Текст книги "История науки"

Тензорное исчисление активно используется в самых разных разделах физики, в частности, в теории относительности.

Вопросы:

**. Какие из перечисленных ниже числе являются натуральными, рациональными, иррациональными, трансцендентными: 3.3, корень из 3, пи, 4.

**. Могли ли Пифагор и Евклид пользоваться арабскими цифрами?

**. Мог ли Евклид пользоваться термином коэффициент?

**. Кто из перечисленных математиков мог пользоваться знаками плюс и минус: Рене Декарт, Герберт Аврилакский, Джон Валлис, Леонард Эйлер, Аль-Хорезми?

**. Любое ли квадратное уравнение решается в иррациональных числах?

**. Что такое тензор? Можно ли считать матрицу частным случаем тензора?

**. Является ли нуль натуральным числом?

**. Приведите примеры множеств.

**. Может ли существовать тензор 13-го порядка?

Вопросы для любителей подумать:

**. Какие из перечисленных ниже чисел являются натуральными, рациональными, иррациональными, трансцендентными: корень из 8, пи в квадрате, 1,7 в кубе, корень из 25,6 деленное на 4.

**. Всегда ли длина какой-то линии является алгебраическим числом?

**. К одной кошке прибавили одну мышку. Сколько животных получилось в сумме? Какой вывод можно сделать из этого примера?

**. Какое число является верхней гранью площадей многоугольников, вписанных в круг единичного радиуса? Существует ли многоугольник, площадь которого равна этой верхней грани?

Математика. Функции и математический анализ

Термин ФУНКЦИЯ впервые употребил Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) в 1673 году. В 1718 году швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667–1748) попытался дать первое определение функции. Его определение функции было следующим: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом, из этой переменной величины и постоянных». В 1755 году свое определение функции дал Эйлер (1707–1783): «Когда некоторые количества зависят друг от друга, таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменениям, то первые являются функциями вторых».

Из этих определений не следует, что функции обязательно следует задавать в виде каких-то формул. Более того, в определении Бернулли подчеркивается, что функции могут задаваться каким угодно способом. Но, тем не менее, в XVIII и начале XIX века функции задавались почти исключительно формулами.

В 1834 году определение функции дает русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792–1856): «Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и, вместе с тем, постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать или оставаться неизвестной. Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в одном смысле, чтобы числа одни с другим в связи принимать, как бы данными вместе». Вслед за И. Бернулли Лобачевский четко подчеркнул, что функция задается не только формулой, она может задаваться и другими способами. Например, в виде графика, отражающего результаты каких-то наблюдений.

Приблизительно в это же время сходное определение функции дал чешский математик Бернард Больцано (1781–1848), а после работы Петера Дирихле (1805–1859) в 1837 году оно стало общепринятым.

В основе традиционного определения функций лежали представления о том, что и переменная, от которой зависит функция, и само значение функции, – это числа. Однако появление теории множеств позволило обобщить понятие функции на элементы произвольного вида. Так в 1879 году Готлиб Фреге (1848–1925) ввел понятие ЛОГИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ.

В 1887 году Рихард Дедекинд (1831–1916) дал новое определение функции, согласно которому функция – это правило, с помощью которого элементу одного множества ставится в однозначное (не обязательно во взаимно однозначное) соответствие элемент другого множества.

Можно рассматривать функции не только от одной переменной, но и от нескольких переменных.

Создание дифференциального и интегрального исчисления резко расширило возможности математики. Стало возможным вычислять путь, пройденный за определенный промежуток времени объектом, двигающимся с непостоянной скоростью, вычислять площадь фигур, ограниченных достаточно сложными кривыми.

Основоположниками дифференциального и интегрального исчисления были Исаак Ньютон (1643–1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716). Они разработали хороший метод, который можно использовать в самых разных сферах, но не смогли привести строгого математического обоснования.

Исаак Ньютон ввел понятия ПРОИЗВОДНОЙ И ПЕРВООБРАЗНОЙ. Производная – это скорость изменения функции, а первообразная – функция, производной которой является исследуемая нами функция (на самом деле первообразная – это не одна функция, а набор функций, определенных с точностью до константы). И производная, и первообразная – АДДИТИВНЫ, то есть производная или первообразная суммы нескольких функций равна сумме производных или первообразных каждой из этих функций.

