Текст книги "В начале было ничто. Про время, пространство, скорость и другие константы физики"

Ключа к загадке происхождения значения G нет ни у кого. Современные домыслы на эту тему затрагивают возможность того, что когда-то гравитация была более сильной, но сошла на нет, когда Вселенная остыла (что очень похоже на рассуждения о постоянной тонкой структуры, только в случае тяготения ослабление зашло гораздо дальше). Некоторые допускают, что гравитация на деле по-прежнему сильна, но большая часть ее просочилась в шесть или семь измерений, которые еще предстоит научиться раскрывать и регистрировать. В общем, никто не знает, почему тяготение столь слабо. Тем более никто не знает, почему современное значение α_G именно таково. Никто даже не притворяется, что догадывается об этом.

* * *

Подведем итоги? Законы природы управляют поведением всего сущего в общем смысле, но количественные следствия из них определяются значениями различных фундаментальных постоянных. К последним относятся скорость света, величина, занимающая центральное место в теории относительности, постоянная Планка, лежащая в основе квантовой механики, и постоянная Больцмана, принципиально важная для термодинамики. Однако я попытался показать, что если все физически наблюдаемые величины выразить в одних и тех же – или связанных с ними – основных единицах, а не попадаться в ловушку прагматически оправданных, но пестрых и разномастных искусственных единиц, придуманных человеком, то эти три фундаментальные постоянные могут быть исключены из рассмотрения. Другими словами, если вы продолжаете настаивать, чтобы они появлялись в уравнениях, вы можете положить их все равными единице – при условии, что вы выразили все наблюдаемые величины в связанных единицах (я выбрал для этого секунду и ее видоизменения). Есть и другой класс фундаментальных постоянных – константы взаимодействия, которые определяют масштаб различных сил, например электромагнитной и гравитационной. Никто пока не знает, почему эти постоянные имеют те кажущиеся случайными значения, которые сейчас для них экспериментально установлены.

9
Взывая к глубинам

Почему математика работает

Многие законы природы выражаются математически; все они, даже те, которые внутренне математическими не являются (вроде тех, что можно сформулировать для описания эволюции путем естественного отбора), приобретают большую силу, когда предстают в математической форме. Одним из первых ученых, исследовавших эту тему, был влиятельный венгерский математик Юджин Вигнер (Ене Пал Вигнер, 1902–1995); он поднял этот вопрос на прочитанной им в 1959 году лекции «Необъяснимая эффективность математики в естественных науках»[67]67
  Wigner E. P. (1960). The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences. Richard Courant lecture in mathematical sciences delivered at New York University, 11 May 1959. Communications on Pure and Applied Mathematics. 13: 1–14 (Русский перевод: Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках / Пер. В. А. Белоконя и В. А. Угарова. УФН, 1968. Т. 94. Вып. 3. С. 535–546).


[Закрыть]. Его вывод, сформулированный с мудрой осторожностью, заключался в том, что эта непостижимая эффективность – тайна слишком глубокая, чтобы ее можно было разгадать в процессе простого человеческого размышления. К общему чувству отчаяния по этому поводу некоторые добавляли, что из всех современных тайн эта имеет все шансы остаться неразгаданной еще очень долго.

Альтернативный, более положительный взгляд, резко контрастирующий с осторожным пессимизмом Вигнера, заключается в том, что действенность математики вполне понятна. Вместо того чтобы вселять растерянность и ошеломление, математика должна рассматриваться как окно, открытое в глубину структуры Вселенной, как многообещающий и важный канал информации. Может быть, посредством математики Вселенная пытается говорить с нами на нашем языке? В этой главе я попытаюсь устранить оттенок мистицизма, который – боже упаси – кто-то может усмотреть в этих словах [68]68
  Нижеследующее обсуждение математических оснований реальности основано на идеях, опубликованных в моих книгах Creation (1983) и Creation revisited (1992). Спустя несколько десятилетий Макс Тегмарк, возможно, независимо, выдвинул похожие идеи в своем труде Our mathematical universe (2014). (Русский перевод: Тегмарк М. Наша математическая вселенная. В поисках фундаментальной природы реальности / Пер. А. Сергеева. Корпус, «Элементы», 2016.).


