Текст книги "История науки"

Математика. Аксиомы и теоремы

В VI веке до нашей эры в Древней Греции в школе Пифагора возникла идея аксиоматического построения математики. В основе математики брали несколько самоочевидных АКСИОМ и на их основе последовательно доказывали ТЕОРЕМЫ. В дальнейшем Евклид (365–300 до н. э.) построил на этой основе стройное здание ГЕОМЕТРИИ.

До XIX века в основе выбора аксиом лежала их самоочевидность и предполагалось, что может существовать только один разумный выбор системы аксиом. Однако в XIX веке математика стала смотреть на выбор аксиом шире.

Что будет, если отказаться от аксиомы о том, что через одну точку можно провести только одну прямую, параллельную данной? Этот вопрос поставил перед собой великий русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792–1856). И он построил непротиворечивую геометрию, заменив эту аксиому на аксиому о том, что через одну точку можно провести больше одной прямой.

Такие же попытки предпринимали и другие математики, в частности, Великий Карл Гаусс (1777–1855). Однако Гаусс хорошо знал жизнь и понимал, что публикация такой работы навсегда погубит его научную репутацию и научную карьеру. А независимо пришедшему к этой же идее молодому и наивному венгерскому математику Яношу Больяи (1802–1860) возможные последствия такой публикации разъяснил его папа, который тоже был хорошим математиком.

В России нравы были более патриархальными. Н. И. Лобачевский был ректором Казанского университета, то есть «его Превосходительством», а в Российской империи их Превосходительства имели возможность безнаказанно публиковать где угодно любую ахинею (разумеется, не посягающую на устои Православия, Самодержавия, Народности). В нашем Отечестве привыкли к тому, что ежели начальство считает, что параллельные прямые пересекаются, то, стало быть, так оно и есть. Начальству виднее… Поэтому Лобачевский опубликовал свои результаты первым и вошел в историю, как создатель неэвклидовой геометрии. Правда и в России мало-помалу формировалась свободная пресса, поэтому в издаваемом Фаддеем Венедиктовичем Булгариным (1789–1859) журнале «Сын отечества» появился фельетон про Лобачевского и его странную геометрию. Но ректора Казанского университета мало волновали лаявшие на него моськи.

Публикация Лобачевского открыла новый этап в развитии математики. У неё появился новый предмет – математические теории, строящиеся на основе разного выбора набора исходных аксиом. Разработка таких теорий стала важнейшим направлением развития математики в XX веке.

Вопросы:

**. Что такое аксиомы? Что такое теоремы?

**. Является ли аксиомой утверждение о том, что сумма всех углов треугольника составляет 180 градусов?

Вопросы для любителей подумать:

**. Возможно ли построение математических теорий с разными наборами аксиом.

**. Как по-Вашему, почему Н. И. Лобачевскому было легче опубликовать идею неэвклидовой геометрии, чем Гауссу?

**. Можно ли построить математику без аксиом?

**. Как Вы понимаете фразу: «Математика не только изучает наш мир, но и творит свои миры»?

Математика. Теория вероятностей. Статистика

В середине XVII века началась развиваться ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, у истоков которой стояли три выдающихся исследователя Блез Паскаль (1623–1662), Пьер Ферма (1601–1665) и Христиан Гюйгенс (1629–1695).

Теория вероятностей возникла в связи с проблемой ПРЕДСКАЗАНИЯ БУДУЩЕГО.

Будущее всегда неопределенно. Но, тем не менее, к нему нужно как-то приспосабливаться. А для того, чтобы приспосабливаться к нему, нужна какая-то мера, с помощью которой можно было бы оценить, насколько вероятен тот или иной вариант развития событий.

Одной из сфер человеческой деятельности, где такая мера очень полезна, являются азартные игры. Какую последовательность действий в игре лучше избрать азартному игроку, чтобы чаще выигрывать? В начале 1654 года завзятый игрок кавалер де Мере задал такой вопрос своему другу философу и математику Блезу Паскалю. Проблема заинтересовала исследователя и вскоре он предложил кавалеру де Мере научные рекомендации.

В этом же году Паскаль узнал, что этой же проблемой заинтересовался другой французский математик Пьер Ферма (1601–1665). Между исследователями завязалась переписка.