Ньютон изображал производную в виде х с точкой над ним. А производную от производной (вторую производную) в виде х с двумя точками над ним. Современное обозначение производной в виде dx/dt ввел в 1684 году Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716).

Функция называется ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ в данной точке, если она в этой точке имеет производную. Для того, чтобы быть дифференцируемой в данной точке, функция обязательно должна быть непрерывной. Но не всякая непрерывная функция дифференцируема. Так, функция, претерпевающая в данной точке излом, не имеет производной в этой точке.

Производная функции y = f(x) в точке x₀ – это предел любой последовательности чисел (у(х) – у(x₀))/(х – x₀), в которой х приближается к x₀ неограниченно близко. В точке излома этот предел будет разным в зависимости от того, приближается ли х к x₀ от меньших чисел к большим или от больших числе к меньшим.

Функции, дифференцируемые во всех точках, где они определены, кроме границ, называют ГЛАДКИМИ.

Введение понятия первообразной позволила вычислять площади под сложными кривыми, а также путь, пройденный телом, двигающимся с переменной скоростью. Этот прием позже получил название ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

Интуитивное понятие интеграла ввел в 1675 году Г. В. Лейбниц. Он же в 1685 году ввел широко известный знак неопределенного интеграла. А само слово ИНТЕГРАЛ придумал в 1690 году Якоб Бернулли (1655–1705). В 1779 году Пьер Симон Лаплас (1748–1827) предложил термины НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ и ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ, а в 1820-х годах Жан Батист Фурье (1768–1830) предложил современную запись определенного интеграла функции f(x) на участке изменения переменной от а до b.

Строгое математическое обоснование дифференциального и интегрального исчисления было дано только в 1829 году в работах французского математика Огюстен Луи Коши (1789–1857). Оно основывалось на теории ПРЕДЕЛОВ. И, вообще говоря, было не совсем строгим.

Понятие предела можно определить двумя способами. Первый способ – через последовательность чисел. Пусть у нас есть некая бесконечная последовательность возрастающих чисел, ограниченная сверху. Тогда существует такое число, к которому значения членов этой последовательности могут приблизиться сколь угодно близко. Это число и называется ПРЕДЕЛОМ этой последовательности при n стремится к бесконечности (n – номер члена последовательности).

Второй способ – через функцию. Пусть в какой-то окрестности числа x₀ определена функция f(x). Тогда пределом это функции будет число Р, такое, что для любого сколь угодно малого положительного числа m вокруг x₀ существует окрестность, внутри которой для всех х абсолютная величина f(х) – Р будет меньше, чем m. При этом совершенно не важно, чему равно f(x₀) и определена ли эта функция для x₀ вообще. В таких случаях говорят, что число Р является пределом функции f(х) при х стремится к x₀.

Далеко не всякая функция, определенная в окрестности числа x₀ имеет предел при х стремится к x₀. Если функция имеет предел при х стремится к x₀, и f(x₀) равно этому пределу, то такая функция называется НЕПРЕРЫВНОЙ в точке x₀. Функция, непрерывная во всех точках какого – либо отрезка, называется непрерывной на этом отрезке.

На основе теории пределов Коши дал строгое определение производной. Производная f(х) в точке x₀ – это предел другой функции, равной (f(x) – f(x₀)) / (x – x₀) при х стремится к x₀. При этом должно быть безразлично, стремится ли x к x₀ «снизу» возрастая или «сверху» уменьшаясь. Поэтому функция, имеющая излом в точке, дифференцируема в этой точке не будет (хотя и будет непрерывной).

Для определения интеграла f(х) на отрезке между точками А и В Коши воспользовался следующим приемом. Он рассмотрел последовательность чисел, каждое из которых было равно сумме величин F(i)*(В – А)/n (где F(i) – максимальное значение функции f(x) на отрезке от A + (i-1))*(B – A)/n, суммирование производится по i от 1 до n) и назвал ОПРЕДЕЛЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ предел это последовательности при n стремится к бесконечности.

