Текст книги "В начале было ничто. Про время, пространство, скорость и другие константы физики"

* * *

Однако пора оставить эти рассуждения и перейти к первоначальной и основной цели этой главы – к прояснению вопроса о том, как неведение усиливает роль бездействия и анархии в происхождении закона идеального газа. Вы уже знаете, что газ состоит из молекул в состоянии беспрерывного хаотического движения – они носятся туда-сюда, сталкиваясь друг с другом и разлетаясь уже в других направлениях и с другими скоростями. Мы с вами даже при самой тихой погоде всегда находимся в сердце молекулярной бури, – поверхности наших тел непрерывно подвергаются яростной бомбардировке мириадами частиц, что в значительной степени и помогает этим поверхностям сохранять свою форму. Чтобы лучше представить себе масштабы этой беспорядочной толкотни молекул воздуха, вообразите, что они имеют размеры теннисного мяча, – тогда, прежде чем столкнуться с другим таким мячом, молекуле придется пролететь расстояние порядка размеров теннисного корта. И вся эта хаотическая активность происходит под управлением законов классической механики – царства бездействия и анархии.

Неведение, из которого должно возникнуть знание, – это полное отсутствие у нас каких-либо сведений о том, что в этом вихре беспрерывного движения мириад частиц происходит с отдельной молекулой. Хотя в давление вносит свой вклад каждое индивидуальное столкновение, нет никакой необходимости отслеживать траекторию каждой молекулы по отдельности. Подобно тому, как в социологии можно с разумной вероятностью предсказать поведение толпы, не отслеживая движений каждого человека в ней, описывая поведение состоящего из мириад молекул газа, мы можем уверенно пренебречь вкладом каждой индивидуальной молекулы – просто потому, что мы находимся относительно него в полном неведении. Как и социологи, мы постоим в сторонке и сфокусируемся не на каждом индивиде, а на толпе в целом.

Когда мы сделаем это и выполним все необходимые для описания роя частиц математические преобразования с использованием различных ньютоновских законов, мы и получим закон Бойля [42]42
  Математические преобразования приводят к выражению pV = ⅓Nmv²_rms, где N – количество молекул в объеме V, m – масса молекулы, v_rms – среднеквадратичное значение скорости, то есть корень квадратный из среднего значения квадратов скоростей молекул, которое можно условно считать их средней скоростью. При постоянной температуре это выражение имеет форму pV = const, что и дает закон Бойля.


[Закрыть]. Вы можете подумать, что это очевидно и для такого вывода вовсе не требуется длинных математических выкладок. В некотором смысле это верно, но на деле математические результаты такого анализа идут гораздо дальше простого подтверждения закона Бойля: они показывают, как давление и объем газа совместно определяются различными его характеристиками, такими как масса его молекул и их средняя скорость. Эти зависимости нельзя было бы, по-видимому, вывести из наглядной интерпретации закона. Мы снова и снова убеждаемся в том, что применение математики проясняет смысл закона и что количественное описание качественной картины явления существенно обогащает его понимание.

* * *

А как насчет закона Шарля о пропорциональности давления газа его абсолютной температуре? Опять-таки, объяснить его нам поможет неведение в скрытом союзе с математикой.

Ключ к объяснению – связь между скоростью молекул и температурой. Роль скорости двояка. Если молекулы движутся быстро, больше их ударится об стенку за единицу времени, и ударяться они будут с большей силой. Следовательно, когда температура будет расти, давление газа будет увеличиваться по обеим причинам, – как из-за роста частоты соударений, так и из-за возрастания силы ударов. Известно (я скоро вернусь к этой теме), что средняя скорость молекул газа пропорциональна квадратному корню из температуры (абсолютной температуры!), а так как произведение двух квадратных корней из температуры дают саму температуру, мы получаем объяснение закона Шарля – давление газа пропорционально его температуре[43]43
  Средняя (арифметическая) скорость молекулы c массой m в газе при абсолютной температуре T равна v_сред. = (8kT/πm)^1/2, то есть,


[Закрыть].

Нерешенным остается вопрос, почему средняя скорость молекул газа пропорциональна квадратному корню из температуры. Давайте сначала посмотрим, что это на практике означает для молекул воздуха. Их средняя скорость зависит от их массы – легкие молекулы (азот) при 20 °C несутся со скоростью 500 метров в секунду (1120 миль в час), а более тяжелые, такие как двуокись углерода, еле тащатся, делая всего 380 метров в секунду (850 миль в час). Эти цифры, вообще-то, дают представление и о другом физическом явлении: распространении звука. Скорость звука в воздухе на уровне моря около 340 метров в секунду (760 миль в час), что близко к этим молекулярным скоростям. Звук, по сути, является волной давления: молекулы воздуха коллективно изменяют свои положения, образуя пульсирующую волну. Скорость, с которой они способны это делать, зависит от скорости, с которой они способны двигаться. Поэтому неудивительно, что скорость звука сравнима со средней скоростью молекул. Нас, однако, интересует прежде всего зависимость скорости молекул от температуры, а так как их средняя скорость меняется как квадратный корень из температуры, легко подсчитать, что в прохладный день при 0 °C (273 K), по сравнению с теплым при 20 °C (298 K), она падает примерно на 4 процента.