К сожалению, плодотворная работа Блеза Паскаля в области теории вероятностей вскоре прервалась. В ночь с 23 на 24 ноября 1654 года на него снизошло Озарение Свыше. После этого Паскаль оставил греховные занятия наукой, покинул Париж и удалился в монастырь Пор – Рояль. Остаток своей жизни он посвятил пропаганде религиозных идей, которую он, как и подобает большому математику, вел очень логично.

В 1657 году Христиан Гюйгенс опубликовал книгу «О расчетах в азартной игре», где изложил основные положения теории вероятностей, сформулированные им независимо от Паскаля и Ферма.

В основе новой научной дисциплины лежало понятие СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ и ВЕРОЯТНОСТИ.

Случайное событие – это событие в будущем, которое может произойти, а может и не произойти. А его вероятность – количественный показатель того, насколько следует ожидать, что это событие произойдет.

Существуют два предельных случая случайных событий. Например, случайное событие, по поводу которого имеется твердая уверенность, что оно завтра произойдет. Есть, например, твердая уверенность в том, что завтра утром Солнце взойдет на востоке. Таким событиям приписывается вероятность, равная единице.

А есть случайные события, относительно которых есть уверенность в том, что они не произойдут. Таким невозможным событиям приписывается вероятность, равная нулю.

Вводится также понятие РАВНОВЕРОЯТНЫХ СОБЫТИЙ. Например, мы бросаем кубик, на каждой грани которого нарисовано число от 1 до 6. У нас нет причин считать, что существуют какие-то законы, по которым одна определенная грань кубика должна выпадать чаще другой. Поэтому мы считаем, что вероятность выпадения каждой грани одинакова.

Поскольку вероятность выпадения любой грани равна единице и вероятность выпадения каждой грани равновероятна, а граней всего шесть, мы можем сделать вывод о том, что вероятность выпадения грани, на которой нарисована единица, равна одной шестой. Точно так же, как и вероятность выпадения грани, на которой нарисована шестерка.

В общем случае если N событий равновероятны и одно из них (но только одно!) обязательно произойдет, то вероятности каждого из этих событий можно приписать величину 1/N.

Этот прием позволяет вычислять и вероятности заведомо неравновероятных событий.

Как вычислить вероятность того, что при падении кубика выпадет число, которое делится без остатка на 3? Очень просто: возможно шесть равновероятных случаях и в двух из них выпадает число, делящееся на три. Следовательно, искомая вероятность равна одной трети.

В общем случае этот прием основан на предположении, что возможно N равновероятных «базовых» событий, при этом к интересующему нас результату достоверно приведут M из них, а остальные N – M базовых событий к этому результату достоверно не приведут. Тогда вероятность достижения интересующего нас результата окажется равной M/N.

Теория вероятностей позволяет вычислить вероятность появления одновременно нескольких НЕЗАВИСИМЫХ друг от друга событий. Эта вероятность будет равна произведению вероятностей каждого отдельного события.

А чтобы вычислить вероятность того, что произошло хотя бы одно из нескольких независимых друг от друга событий, нужно вычислить вероятность того, что ни одно из этих событий НЕ произошло (она равна произведению величин (1 – p_i), где p_i – вероятность i-го события), а затем вычесть эту вероятность из единицы. Такую операцию принято называть ОБЪЕДИНЕНИЕМ.

Важное значение для осознания проблем, связанных с теорией вероятностей имели работы английского математика и священнослужителя Томаса Байеса (1702–1761). Байес сделал важный философский вывод о том, что понятие вероятности носит в значительной степени субъективный характер и зависит от степени нашего незнания происходящих событий.

Т. Байес рассмотрел следующую ситуацию. Пусть вероятность события В будет зависеть от того, произошло ли событие А. Предположим, что если событие А произошло, то вероятность события В будет равна p₁, а если не произошло, то p₂. А какова будет вероятность события В если мы не знаем, произошло ли событие А. Она, очевидно, будет равна p₃*p₁ + (1 – p₃)*p₂, где p₃ – вероятность того, что событие А произойдет. Таким образом, вероятность события зависит от степени нашего незнания ситуации и по мере получения новой информации будет изменяться.

Связь между вероятностью и имеющейся информацией была оценена в полной мере только в XX веке. В 1926 году английский математик Фрэнк Рамсей (1901–1930) ввел понятие СУБЪЕКТИВНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ, которая зависит от имеющейся информации. А затем начала быстрыми темпами развиваться теория информации и основанные на ней разделы науки и техники.