Таим образом, Коши построил почти строгое обоснование дифференциального и интегрального исчисления. Некоторая нестрогость заключалась в том, что Коши принял на веру утверждение о том, что всякая ограниченная монотонно возрастающая последовательность чисел имеет верхнюю грань. Это условие, как показали последующих исследования, в области алгебраических чисел не всегда выполняется: оно справедливо лишь в области действительных чисел. Эта нестрогость была устранена в работах Георга Кантора (1845–1918) и Карла Вейерштрасса (1815–1897) в 1870-х годах.

С точки зрения истории науки поучительно отметить, что идею предела в зачаточной форме высказал ещё древнегреческий математик Евдокс Книдский (408–355 до н. э.). Он же предложил МЕТОД ИСЧЕРПЫВАНИЙ, близкий к современному интегральному исчислению.

Есть функции, которые дифференцировать и интегрировать легко. А есть – которые трудно. Легко продифференцировать степенную функцию a*xⁿ и простую тригонометрическую функцию a*sin(nx) + b*cos(nx), где n – какое-то натуральное число. Производная степенной функции будет равна a*n*x^(n-1), производная простой тригонометрической функции – a*n*sin(nx) + b*n*cos(nx). Первообразная степенной функции будет равна a* x⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1), простой тригонометрической функции (-a*cos(nx) + b*sin(nx))/n.

Проблема дифференцирования и интегрирования сложных функций существенно облегчается, если их со сколь угодно большой точностью можно представить в виде суммы некоторого числа степенных или простых тригонометрических функций. А также облегчился бы и процесс вычисления значений этих функций с приемлемой точностью. С этой целью был создан метод разложения функций в ряды (его часто называют методом АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИИ МНОГОЧЛЕНАМИ). Идею разложения функций в степенные ряды предложил в 1670 году шотландский математик и физик Джеймс Грегори (1638–1675). Его активно использовал Исаак Ньютон. В 1807 году Жан Батист Фурье (1768–1830) предложил приближенно записывать (аппроксимировать) периодические функции в виде суммы простых тригонометрических функций и, тем самым, рассматривать сложные периодические процессы как сумму некоторого числа простых. Метод, предложенный Фурье (разложение периодических зависимостей в РЯД ФУРЬЕ), широко применяется в современной физике.

С XVII века начало развиваться ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

На каком-то участке числовой оси задано много функций и каждой функции поставлено в соответствие какое-то число (например, определенный интеграл). При этом зависимость этого числа (ФУНКЦИОНАЛА) от соответствующей функции подчиняется определенным правилам. Как найти функцию, для которой это число функционал будет максимальным? Или наоборот, минимальным?

Эта задача имеет важное значение для многих проблем физики. В частности, как показал в 1744 году Пьер Луи де Мопертюи (1698–1759), к ней сводится задача описания механического движения нескольких взаимодействующих тел в пространстве. Эти тела двигаются по траекториям, для которых некий функционал (называемый ДЕЙСТВИЕМ) будет минимальным.

Современный вариант принципа наименьшего действия предложил в 1834–1835 годах Уильям Гамильтон (1805–1865).

Функции в соответствии может быть поставлен не только функционал, но и другая функция. Например, функции может быть поставлена в соответствии её производная. В таких случаях говорят, что на функцию накладывается ОПЕРАТОР. Совокупность задач, при этом возникающих, изучает ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Его основы были заложены в 1890-х годах физиком-теоретиком и инженером Оливером Хевисайдом (1850–1925).

Вопросы:

**. На конкретных примерах объясните, что такое функция, функционал, оператор.

**. Как менялось определение функции со временем?

**. Является ли производная от произвольной функции в области её определения функцией, функционалом или оператором?

**. Приведите пример функции, которая при x = 2 непрерывна, но не имеет производной.

**. В чем заключается заслуга О. Л. Коши в обосновании дифференциального и интегрального исчисления?

**. Почему сложные функции имеет смысл аппроксимировать многочленами?

**. Является ли интеграл от функции f(x) = ax + b в интервале от 4 до 5 функцией, функционалом или оператором?

Вопросы для любителей подумать:

**. Приведите пример логических функций, заданных на отрезке от 0 до 1.

**. При каких условиях аппроксимация функции многочленами имеет смысл?

**. Приведите пример функции, определенной на отрезке от 0 до 2, которая в точке 1 имела бы предел, равный 5, а сама в этой точке была бы равной нулю? Будет ли эта функция непрерывной в точке x = 1?