[Закрыть]. Возможно, существование математических формулировок законов природы указывает на очень серьезный вопрос. Будем надеяться, что мы получим на него удовлетворительный ответ, возможно, касающийся глубочайшей структуры реальности. А возможно, этот вопрос указывает на другой, самый глубокий из всех вопросов, который миллионы и миллиарды лет остается самым волнующим и насущным вопросом в мире: как появилось все то, что существует?

* * *

Невозможно отрицать: математика – исключительно мощный и успешно работающий язык общения со Вселенной. На самом прагматическом уровне уравнение, которое выражает физический закон, можно использовать для предсказания его количественных следствий, – как это происходит, когда мы предсказываем период колебаний маятника, зная его длину. Вспомните удивительную способность астрономов предсказывать орбиты планет, включая объяснение их эллиптичности и наступления «суперлуний», когда полнолуния совпадают с максимальными сближениями Луны и Земли (одно из них происходит, когда я пишу эти строки). А возьмите удивительные случаи, когда из математических формулировок законов вытекают неожиданные следствия, которые потом подтверждаются наблюдениями. Среди самых известных случаев таких подтверждений – история с черными дырами, предсказанными эйнштейновской общей теорией относительности, теорией тяготения. Кто-то заметил – иронически, конечно, – что никаким экспериментальным результатам нельзя доверять, пока они не будут подкреплены математически сформулированной теорией. Мировые экономики цветут, а иногда и рушатся, под влиянием поисков математических описаний законов природы. Огромный процент промышленной продукции государств приписывается внедрению квантовой механики и ее математических формул.

Есть, конечно, такие аспекты нашего понимания Вселенной и его физикализации, которые не выражаются математически. И в самом начале этой книги, и несколькими абзацами выше я упоминал одну из самых плодотворных и далеко идущих теорий Вселенной, теорию объяснения эволюции естественным отбором. Эта теория не является внутренне математической – она не выражается формулами. Тем не менее она обладает огромным могуществом и, возможно, применима повсюду во Вселенной, где есть что-то, что можно определить как жизнь. Ее даже пытаются применить к возникновению не просто новых видов живых существ, но целых новых вселенных. Грубое, но попадающее в точку выражение Герберта Спенсера «выживает наиболее приспособленный» можно считать вербальной аппроксимацией закона природы. Но когда эта теория получает математическое развитие, например, в моделях популяционной динамики, – я еще вернусь к этому вопросу чуть ниже, – качественная ее версия неизмеримо обогащается тем, что теперь из нее можно делать количественные предсказания.

Биология в целом, возможно, представляет собой область, с первого взгляда не слишком удобную для математического описания. Эта сфера человеческого знания оставалась в основном уделом «прогулок по экологическим тропам» до 1953 года, когда Уотсон и Крик установили структуру ДНК. Это почти мгновенно превратило биологию в часть химии, введя ее, таким образом, в круг физических наук и наделив ее всей связанной с этим мощью. Тем не менее трудно указать какие-либо специфически математические биологические законы, кроме (если вернуться к ДНК) тех, что связаны с кодированием наследственности. Но есть и множество разнообразных примеров, иллюстрирующих возможности прямого применения математики в биологии: например, анализ популяций хищников в зависимости от условий доступа к добыче и в определенном смысле построенные на этом методы разработки сельскохозяйственных и рыболовецких стратегий. Для организмов типичны всевозможные периодические явления, – вспомним хоть о себе, о нашем дыхании и бьющихся сердцах, о более медленных циркадных (суточных) ритмах. Такие осцилляции – благодарная почва для математического описания. Другая подобная сфера – волны: волны разности количества зараженных и незараженных людей во время эпидемий, или волны разностей электрического потенциала при распространении сигналов вдоль нервных окончаний, когда мы думаем или действуем, или волны мышечной активности в теле рыбы, бьющейся в наших руках (даже обезглавленной) или изгибающейся при плавании во встречных струях воды. Все это – аспекты биологии, которые могут быть математически формализованы.