Тот факт, что средняя скорость молекул пропорциональна квадратному корню из температуры, нуждается в объяснении, – дав его, мы сможем полностью понять и закон Шарля. Молекулы газа обладают только кинетической энергией, связанной с их движением, – бо`льшую часть времени они находятся так далеко друг от друга, что практически не взаимодействуют и поэтому не имеют потенциальной энергии, связанной с их относительными положениями. То, что скорость связана с кинетической энергией, энергией движения, дает нам способ вычисления средней скорости: оценим среднюю кинетическую энергию молекул и затем выразим через нее их среднюю скорость. В главе 4 вы видели, как Больцман вычислял средние значения физических величин: мы тогда воображали, как швыряем книги (молекулы) на полки (энергетические уровни), и определяли наиболее вероятный исход этого процесса без какого-либо прямого его отслеживания (разве что следя за тем, чтобы полная энергия имела фиксированное значение). Выполняя такую процедуру для газа, мы получаем выражение для средней кинетической энергии молекул, а из него и для их средней скорости. И действительно, эта скорость оказывается пропорциональной квадратному корню из температуры – именно так, как нужно, чтобы объяснить закон Шарля.

Но это, конечно, еще не все. Вы уже видели, что объединение законов Бойля и Шарля дает нам закон идеального газа, предельный закон, являющийся отправной точкой для многих приложений термодинамики. Теперь вы знаете, каково его происхождение: та его часть, которая связана с законом Бойля, вытекает из рассмотрения количества столкновений молекул газа, а та, что относится к закону Шарля, объясняется ролью скоростей молекул и их зависимости от температуры.

Надеюсь, вы оцените захватывающую глубину этого вывода. Из неведения – в данном случае из отсутствия каких-либо подробностей индивидуального поведения молекул – оказалось возможным извлечь закон природы: закон идеального газа. Попутно мы поняли смысл средней скорости молекул газа, а также и то, как она зависит от температуры и (хотя об этом я упоминаю только в разделе «Примечания») массы молекул, составляющих газ. Правильным образом организованное и примененное неведение может стать мощным орудием понимания.

* * *

Закон идеального газа – лишь один из малых законов природы, о которых я говорил в главе 1. Они, эти зависимые «внезаконы», напоминают плоды, свисающие с ветвей могучих деревьев – великих «внутренних законов». Может быть, есть и другие такие законы; после того, как мы вывели из бездействия и анархии основные материнские законы, законы малые появляются из неведения.

Вот еще один такой «внезакон» – закон Гука, который я тоже упоминал в главе 1. Роберт Гук (1635–1703) был одним из наделенных поистине творческим воображением мыслителей XVII века – времени, когда растерянность и запутанность человеческого мышления отступали перед поднимающимся приливом рационализма эпохи Просвещения. Идеи Гука питали гений Ньютона, но и его собственные достижения были велики. Закон Гука, как мы узнали еще в главе 1, состоит в том, что, когда вы растягиваете пружину, в ней возникает возвращающая упругая сила, пропорциональная величине растяжения. Растяните пружину на сантиметр от положения равновесия – она будет сопротивляться растяжению; теперь растяните ее вдвое дальше, и ее сопротивление возрастет вдвое[44]44
  Как было отмечено в первом примечании к главе 1, согласно закону Гука, F = —k_fx, где F – возвращающая сила, а x – смещение от положения равновесия. Частота осциллятора с массой m равна v = (1/2π)(kf/m)^1/2. Для маятника длиной l, v = (1/2π)(g/l)^1/2, где g – ускорение свободного падения, мера гравитационного притяжения. Последний результат также является предельным в том смысле, что он точен только в пределе нулевой амплитуды качаний.


[Закрыть]. Следствием этого закона, которое непосредственно вытекает из основанной на анархии ньютоновской механики, является то, что пружины, как и маятники, могут устойчиво колебаться, а следовательно, в этом мире, работающем как часы, можно с их помощью хранить время.

Закон Гука – еще один пример предельного закона, который точно выполняется только при условии, что никакого отклонения от положения равновесия нет. Он идеально точен для растянутых пружин, если только они не растянуты, и для качающихся маятников, если только они не качаются. Все пружины и все маятники отклоняются от этого закона при доступных измерению растяжениях и размахах, но неуклонно приближаются ко все более строгому соответствию ему по мере того, как растяжения и размахи стремятся к нулю. В большинстве случаев отклонения пренебрежимо малы: закон можно использовать для надежных предсказаний, а часы великолепно сохраняют точное время. Но растяните посильнее – и пружина, а с ней и закон, лопнет.