Математика. Множества

В 1870-х годах в математике произошла научная революция, связанная с появлением ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. Эта революция была в первую очередь связана с работами великого немецкого математика Георга Кантора (1845–1918). Сущность теории множеств заключается в том, что математика может заниматься не только числами и зависимостями между ними, но и зависимостями между любыми объектами.

Вообще говоря, понятие МНОЖЕСТВО ввел чешский математик Бернард Больцано (1781–1848). На старости лет он написал книгу «Парадоксы бесконечного», которая была опубликована только после его смерти в 1852 году. В этой книге он вводит понятие «множество» и понятие ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОГО СООТВЕТСТВИЯ между элементами двух множеств.

Взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств G1 и G2 – это какое-то правило, с помощью которого любому элементу множества G1 можно поставить в соответствие один и только один элемент множества G2, и любому элементу множества G2 – один и только один элемент из множества G1. При этом обязательно должно выполняться следующее условие: если элементу х из множества G1 поставлен в соответствие элемент у из множества G2, то элементу у из множества G2 должен быть поставлен в соответствие элемент х из множества G1.

Однако идеи, основанные на понятии «множества», не были восприняты в середине 19 века. Они стали популярными только после работ Г. Кантора в 1870-х годах.

Множество – это набор каких-то элементов. Это набор не обязательно конечен – он может быть и бесконечным. В этом случае он задается не путем перечисления элементов, а путем описания операции, с помощью которой из одних элементов получаются другие. Так, невозможно перечислить все натуральные числа, но можно сказать, что прибавив к любому натуральному числу единицу, мы можем вычислить следующее число.

Часть множества, которая содержит одни его элементы и не содержит другие, Г. Кантор назвал ПОДМНОЖЕСТВОМ. Он ввел и понятие ПУСТОГО МНОЖЕСТВА, то есть, множества, не содержащего ни одного элемента.

Кантор проанализировал операции, которые можно осуществлять над множествами. Такими операциями могут быть ОБЪЕДИНЕНИЕ и ПЕРЕСЕЧЕНИЕ. В результате объединения нескольких множеств возникает новое множество, элементами которого являются те и только те элементы, которые входят в состав хотя бы одного объединяющегося множества. В результате пересечения возникает новое множество, элементами которого являются те и только те элементы, которые входят в состав всех пересекающихся множеств.

Объединение множеств можно рассматривать, как аналог сложения, а пересечение – как аналог умножения. Можно ввести и разность между двумя множествами G1 и G2. Такой разностью будет множество, состоящее из элементов, которые входят в множество G1 и не входят в множество G2. Можно ввести и симметричную разность как множество, в состав которого входят элементы множества G1, не входящее в множество G2 и элементы множества G2, не входящие в множество G1.

Кантор попытался найти какие-то подходы к определению того, какое бесконечное множество больше, а какое меньше. Его подход был основан на идее взаимно однозначного соответствия между элементами двух множеств. Если такое взаимно однозначное соответствие установить можно, то множества признавались РАВНОМОЩНЫМИ.

В 1877 году Г. Кантор доказал, что множество рациональных чисел равномощно множеству натуральных чисел. А затем показал, что нельзя установить взаимно однозначное соответствие между натуральными и действительными числами. Кантор сделал вывод о том, что МОЩНОСТЬ множества действительных чисел больше, чем множество рациональных чисел. Кантор попытался выяснить, существуют ли множества чисел, мощность которых была бы одновременно больше мощности множества целых чисел и меньше множества действительных чисел. Этот вопрос (позже получивший название КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗЫ) Кантор сформулировал в 1877 году, но найти ответ на него не мог.