Блестящий, но павший трагической жертвой гомофобии Алан Тьюринг (1912–1954) был, возможно, первым, кто опроверг Эзопа (примерно 629–565 до н. э., если он вообще существовал, – по слухам, он был невероятно безобразным) и показал, что математический анализ волн распространения химикатов сквозь стенки контейнеров различной формы – например, в форме леопарда – объясняет и узоры на звериных шкурах – пятна у леопарда, полосы у зебры, крапчатый узор на шкуре жирафа, – и затейливую красоту крылышек бабочки. И даже слоновий хобот, – как показывают математические законы, выраженные уравнениями и их решениями, – возник благодаря тому, что сквозь слоновий эмбрион на ранней стадии его развития прошла волна химических соединений [69]69
  Для знакомства с уравнениями, лежащими в основе описания узоров на шкурах животных, см. Mathematical biology, J. D. Murray (Springer Verlag, 1989), гл. 15. (Русский перевод: Мюррей Д. Математическая биология. В 2 т. / Пер. Л. С. Ванаг, А. Н. Дьяконова (Т. 1), А. Н. Дьяконова, А. В. Дюба, П. В. Шелякина, под науч. ред. Г. Ю. Ризниченко. М.; Ижевск, РХД-ИКИ, 2009–2011.)


[Закрыть].

Социология, этот усложненный вариант биологии в применении к человеческой популяции (хотя для моделирования последней иногда использовались крысы), появилась в конце XVIII столетия; слово это в 1780 году пустил в оборот Эммануэль-Жозеф Сийес (1748–1836), но сама дисциплина созрела только к концу XIX века, а свою математическую структуру приобрела в XX веке, когда сложные статистические модели стали численно исследовать на компьютерах. Хотя начальным толчком для нее было желание выяснить законы человеческого поведения, главными достижениями этой науки стало развитие статистических методов анализа, а иногда и предсказания наиболее вероятного или среднего поведения популяций индивидов. Такое статистическое моделирование имеет большое значение для успешного управления и руководства обществами, но никаких фундаментальных законов, отличающихся от тех, что были присущи самой статистике (таких, как колоколообразное распределение случайных переменных), оно не породило, несмотря на то, что все с нетерпением ждали их открытия.

Теология, исследование по природе своей неуловимого и непостижимого божества, научная версия поисков улыбки Чеширского Кота, в математике не нуждается. Не нужна она, конечно, и другим, гораздо более позитивным созданиям человеческого разума, таким как поэзия, искусство и литература, которые так расширяют границы обыденного захватывающими, а подчас и отталкивающими фантазиями. Статистика составляет исключение, – хоть она и помогает, например, отличить Марло от Шекспира. Музыка находится на границе раздела – она, возможно, является введением в научную эстетику, в которой математические прозрения могут оказаться бесценными для анализа гармоний и нотных последовательностей и их связей с возможными резонансными контурами в мозге.

Но здесь мне пора немного сбавить тон. При всем разнообразии приложений математики сами по себе они не порождают законов. Не считая численного анализа данных, которым занимается статистика, в каждом отдельном случае, как мне представляется, математическая составляющая сводится к анализу модели. Это вовсе не то, чем являются фундаментальные законы природы, – это формулирование сложного взаиморасположения фундаментальных физических законов. В результате получаются даже не «внезаконы», а вылазки организованных банд «внезаконов».

* * *

На простейшем и наиболее очевидном уровне польза математики заключается в том, что она обеспечивает объективный и в высшей степени рациональный способ представления следствий уравнения, которое выражает какой-либо закон в символической форме. Следовательно, невозможно сделать надежные предсказания из не-математического утверждения, такого как «выживает наиболее приспособленный», или предсказать, например, что примитивные сочетания элементов в свое время разовьются в слонов. И наоборот, надежные предсказания могут быть сделаны из математического утверждения; например, из закона Гука, в соответствии с которым возвращающая сила пропорциональна смещению (вербализация уравнения F = —k_fx), следует, что период колебаний маятника можно точно предсказать, зная его длину.