Теория вероятностей имеет дело не только с дискретными событиями. Она может использоваться и для решения непрерывных задач. Например, задачи о том, какова вероятность того, что вражеский снаряд попадет в квадрат площадью 100 м², стороны которой лежат параллельно выбранным нами осям координат, а левый ближний к нашему тылу угол имеет координаты x₀ и y₀. Задача решается без особых проблем, если для любой точки и мы знаем величины p (x, у) – вероятности того, что снаряд упадет левее этого х и ближе к нам, чем у. Поскольку длина стороны интересующего нас квадрата составляет 10 м, то вероятность попадания снаряда в этот квадрат окажется равной р (х + 10, у + 10) – р (х, у).

Вероятность р (х, у) можно узнать, если мы знаем РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТЕЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ попадания снаряда в двумерном пространстве. Для того, чтобы построить это распределение, нужно знать соотношение вероятностей попадания снаряда в малую окрестность произвольной точки с координатами х и произвольной «стандартной» точки с координатами x₀ и y₀. Обозначим это соотношение, как функцию R(х, у). Таким образом, вероятность попадания снаряда в малую окрестность точки с координатами х, у окажется равной R (x, у)*р (x₀, y₀). Проинтегрировав эту вероятность по всему пространству, получим величину А. После этого введем новую функцию r (x, y), равную R (x, у)*р (x₀, y₀)/А. Эту функцию мы и назовем ПЛОТНОСТЬЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Как нетрудно сообразить, её интеграл по всему пространству будет равен единице, а интеграл от минус бесконечности до точки с координатами x₁, y₁ – вероятностью того, что снаряд упадет левее и ближе этой точки.

Понятие плотностей вероятностей легко обобщается для произвольного числа координат.

Совокупность значений координат, куда может случайно попасть снаряд, называют СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ. Идею этого понятия предложил в 1832 году французский математик Симон Дени Пуассон (1781–1840), а сам термин – русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821–1894) в 1867 году. Вообще говоря, случайные величины могут быть как непрерывными, так и дискретными.

А плотность вероятностей – это функция, заданная на случайных величинах. В неявном виде плотностью вероятностей пользовались многие математики уже в XVIII веке, но точную формулировку этого понятия дал в 1912 году русский математик Александр Михайлович Ляпунов (1857–1918). Он рассматривал одномерную числовую ось и рассматривал функцию F(x), равную вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее х. Плотность вероятности по Ляпунову – это производная F(x) по х.

Относительно вида плотностей вероятностей можно делать определенные заключения. Так, во многих случаях эта функция будет иметь вид НОРМАЛЬНОГО или ГАУССОВА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: r(x) = exp(-((x – x₀)/s)²/2)/(b*s), где x₀ и s – параметры распределения, а b равно корню квадратному из двух умноженному на число пи. Читатель без труда обобщит эту формулу на случай произвольного числа координат. Плотность вероятности попадания снаряда будет иметь вид двумерного гауссова распределения. Так же, как и плотность вероятности ошибки при измерении какой-либо величины.

В 1738 году, задолго до рождения Карла Гаусса (1777–1855) формулу гауссова распределения предложил работавший в Англии французский математик Абрахам де Муавр (1667–1754). Рассказывают, что используя методы теории вероятностей Муавр предсказал дату своей смерти. И довольно точно.

Интерес к распределению случайных величин возник в связи с проблемами оценки ошибок измерения. Эту проблему начал исследовать в 1755 году английский математик Томас Симпсон (1710–1761). Большой вклад в исследование этой проблемы внес Великий немецкий математик Кард Гаусс, который показал, что распределение ошибок измерения в большинстве случаев является нормальным (см. выше). В знак признания заслуг Гаусса нормальное распределение стали называть гауссовым.

В первой половине XIX века теория вероятностей начинает активно применяться в самых разных сферах. И в то же время многие зараженные снобизмом профессиональные математики считали её научной дисциплиной второго сорта. Так, философ Джон Стюарт Милль (1806–1873) в 1843 году назвал вычисление вероятностей позором для математики. Ситуация изменилась только во 2-й половине XIX века.

В конце XIX века начала развиваться МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.