В 1900 году на международном съезде математиков Давид Гильберт (1862–1943) сформулировал 23 самые важные и нерешенные к тому времени проблемы математики. Среди них на первом месте стояла проблема доказательства или опровержения континуум-гипотезы.

В 1940 году Курт Гёдель (1906–1978) показал, что опровергнуть эту континуум-гипотезу невозможно, а в 1963 году Пол Джозеф Коэн (1934–2007) показал, что её невозможно и доказать.

Теория множеств, разработанная Г. Кантором, позже получила название НАИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.

В 1887 году итальянский математик Джузеппе Пеано (1858–1932) вводит понятие МЕРЫ ЧИСЛОВОГО МНОЖЕСТВА, обобщающее такие понятия, как ДЛИНА, ОБЪЕМ, МНОГОМЕРНЫЙ ОБЪЕМ. Мера числового множества – это нижняя грань множества сумм длин отрезков, полностью покрывающих все точки, входящие в состав множества. В 1892 году это понятие развил французский математик Мари Жордан (1838–1922) и в 1902 году Анри Лебег (1875–1941). О понятии «мера» мы поговорим в разделе, посвященной математике XX века.

Теория множеств изменила наши представления о том, чем должна заниматься АЛГЕБРА.

Изначально алгебра изучала общие свойства операций над числами. Такие, как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, взятие логарифмов и т. д. За этими операциями стояли последовательности действий при тех или иных вычислениях. Заменяя конкретные числа буквами, можно было сильно упростить эту последовательность и, тем самым, облегчить вычисления.

На «числовом» этапе развития алгебры на операции, ею исследуемые, накладывались определенные ограничения. Так для любых чисел х и у выполнялось условие x + у = у + x и x*у = у*x. То есть порядок, в котором брались числа, был несущественным. А для вычитания и деления это условие не выполнялось.

Но в XIX веке алгебра стала изучать разные множества, над элементами которых заданы разные операции с разными свойствами.

Операция над элементами множества – это какое-то правило, по которому двум элементам множества ставится в соответствие третий элемент того же множества. При этом может иметь значение порядок следования элементов в паре. На месте одной алгебры – АЛГЕБРЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ – появилось много разных алгебр, изучающих разные АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ.

Каждый АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ характеризуется:

множеством, на котором он рассматривается;

введенными операциями и их свойствами.

По характеру введенных операций и их свойств можно выделять разные типы алгебраических объектов, или, как принято говорить в науке, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ. К числу алгебраических структур относятся ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ и т. д.

Путь к новому пониманию алгебры первым открыл юный французский математик Эварист Галуа (1811–1832), погибший на дуэли в возрасте 21 одного года. Он ввел понятие ГРУППЫ.

Группа – это алгебраическая структура, в которой задана всего одна операция – сложение, удовлетворяющая двум условиям

x + y = y + x;

x + (у + z) = (x + у) + z = (x + z) + у.

В то же время четкого осознания такого общего понятия, как МНОЖЕСТВО у Галуа, по-видимому, ещё не было.

Более сложной алгебраической структурой является КОЛЬЦО. Кольцо – это множество, на котором заданы 2 операции, условно называемые сложением и умножением. Эти операции обладают рядом свойств:

x + у = у + x;

x + (у + z) = (x + у) + z = (x + z) + у;

существует такой элемент x₀ (нулевой элемент), что для любого x выполняется x + x₀ = x;

для любого элемента x существует такой элемент у (обратный элемент), для которого выполняется условие x + у = x₀;

x*у = у*x;

x*(у + z) = x*у + x*z.

Среди колец выделяются КОММУТАТИВНЫЕ КОЛЬЦА, для которых вводятся два дополнительных свойства

существует такой элемент x₁ (единичный элемент), что для любого x выполняется x*x₁ = x;

x*(у*z) = (x*у)*z = (x*z)*у.

Для колец легко доказывается единственность нулевого элемента, единственность обратного элемента для каждого элемента множества и то обстоятельство, что при умножении любого числа на нулевой элемент всегда получится нулевой элемент.