«Это хаос», – вскричите вы. Верно, конечно, что развитие определенных систем оказывается непредсказуемым, но эту непредсказуемость следует интерпретировать с осторожностью. Возьмем простой случай системы, демонстрирующей хаотическое поведение, – «двойной маятник», в котором один маятник подвешен на конце другого, и оба качаются в соответствии с законом Гука. В этом случае мы как будто можем решить уравнения движения маятников и, при условии, что точно известны исходные углы их отклонений, точно предсказать углы их отклонения в любой момент будущего. Ключевая фраза здесь «при условии, что точно известны исходные углы их отклонений» – ведь даже бесконечно малая неточность в начальных значениях углов приводит к совершенно различному последующему поведению. Хаотическая система – не то же самое, что система с беспорядочным поведением; это система с очень высокой чувствительностью к начальным условиям, настолько высокой, что для всех практических целей ее последующее поведение непредсказуемо. Только идеально точное знание начального положения (в отсутствие внешних возмущений, таких как трение и сопротивление воздуха) приводит к идеально предсказуемому поведению.

Одним из следствий этой внутренней практической невозможности достичь совпадения предсказания и наблюдения является сдвиг значения экспериментальной проверяемости в науке. В течение долгого времени считалось, что краеугольный камень научного метода – процесс сравнения предсказания с наблюдением и пересмотр теории в свете их несовпадения. Теперь, однако, мы видим, что надежное предсказание возможно не всегда. Так, значит, наш краеугольный камень зашатался? Ничего подобного. «Глобальное» предсказание того, что данная модель проявит хаотическое поведение, может быть проверено тестированием системы при различных начальных условиях, – а хаос, конечно, тоже имеет определенные предсказуемые характеристики, которые можно проверить. Чтобы мы могли заявить, что система нам понятна и ее поведение проверяемо, вовсе не обязательно предсказать и проверить точную траекторию двойного маятника. Законы природы – в данном случае «банда внезаконов» – подверглись бы проверке даже в этом случае количественной непредсказуемости.

Человеческий мозг – вместилище процессов, гораздо более сложных, чем механически тривиальный двойной маятник. А следовательно, нет ничего удивительного в том, что результат его деятельности – действие, мнение, даже произведение искусства – не может быть и, по всей видимости, никогда не будет предсказан на основании «входных данных», таких как взгляд или случайная фраза. Теологи называют эту непредсказуемость «свободной волей». Как и в случае двойного маятника, но на гораздо более сложном уровне, мы могли бы утверждать, что понимаем внутренний механизм работы мозга, искусственного или естественного, как совокупность процессов, происходящих внутри него, хоть нам и не удалось предсказать мнение, которое он выразил, поэму, которую он создал, или расправу, которую он учинил. Следовательно, проявление «свободной воли» будет в некотором смысле подтверждением того, что мы понимаем механизм работы мозга, так же как проявление хаоса, – подтверждением нашего понимания механизма работы двойного маятника. Вероятно, будет слишком смелым надеяться, что так же, как для простых систем можно предсказать закономерности хаоса, в один прекрасный день будут открыты и закономерности проявлений свободной воли. Возможно, психиатрия уже открыла их, но еще не сформулировала в достаточно точной форме.

* * *

Бесстрастная рациональность математики, быть может, и обеспечивает ее непостижимую эффективность. Возможно, эта эффективность вовсе не непостижима: может быть, она восходит к логическим основаниям, этому апофеозу рациональности. Причиной действенности математики может оказаться просто ее упор на систематические процедуры: начни с предложения модели, выпиши несколько уравнений, описывающих свойства последней, а затем выведи следствия, используя испытанные инструменты математической дедукции. Может, это и все. Но возможно ли еще что-нибудь?