Статистика – это искусство анализа большого числа однородных данных. Такие данные начали собирать уже в странах Древнего мира. Собирались они почти исключительно государством. Слово «статистика» придумал в 1746 году немецкий экономист Готфрид Ахенвалль (1719–1772). В дословном переводе оно обозначает «государствоведение». Под статистикой Ахенвалль понимал описание состояние государства с помощью большого числа чисел.

Английские исследователи пытались использовать собираемые данные для того, чтобы делать какие-то заключения о процессах, происходящих в стране. Пионером в этой области был Джон Граунд (1620–1679).

Глубокое осмысление задач статистики предложил бельгийский исследователь Адольф Кетле (1796–1874), занимавшийся статистикой начиная с 1820-х годов. Он ввел понятие «типичного человека», облик можно будет вывести из анализа статистических данных. Типичный человек – это полезная для познания реальной жизни абстракция, изучать которую и признана наука. Задача науки – изучение усредненных величин. А любой реальный человек чем-то не вполне типичен и поэтому для науки не слишком интересен.

По-существу, А. Кетле ввел понятие СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ. Из этого понятия выросли статистическая физика, менделевская генетика, теория эволюции Чарльза Дарвина и марксизм.

В конце XIX века в статистику пришла математика и статистика стала математической. Основоположником математической статистики был английский математик Чарльз Пирсон (1857–1936), который начал ею заниматься в 1892 году.

Математическая статистика имеет дело с большими наборами однородных данных, за которыми нужно увидеть какие-то закономерности. Основные проблемы, которые решает математическая статистика, можно сформулировать следующим образом: есть какой-то набор однородных данных и есть гипотеза, их объясняющая. С какой вероятностью это объяснение соответствует действительности.

Решает статистика и другие задачи. Например, есть большие наборы одновременных измерений нескольких параметров какой-то системы. Связаны ли эти параметры друг с другом? И если да, то насколько тесно?

Пирсон предложил ряд приемов, широко используемых при анализе больших массивов данных. Например, построение гистограмм, сравнение со стандартными кривыми распределения, вычисление хи-квадрата, многомерный корреляционный анализ и т. д.

Ч. Пирсон отличался огромной производительностью. Когда его спрашивали, как ему удалось в жизни сделать так много, Пирсон отвечал, что в рабочее время он отключал телефон и никогда не участвовал в работе каких-либо комитетов.

Большой вклад в развитие математической статистики внесли английские исследователи Чарльз Спирмен (1863–1945) и Рональд Фишер (1890–1962).

Обработка данных методами математической статистики широко применяются в наши дни в самых разных областях науки и техники. Большой вклад в использовании методов статистики для совершенствования медицинской службы выдающаяся внесла английская общественная деятельница, основательница движения медицинских сестер Флоренс Найтингейл (1820–1910).

Вопросы:

**. В каком веке возникла теория вероятностей?

**. Какова вероятность того, что из колоды карт (с картами от двойки до туза) Вы с первого раза вытащите туз?

**. Вы играете в подкидного дурака. Какова вероятность того, что при первой раздаче карт Вы получите по меньшей мере две карты одной масти?

**. Приведите примеры случайных событий, вероятность которых близка к 0.5.

**. На контрольной по математике лодырь Петя с вероятностью 0.7 получит двойку, а с вероятностью 0.2 тройку, с вероятностью 0.1 – четверку или пятерку. В первом случае папенька его высечет с вероятностью 0.8, во втором – с вероятностью 0.3. Если же Петя получит четверку или пятерку, то сечь его не будут. С какой вероятностью Петю высекут?

**. С какой вероятностью упомянутого в предыдущей задаче Петю после двух контрольных по математике ни разу не высекут?

**. Число мальчиков и девочек, родившихся в городе Н. в 2016 году, приблизительно одинаково. Отражает ли этот факт статистическую закономерность?

Вопросы для любителей подумать:

**. Можно ли считать равновероятными событиями встречу на улице мужчины или женщины? Ответ обоснуйте.

**. Следует ли считать вероятность объективным или субъективным понятием?

**. Вероятность того, что в одном и том же самолете независимо окажется два террориста с бомбами значительно меньше, чем вероятность того, что там окажется один террорист. Поэтому некий гражданин взял с собой в самолет бомбу, рассчитывая, тем самым, обезопасить себя. Разумно ли он поступил? Ответ обоснуйте с позиции теории вероятностей.

**. Как Вы понимаете, зачем нужна теория вероятностей?

**. Как Вы понимаете, зачем нужна статистика?

**. Как Вы понимаете фразу Марка Твена (1835–1910): «Есть три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика»? Согласны ли Вы с ней?

