания движения тел, скорости которых сравнимы со световыми, используется ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ, разработанная в 20 веке Альбертом Эйнштейном (1879–1955).

Вопросы:

**. Считала ли античная наука все направления в пространстве равноправными?

**. В чем заключается вклад Галилея в механику?

**. Сформулируйте законы Ньютона?

**. В чем заключаются принципиально новые идеи И. Ньютона по поводу движения и покоя?

**. Что такое «импетус» в понимании античных мыслителей и современной механики?

**. Что такое инертная и что такое гравитационная масса?

**. Что такое феноменологический подход?

Вопросы для любителей подумать:

**. Может ли легкое тело падать быстрее, чем тяжелое?

**. В чем заключаются принципиально новые идеи Ньютона по поводу пространства?

**. Как можно экспериментально проверить гипотезу о том, что ускорение падающих на Землю тел не меняется при падении?

**. Предложите способ экспериментальной проверки Второго закона Ньютона.