Есть некоторые указания на то, что мир может быть математическим в более глубоком смысле. Здесь я отталкиваюсь от замечания, сделанного немецким математиком Леопольдом Кронекером (1823–1891): Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk («Бог создал целые числа; все прочее – дело рук человека»). Выходит, что все великолепные достижения математики – это манипуляции с начальными сущностями: целыми числами, служащими для простого порядкового счета, создание из них структур, для которых они не были изначально предназначены. Но – если считать щедрость господа бога слишком простым ответом – откуда взялись сами целые числа?

Целые могут появляться абсолютно из ничего. Эта процедура относится к самой бледной и бесцветной области математики, известной как теория множеств – в ней рассматриваются совокупности объектов безотносительно к тому, что эти объекты собой представляют. Если у вас нет ничего, то у вас есть так называемое пустое множество, обозначаемое {Ø}. Я буду называть его 0. Допустим, у вас есть множество, обозначаемое {{Ø}}, в котором содержится пустое множество. Теперь у вас есть что-то, что я буду называть 1. Вероятно, вы уже понимаете, к чему я клоню. У вас может быть еще и множество, в котором содержится не только пустое множество, но и множество, которое содержит пустое множество. Это множество обозначается {{Ø},{{Ø}}}, и, так как в нем два элемента, я буду его называть 2. Теперь вы, вероятно, видите, что 3 – это {{Ø},{{Ø}},{{Ø},{{Ø}}}}, и содержит пустое множество, множество, которое содержит пустое множество, и множество, которое содержит и пустое множество, и множество, которое содержит пустое множество. Я не буду забивать вам голову рассказом о том, что такое 4, не говоря уж о следующих числах, – процедура уже понятна. Таким образом, абсолютно из ничего (из пустого множества) мы сгенерировали семейство целых чисел. А как только вы получили целые числа и, как выразился тот же Кронекер, заставили их прыгать через обручи, вы получили математику.

Аналогия с возникновением Вселенной абсолютно из ничего бросается в глаза, причем Ничто каким-то образом отождествляется с пустым множеством {Ø}. Возможно, это всего лишь заманчивая аналогия, которая не имеет ничего общего с рождением Вселенной из Ничего, в математическом или другом смысле. А может быть, это глубокое прозрение того, как могло появиться все сущее и почему математика оказалась таким удачным языком его описания и объяснения.

Я вижу, что эта аналогия сталкивается с некоторыми проблемами. В их числе – отсутствие правил связи целых чисел со структурами, которые мы называем математическими. Список целых чисел вряд ли имеет право называться Вселенной. Ответ на этот вопрос может лежать в области аксиом, которые предложены в качестве оснований арифметики. Среди них – знаменитые аксиомы, сформулированные итальянским математиком Джузеппе Пеано (1858–1932)[70]70
  Аксиомы Пеано (в сокращенной форме):
  1 0 – натуральное число.
  2 Для любого натурального числа n следующее за ним число тоже является натуральным.
  3 Для всех натуральных чисел m и n m = n тогда и только тогда, когда числа, следующие за m и n, равны.
  4 Не существует натурального числа, за которым следует 0.
  Тогда сложение (+) определяется так, что n + 0 = n и n + S(m) = S(n + m), а умножение (×) так, что n × 0 = 0 и n × S(m) = n + (n × m), где S(n) – число, следующее за n.


[Закрыть]. А как только у вас появилась арифметика, вместе с ней появилось и множество других вещей – благодаря теореме, тоже знаменитой, которую доказали немец Леопольд Левенхайм (1878–1957) и норвежец Туральф Скулем (1887–1963) и из которой вытекает, что любая аксиоматическая система эквивалентна арифметике[71]71
  В своей ранней, но все равно не особенно доступной форме теорема Левенхайма – Скулема утверждает, что если счетная теория первого порядка имеет бесконечную модель, то для каждого бесконечного кардинального числа k она имеет модель размера k. Несколько более удобоваримое следствие из теоремы состоит в том, что система правил, таких, например, как правила арифметики, моделирует любую область знания, которая может быть формализована в виде набора аксиом.