**. Как по-Вашему, имеет ли смысл применять статистические подходы при изучении одного конкретного человека?

Математика. Геометрия

Древнейшим разделом математики является ГЕОМЕТРИЯ. Она выросла из практических задач, возникающих при обмере земли, строительстве и т. д. Раздел геометрии, изучающие тела, лежащие на плоскости, получил названия ПЛАНИМЕТРИИ, раздел геометрии, изучающий объемные тела – СТЕРЕОМЕТРИИ.

Уже в VI веке до нашей эры Пифагор (570–495 н. э.) доказал теорему о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Хотя, по-видимому, этот вывод был известен и раньше.

Понятие СИММЕТРИИ придумал тоже Пифагор, но только другой – скульптор Пифагор Регийский (годы жизни неизвестны), живший в V веке до н. э.

Во второй половине V века до нашей эры Гиппократ Хиосский (годы жизни достоверно не известны), написал не дошедшую до нас книгу «Начала», содержащую совокупность геометрических знаний своего времени. Крупными геометрами начала IV века до н. э. были известный военачальник, друг Платона Архит Тарентский (428–347 до н. э.) и его ученик Евдокс Книдский (408–355 до н. э.). Архит Тарентский привел убедительные доводы в пользу безграничности Вселенной и… изобрел детскую погремушку. Существует легенда о том, что Архит Тарентский сконструировал искусственного голубя, пролетевшего около 200 м. А Евдокс Книдский ввел в науку важнейшие понятия ДЛИНЫ, ПЛОЩАДИ и ОБЪЕМА и предложил выражать их числами. Для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми линиями, Евдокс Книдский предложил МЕТОД ИСЧЕРПЫВАНИЙ, близкий к современному интегральному исчислению.

Вершиной античной геометрии стали тринадцать книг Евклида (365–300 до н. э.), получившие названия «Начал». Они содержат систематическое изложение геометрии. Наиболее замечателен МЕТОД, примененный в началах. Он опирается на несколько АКСИОМ, из которых последовательно выводил ТЕОРЕМЫ.

Евклид четко сформулировал представление о ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ТЕЛЕ, как о некоторой абстракции, к которой приближаются реальные объекты. Так, точка по Евклиду, не имеет никаких размеров, линия имеет длину, но не имеет ширины, поверхность имеет площадь, но не имеет толщины. При этом Евклид исследовал как свойства тел на плоскости, так и свойства тел в трехмерном пространстве.

Благодаря трудам Евклида классическая геометрия приобрела законченный вид и практически не развивалась до XVII века, когда Рене Декарт (1596–1650) предложил использовать прямоугольные координаты, после чего возникла АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, изучающая свойства и преобразования фигур в декартовой системе, координаты которых задаются числами или алгебраическими выражениями. При этом используются как геометрические, так и алгебраические подходы. Во второй половине XVIII века на базе аналитической геометрии развилась ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, активно использовавшая наработки дифференциального и интегрального исчисления.

Активно развивалась и ТРИГОНОМЕТРИЯ. Изначально она пыталась связать хорды круга с углами, под которыми хорда видна из центра, а затем перешли к изучению соотношения сторон в прямоугольных треугольниках. Основы тригонометрических знаний существовали уже в Двуречье, оттуда они попали в Грецию, а затем в Индию. И в Индии, и в Греции математики владели тригонометрическими функциями, н обозначали их другими терминами. В 12 веке тригонометрия пришла в Европу. В 1145 году математик и алхимик Роберт Честерский (годы жизни неизвестны) предложил термин СИНУС. Значительно позже Уильям Отред (1575–1660) предложил термин КОСИНУС, а Томас ФИНКЕ (1561–1656) – термин ТАНГЕНС. Тогда же Бартоломеус Питискус (1561–1613) предложил термин «тригонометрия».

В XVII веке начала развиваться ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, изучающая проекции геометрических тел на разные плоскости. Её основателями были Жерар Дезарг (1591–1661) и Блез Паскаль (1623–1662). Она имела важное практическое значение, став теоретической основой НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ.

В начале XIX века Николай Иванович Лобачевский (1792–1856), Янош Больяи (1802–1860) и Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) создают неэвклидову геометрию. Они отказались от предложенной Евклидом аксиомы о том, что через одну точку можно провести только одну прямую параллельную данной, и построили непротиворечивую геометрию.