Примерами колец являются множества целых, рациональных, алгебраических и действительных чисел. Все они одновременно являются и коммутативными кольцами. А множество всех четных чисел тоже является кольцом, но не коммутативным.

Понятие «кольцо» было введено в 1871 году немецким математиком Рихардом Юлиусом Дедекиндом (1831–1916). В том же году Ю. Дедекинд ввел и понятие ПОЛЕ. Поле – это коммутативное кольцо, в котором выполняется дополнительное условие:

для любого элемента x существует такой элемент у, что x*у = x₁.

Ещё одним направлением развития алгебры стало введение различных способов упорядочения множеств. Для двух любых действительных чисел можно указать, какое из них больше, а какое из них меньше. А для элементов множеств такое отношение приходится вводить волевым порядком. Проблему упорядочения элементов произвольных множеств поставил в 1883 году Г. Кантор.

В настоящее время понятийный аппарат, связанный с упорядочением элементов внутри множества, выглядит следующим образом. Существует достаточно общее понятие ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННОГО МНОЖЕСТВА (введено в 1914 году Феликсом Хаусдорфом (1868–1942)). В таком множестве есть пары элементов х и у между которыми можно установить отношения «больше или равно». Такие элементы называются СРАВНИМЫМИ. В частично упорядоченном множестве могут быть и несравнимые пары элементов.

Эти отношения должны удовлетворять следующим свойствам:

если х больше или равно у то у больше или равно х в том и только в том случае, если х = у;

если х больше или равно у и у больше или равно z, то х и z сравнимы и х больше или равно z.

Линейно упорядоченные множества – это такие частично упорядоченные множества – ВСЕ пары элементов которых сравнимы (такие множества рассматривал Г. Кантор в 1883 году).

Направленные множества – это такие частично упорядоченные множества, для любого элемента которого найдется элемент, который больше или равен ему (понятие введено работавшим в Одессе русским математиком Самуилом Осиповичем Шатуновским (1859–1929) в 1906 году).

Вполне упорядоченные множества – это такие частично упорядоченные множества, любое подмножество которых имеет наименьший элемент.

Революция в алгебре, связанная с анализом разных множеств, в которых заданы разные операции с разными свойствами, была осмыслена в книге выдающегося английского философа и математика Альфреда Норта Уайтхеда (1861–1947) «Трактат об универсальной алгебре», изданном в 1898 году, а также в трехтомном труде А. Н. Уайтхеда и Бертрана Рассела (1872–1970) «Принципы математики», публикация которого была завершена в 1911 году.

Вопросы:

**. Можно ли говорить о множестве учеников 5 «Б» класса школы № 778 гор. Москвы?

**. Можно ли говорить о множестве свиней на ферме мистера Джонса?

**. Все ли множества обладают конечным числом элементов?

**. Можно ли построить взаимно однозначное соответствие между элементами множества натуральных чисел, которые меньше 100, и элементами множества натуральных чисел, которые меньше тысячи?

**. Можно ли рассматривать отряд Грызунов как множество, а входящие в него семейства как элементы?

**. Могут ли множества быть элементами множеств?

**. Что такое группы, кольца, поля?

Вопросы для любителей подумать:

**. Можно ли построить взаимно однозначное соответствие между элементами множества учеников 5 «Б» класса школы № 778 города Москвы и множества депутатов Государственной думы РФ?

**. Можно ли построить взаимно однозначное соответствие между точками прямой единичной длины и между точками окружности?

**. Чему равна симметричная разность между множествами действительных и алгебраических чисел?

**. Чему равны пересечения и объединения множеств всех натуральных и всех положительных четных натуральных чисел?

**. Попробуйте самостоятельно доказать, что множество натуральных чисел равномощно множеству рациональных чисел. Как Вы при этом будете устанавливать взаимно однозначное соответствие?

**. Равны ли мощности множеств всех действительных и всех комплексных чисел?

**. Можно ли рассматривать множество точек на плоскости как частично упорядоченное множество?

**. Можно ли рассматривать множество точек на плоскости, как линейно упорядоченное множество?

**. Можно ли рассматривать создание теории множеств как научную революцию в математике? Свой ответ обоснуйте.