[Закрыть]. Так, например, если у вас есть теория, охватывающая все законы природы и основанная на некотором множестве утверждений (аксиом), то она логически эквивалентна арифметике, и любые утверждения об арифметике будут применимы и к ней. Значит, можно пофантазировать, что логические связи, подобные тем, что предложены в числе аксиом Пеано, встали на пути у сущности, возникшей из ничего и называемой Вселенной, и дали ей стабильность. Я, здесь, конечно, блуждаю в темноте и только пытаюсь нащупать какой-то смысл. Любая реальная интерпретация этого взгляда, если она вообще когда-либо появится, потребует глубокого продвижения в понимании и объяснении наших космических корней, – а пока все это не более, чем игра воображения.

* * *

Большой вопрос, конечно, вот в чем: что мы подразумеваем, говоря, что Вселенная – это математика? К чему я прикасаюсь, если это только арифметика? Что я вижу в окно, если это просто алгебра? Неужели мое сознание – это всего лишь работа целых чисел, пляшущих под музыку аксиом? И правда ли, что причинность подобна разворачиванию доказательства теоремы, – а может, и является им?

Возьмем осязание. Можно ли сказать, что мы в некотором смысле прикасаемся к корню из двух или числу пи? Возможно, я могу помочь вам увидеть, что так оно и есть. Если мы оставим в стороне нейрофизиологические аспекты осязания, процессы, которые идут внутри нас, когда мы контактируем с внешним объектом (да, я знаю, вы можете сказать: «Но в этом же и заключается весь смысл осязания – в нашем ментальном ответе на него!» – но потерпите минутку!), то осязание сводится к непроницаемости того, к чему прикасаются, для того, кто прикасается. Непроницаемость есть некоторая форма исключения из области пространства, и в этом смысле мы можем понять происхождение сигнала, несущего информацию о прикосновении в мозг или в нейронную рефлекторную дугу, которая вызывает реакцию бегства от возможной опасности или повреждения как дальнейшего развития прикосновения.

Исключение одного объекта из другого происходит из важнейшего принципа, выдвинутого в 1925-м и обобщенного в 1940 году родившимся в Австрии физиком-теоретиком Вольфгангом Паули (1900–1958; еще одна короткая вспышка). Эта идея принесла ему в 1945 году Нобелевскую премию по физике. Принцип Паули, один из основных в квантовой механике, касается математического описания электронов (наряду с некоторыми другими фундаментальными частицами) и определяет, как это описание должно изменяться, когда названия, приписываемые двум электронам, взаимозаменяются [72]72
  Более определенно, для всех фермионов (частиц с полуцелым спином, к которым относятся и электроны), при перестановке значков двух идентичных фермионов (перестановке частиц) волновая функция меняет знак: ψ(2,1) = —ψ(1,2). Этот принцип глубоко связан с теорией относительности.


[Закрыть]. Следствие этого принципа состоит в том, что электронные облака двух атомов не могут перемешиваться: одно из них исключается из области, занятой другим. Осязание связано с фундаментальным принципом природы. Хотя я признаю, что этот взгляд на осязание пока что не очень тесно связан с вопросом о том, что значит «прикосновение» в математическом смысле, надеюсь все же, что вы согласитесь, – это шаг в нужном направлении.