В середине XIX века возникает геометрия МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ. Мы живем в пространстве, имеющих три измерения, что отражает система с тремя осями координат, введенная Рене Декартом (1596–1650). Но оказалось, что силой своего разума математик может анализировать свойства геометрических тел в не существующих многомерных геометрических пространствах.

По-видимому первым, кто выдвинул идею о многомерных пространствах, был Великий философ Иммануил Кант (1724–1804). Выдвинул он эту идею в 1746 году в возрасте 22 двух лет. Что, наверное, не случайно: люди немолодые и серьезные таких идей обычно не выдвигают. А в 1764 году математик и механик Жан Д’Аламбер (1717–1783) высказал интересную мысль о том, что время чисто формально можно рассматривать, как четвертое измерение пространства.

В 1843 году идея создания геометрии в пространстве с произвольным числом измерений вдохновила 22-летнего английского студента Артура Кэли (1821–1895), который и занялся этой работой вплотную. А затем к этой работе подключились немецкий математик Герман Грассман (1809–1877) и швейцарский математик Людвиг Шлефли (1814–1895). Позже к ним присоединился и Великий немецкий математик Бернхард Риман (1826–1866).

Давайте в самых общих чертах представим себе внутреннюю логику построения многомерной геометрии.

Геометрия изучает ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА, то есть тела, через две любые точки которых можно провести линию (прямую или кривую), так что все точки этой линии будут принадлежать геометрическому телу. Это свойство называется СВЯЗНОСТЬЮ (для геометрии оно ключевое). В принципе, геометрия может изучать и объекты, включающие несколько геометрических тел, но этот вопрос мы рассматривать не будем.

Геометрическое тело обладает ещё одним важным свойством: оно конечно. То есть, координаты всех точек геометрического тела в базовом пространстве находятся в определенном диапазоне: от и до.

Геометрия, разумеется, изучает и бесконечные объекты: прямые, плоскости и т. д., но называть их геометрическими телами – это плохой тон. Лучше ввести термин ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ, включающие как геометрические тела, так и находящиеся в ведении геометрии бесконечные структуры. И тогда можно сказать, что геометрия изучает геометрические объекты и их совокупности.

Каждое геометрическое тело характеризуется определенной МЕРНОСТЬЮ. Мерность точки равна 0, мерность линии – 1, мерность фигуры, нарисованной на какой-то поверхности – 2, мерность объемной фигуры – 3.

С мерностью геометрического тела не следует путать мерность пространства, в которое оно помещено. Так, отрезок, размерность которого равна единице, можно поместить в одномерное пространство (тогда он будет частью линии), в двумерное пространство (тогда мы увидим его на плоскости) или в трехмерное пространство.

Пространство, в которое помещено тело, имеет смысл называть БАЗОВЫМ, а его мерность – БАЗОВОЙ МЕРНОСТЬЮ. А мерность самого геометрического тела – СОБСТВЕННОЙ МЕРНОСТЬЮ. Очевидно, что мерность геометрического тела не может быть большей, чем базовая мерность вмещающего его пространства.

Вообще говоря, существуют и геометрические тела, разные части которых имеют разную мерность. Например, круг и расположенная за пределом круга линия, соприкасающаяся с окружностью только в одной точке. Но для простоты изложения мы такие геометрические тела рассматривать не будем.

Геометрическое тело имеет ОБОБЩЕННЫЙ ОБЪЕМ. Обобщенный объем точки принимается равным 0, обобщенный объем отрезка линии – его длина, обобщенный объем плоской фигуры – её площадь, обобщенный объем трехмерного тела – объем.

Геометрическое тело можно рассматривать, как совокупность точек и их координат в базовом пространстве.

Точки, входящие в состав геометрического тела, имеет смысл разделить на две группы – внутренние или граничные. Для этого нужно вписать геометрическое тело в какую-то бесконечную ГИПЕРПОВЕРХНОСТЬ (в общем случае изогнутую), собственная мерность которой совпадала бы с собственной мерностью геометрического тела. Гиперповерхность – это не обязательно двумерная поверхность: ею может быть и бесконечная линия и бесконечный объем.

Каждая точка геометрического тела будет входить в состав гиперповерхности.