Слух – форма осязания. В этом случае чувствительный рецептор находится в ухе, и касаются его молекулы воздуха, посредством которых волна давления воздействует на мембрану барабанной перепонки. Мы считаем слух и осязание различными чувствами только потому, что приемник звука передает зарегистрированные им ощущения прикосновений в другую часть мозга; но в фундаментальном смысле эти два чувства не отличаются друг от друга. Зрение также есть осязание, но более тонкого, скрытого вида. В этом случае происходит касание между молекулами оптических рецепторов в палочках и колбочках сетчатки. Они остаются погруженными в чашеобразные белковые структуры, пока фотон не возбудит их и они не приобретут новую форму. Тогда белок уже больше не может приспосабливать к ним свой объем – снова касание, – и они выходят наружу, позволяя тем самым белку слегка изменять форму и отправить импульс в еще одну область мозга, где эти импульсы интерпретируются как составная часть зрения. Аспектами осязания являются также обоняние и вкус – на этот раз (такова современная точка зрения, хотя в описаниях механизма этого процесса еще остаются противоречия) молекулы, втянутые в нос или попавшие на язык, касаются соответствующих рецепторов и посылают сигналы в выделенные для их приема особые части мозга. Выходит, что все чувства в конечном счете сводятся к осязанию, а во всех видах осязания проявляется принцип Паули, отражающий математическую природу мира.

Я должен признать – и я уже наполовину это сделал, – что мое описание работы органов чувств как проявления части математики не выглядит очень убедительным. И я не посмею идти еще дальше – вторгнуться в непроглядные тайны мозга и говорить о механизме, посредством которого он преобразует ощущения в сознание. Как эти разговоры могут быть убедительными, пока мы не смогли глубоко постичь природу материи? И все же надеюсь, что они по крайней мере указывают на существование глубокой связи нашего мира с целыми числами, на их сложно организованную встроенность в реальность.

* * *

И, наконец, последний важный вопрос, может быть, вопрос жизни и смерти, – вопрос о теореме Геделя. Эта теорема, доказанная в 1931 году с помощью великолепно найденного остроумного приема уроженцем Австрии Куртом Геделем (1908–1978; будучи профессором в Принстоне, он прославился тем, что уморил себя голодом из страха быть отравленным), по сути утверждает, что логическая непротиворечивость системы аксиом не может быть доказана в рамках этой же системы [73]73
  Статья в «Википедии» предельно ясна:
  «[Гёдель] для любой вычисляемой аксиоматической системы, достаточно мощной, чтобы описать арифметику натуральных чисел (например, аксиомы Пеано или теорию множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора), доказал, что:
  Если (логическая или аксиоматическая формальная) система непротиворечива, она не может быть полной. Непротиворечивость системы аксиом не может быть доказана внутри этой системы.
  Теоремы Геделя завершили продолжавшуюся полвека серию попыток отыскать систему аксиом, достаточную для всей математики. Эти усилия начались работой Фреге и достигли кульминации в Principia Mathematica и формализме Гильберта. Английскую версию работы Геделя On formally undecidable propositions («О формально неразрешимых предложениях») можно найти в книге Gödel’s theorem in focus, под ред. С. Дж. Шенкера (Routledge, 1988), но там вам придется столкнуться с утверждениями вроде
  0 St v, x = εn| n ≤ l(x) & Fr n, x & (Ep)[n < p…».
  Гораздо более доступная версия, рассчитанная на обычных земных людей: Gödel’s proof, E. Nagel and J. R. Newman, Routledge, 1958. (Русский перевод: Нагель Э., Ньюмен Дж. Р. Теорема Геделя. М.: Красанд, 2010.


[Закрыть]. Но если законы природы математические, может ли быть, чтобы они не были логически непротиворечивы? И мое объяснение их изначально обречено на неудачу? И если Вселенная – единый гигантский математический объект, то, возможно, и она логически противоречива? Может ли она обрушиться под давлением собственной противоречивости?

Но есть запасные выходы, позволяющие убежать от этого сценария. Доказательство Геделя основано на некоей частной формулировке арифметики; одну из версий этой формулировки я отметил в Примечании 4. Допустим, вы отбрасываете одно из ее утверждений, например описание того, что вы понимаете под умножением. Тогда это выбивает опору из-под доказательства Геделя, и оно теряет силу. Арифметика без значка × может показаться немного странной, но это относится также и к версии арифметики, которую я упоминал в главе 8, где результат умножения 2 × 3 отличался от результата умножения 3 × 2 – и, тем не менее, это оказывалось ключевым моментом для понимания физического мира. Итак, уберите из арифметики умножение, и потерявшая силу теорема Геделя останется валяться на обочине, а арифметика окажется полной [74]74
  Здесь я имею в виду то, что называется «арифметикой Пресбургера» – арифметика Пеано без ×. Очень хорошее и доступное ее объяснение см. в John Barrow’s New theories of everything, Oxford University Press, 2007. (Русский перевод: Барроу Д. Новые теории всего / Пер. П. А. Самсонова. Попурри, 2013.)


[Закрыть]. Кто знает, какой была бы эта картина, если бы следующим шагом оказалось признание того, что 2 + 3 не одно и то же, что 3 + 2? Окончательный итог, однако же, в том, что совершенно неясно, применимы ли условия, на которых Гедель построил свое доказательство, к физическому миру – единственному миру! Поэтому пессимизм ни на чем не основан, законы природы вполне могут быть логически непротиворечивы – это доказуемо. Во Вселенной нет никакого внутренне присущего ей логического раскола, который мог бы в одно мгновение катастрофически распространить свое действие повсеместно – начисто стереть нас и все сущее из реальности, ввергнуть обратно в небытие, в полное Ничто, из которого мир некогда возник. Больше того, может оказаться, что жизнеспособны только глобально непротиворечивые законы природы и что логически Вселенная представляет собой очень жесткую структуру, несовместимую ни с какой противоречивостью или рассогласованностью, как и с соответствующим этим состояниям типом арифметики.

Есть еще некоторые связанные между собой вопросы. Кое-кто настроен пессимистически в отношении последствий отыскания в один прекрасный день в будущем «теории всего» – чего-то вроде космического всеобъемлющего материнского начала, основы не только всех «внутренних законов», но и вообще всех законов. Эти пессимисты предполагают, что тогда для человечества придет время отключить свои компьютеры и признать, что дело сделано – достигнуто полное понимание всех тайн природы, освещены все ее уголки и закоулки. Так вот, я думаю, что всегда останется что-то, чем можно будет заняться. Например, может обнаружиться, что есть два или более одинаково успешных описаний всего мира и сделать выбор между ними невозможно. Намек на реализацию этой возможности нам уже встретился – как я объяснял в главе 8, можно сформулировать описание мира либо только через положения, либо только через количества движения. Ни одно из этих описаний не «лучше» другого. Может быть, есть мириады внешне несовместимых, но равносильных описаний мира, которые еще ждут своего открытия, мириады наборов взаимно непротиворечивых, но с виду несопоставимых законов природы.

Должны ли мы по какому-то признаку узнать, что мы уже открыли все законы природы? Есть ли способ убедиться, что та или иная теория верна, даже если ее экспериментальная проверка лежит за пределами наших технических или принципиальных возможностей?

И если предположить, что все законы открыты, – может, надо тогда потихоньку ослабить хватку и больше не связываться со сложностями их экспериментальной проверки? Надо ли выставить на переднем крае наших познаний стражу и дать ей неблагодарную задачу опознавать нарушителей законов Природы, – хоть мы и уверены, что такие нарушители вряд ли могут когда-нибудь появиться? На этих передовых рубежах знания в качестве инспекторов нам понадобятся неусыпные и неутомимые вечно бдящие роботы. А должны ли мы согласиться с тем (как намекают некоторые современные фундаментальные теории, среди которых я прежде всего имею в виду теорию струн), что, опираясь на нашу уверенность в созданных нами теориях, мы все равно будем принимать их за истину, даже если их невозможно протестировать? Не станут ли наши постепенные продвижения в поисках законов природы роковыми шагами в сторону чрезмерной самоуверенности?

Но, каким бы ни оказалось будущее, мне радостно сознавать, что, насколько мы можем судить, Вселенная – это рациональное, познаваемое место, и даже происхождение законов, которым она подчиняется, лежит в пределах человеческого понимания. С огромным нетерпением я жду, когда откроется захватывающая дух перспектива и в моем рассказе о сотворении мира можно будет заменить слова «не произошло ничего особенного» на «не произошло абсолютно ничего».