Назовем ВНУТРЕННЕЙ такую точку геометрического тела, для которой можно указать такой конечный радиус r, что все точки, находящиеся на гиперповерхности и на расстоянии меньшем, чем г от исследуемой точки, будут входить в состав геометрического тела. В противном случае эту точку следует называть ГРАНИЧНОЙ. Совокупность граничных точек геометрического тела можно назвать его ОБЩЕЙ ОБОЛОЧКОЙ. Общая оболочка – это одно или несколько геометрических тел, чья мерность на единицу меньше мерности исходного тела. Каждое из геометрических тел, входящих в состав оболочки, можно назвать просто ОБОЛОЧКОЙ. Любое геометрическое тело обязательно имеет одну НАРУЖНЮЮ ОБОЛОЧКУ, окружающее тело со всех сторон. А некоторые геометрические тела могут иметь одну или несколько ВНУТРЕННИХ ОБОЛОЧЕК, окружающих полости внутри геометрического тела.

Оболочкой круга является окружность, то есть замкнутая линия, все точки которой расположены на одинаковом расстоянии от какой-то центральной точки. Эта оболочка является наружной.

Обобщенный объем оболочки геометрического тела можно рассматривать, как ОБОБЩЕННУЮ ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ этой оболочки.

Оболочки геометрических тел замкнуты и, поэтому, их нельзя разместить на бесконечных гиперповерхностях той же собственной мерности. Тогда как мы можем узнать, какие точки оболочки являются внутренними, а какие граничными? А очень просто: волевым порядком принять, что геометрические тела, являющиеся оболочками других геометрических тел, имеют только внутренние точки. А граничных не имеют.

А теперь все вышеизложенное можно обобщить для пространств произвольной базовой размерности n и расположенных в них геометрических тел произвольной собственной размерности m (разумеется, при этом m должно быть не больше n). И начать доказывать теоремы.

В 1872 году немецкий математик Феликс Клейн (1849–1925) сформулировал так называемую «ЭРЛАНГЕНСКУЮ ПРОГРАММУ» развития геометрии, логически связанную с возникавшей в эти годы теорией множеств.

Ф. Клейн руководствовался следующей логикой. В геометрии существует несколько разделов, изучающих разные свойства геометрических тел. При тех или иных ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ этих тел одни свойства сохраняются, а другие исчезают. Поэтому разные разделы геометрии, изучающие разные свойства тел, разумно сопоставить с преобразованиями, в которых сохраняются эти свойства.

Преобразование геометрического тела – это, по большому счету, правило, по которому каждой точке исходного тела ставится в соответствие точка в теле, которое получается в результате преобразования. При этом точка в n-мерном пространстве – это просто n чисел, означающих её координаты в базовом пространстве.

Какие же преобразования можно производить с геометрическими телами?

Простейшим преобразованием является ПЕРЕНОС тела в другое место. При этом к каждой координате тела прибавляется постоянная величина (для разных координат базового пространства, вообще говоря, разная).

Чуть более сложной операцией является ПОВОРОТ тела в базовом пространстве. При этом переход от старой к новой системе координат потребует некоторого числа занудных вычислений.

Ещё более сложной операцией является СЖАТИЕ (или, что в принципе, одно и то же, его РАСТЯЖЕНИЕ) тела. При сжатии координата pi старого тела преобразуется в координату qi нового тела по формуле q_i = p_0i + a_i*(p_i – p_0i), где p_0i – фиксированная координата i-го измерения внутри тела, – константа, вообще говоря, разная для разных измерений. Если a_i больше единицы, тело будет растягиваться, если меньше, то сжиматься.

Возможны два варианта сжатия. При первом варианте для всех измерений величина ai постоянна. При этом получаются фигуры, подобные исходной. При втором варианте фигура деформируется. Например, из квадрата получается прямоугольник. Эти варианты мы будем называть ОДНОРОДНОЕ СЖАТИЕ – 1 и ОДНОРОДНОЕ СЖАТИЕ – 2.

Следующий случай: НЕОДНОРОДНОЕ СЖАТИЕ – 1, при котором q_i = p_0i + f_i(p_i – p_0i), где f_i(x) – «гладкая» (везде дифференцируемая) функция, положительная в исследуемом диапазоне значений х и, в общем случае, разная для разных измерений. А при НЕОДНОРОДНОМ СЖАТИИ – 2 функция зависит не только от координаты в данном измерения, но и от координат во всех других измерениях.