Где же в игру вступает неведение, чтобы объяснить собой закон Гука? Если бы вы ничего не знали о внешних факторах, то во всех ситуациях, в которых присутствует сила, противящаяся смещению, вы пришли бы к тому же выводу, что и Гук. Доказательство выглядит так. Подумайте о какой-либо величине, а затем о том, как она изменяется при изменении некоторого параметра. Под «параметром» я понимаю все, что вы можете подстраивать и регулировать, – растяжение пружины, угол отклонения маятника, длину межмолекулярной связи, давление, действующее на твердое тело, и т. д. В каждом из этих случаев может существовать какое-то свойство объекта, подвергающегося воздействию, которое зависит от величины этого воздействия и при нулевом воздействии достигает минимума или через него проходит. Например, этим свойством может быть энергия растягиваемой или сжимаемой пружины. Если бы вы представили себе график зависимости энергии пружины от величины воздействия, он выглядел бы как кривая, которая поднимается по обе стороны от положения нулевого воздействия. То есть энергия пружины растет, когда пружина либо растягивается, либо сжимается, и достигает минимума, когда она покоится. Если только в игру не вступает что-то очень странное, то, какими бы ни были свойство, на которое оказывается воздействие, и природа самого воздействия, все такие кривые одинаковым образом изменяются в обе стороны от своего значения при нулевом воздействии. В случае зависимости энергии пружины от ее смещения такое поведение в окрестности точки нулевого воздействия дает параболическую форму кривой, что и означает (согласно ньютоновской механике), что возвращающая сила пропорциональна смещению – в точности как утверждает закон Гука [45]45
  Наиболее общее выражение для характеристики, принимающей значение P(x), когда смещение от положения равновесия равно x, имеет вид
  В точке минимума кривой зависимости P от x (dP/dx)₀ = 0. Следовательно, первый член после P(0), который не обращается в нуль, – это ½(d2P/dx2)0x2. Если P – потенциальная энергия E_p, то, так как возвращающая сила F и потенциальная энергия связаны соотношением F = —dE_p/dx, в рамках этого общего сценария F = —(d2P/dx2)0x, что соответствует закону Гука, если (d2P/dx2)0 идентифицируется с k_f.


[Закрыть]. Таким образом, незнание того, как ведет себя сила, в результате дает нам знание того, как она скорее всего будет себя вести.

* * *

Я хотел бы вернуться к соображению, которое я высказал чуть выше, – о том, что закон Гука лежит в основе хранения мирового времени, или, по крайней мере, он выступал в роли основы, когда главной деталью больших часов был качающийся маятник, а маленьких наручных – осциллирующий балансир. Возможно ли установить связь между возвращающей силой, которая пропорциональна смещению, и регулярными осцилляциями, необходимыми для хранения времени, не решая для этого уравнений классической механики? Существует ли для явления регулярных осцилляций глубокое, возможно, непредвиденное, объяснение?

И в пространстве, и во времени регулярность предполагает лежащую в ее основе симметрию. Мы должны ее распознать. В данном случае в результате зависимости кинетической энергии от скорости (а следовательно, и от количества движения) качающегося грузика маятника и от его потенциальной энергии, когда грузик поднимается и падает под действием силы тяжести, имеет место регулярное перетекание энергии из одной ее формы в другую и обратно. Одна из этих форм, кинетическая энергия, зависит от квадрата количества движения; другая, потенциальная – от квадрата смещения [46]46
  Энергия гармонического осциллятора, то есть осциллятора, который подчиняется закону Гука, равняется E = p²/2m + (k_f/2)x², где m – его масса. Отметим симметрию: и количество движения p, и смещение x входят в это выражение в квадрате.


[Закрыть]. Каждая из этих форм энергии подпитывает другую, и в результате мы получаем их регулярный обмен. Наблюдая качания маятника, мы замечаем, что он приостанавливается в поворотной точке полного размаха, где его кинетическая энергия обращается в нуль, но потенциальная энергия максимальна. В ходе ускорения груза маятника эта потенциальная энергия снова переходит в кинетическую. В краткий миг, когда нить маятника вертикальна, груз движется быстрее всего: всю свою потенциальную энергию он потерял, а кинетическая максимальна. Теперь уже кинетическая энергия начинает переходить в потенциальную, – груз замедляется, поднимаясь в свою высшую точку на другой стороне размаха. Симметрия этого перетекания энергии сохраняется независимо от амплитуды размаха, – маятник пульсирует, как сердце часов.

Чтобы поглубже проникнуть в суть этой симметрии, я хочу сделать одно замечание, но к нему понадобится небольшое вступление. Есть два способа смотреть на мир. Его можно описывать либо через положения предметов, либо через их количества движения (в главе 2 я ввел понятие количества движения как произведение массы на ускорение). До сих пор я описывал Ничто через положения: я говорил, что Ничто очевидным образом однородно – ведь невозможно представить себе холмы и впадины в абсолютной пустоте, это как минимум оксюморон. Однако представим себе, что мы сменили оптику и теперь смотрим на Ничто с точки зрения количества движения. Этот процесс вовсе не такой уж нелепый, каким может с первого взгляда показаться, – существуют методы исследования вещества, которые сводятся именно к этому. Таким путем, например, сделано множество великолепных открытий в биологии (таких, как определение структуры ДНК). Я имею в виду технику рентгеновской дифракции, когда пучок рентгеновских лучей проходит сквозь кристалл и рассеивается (а точнее, испытывает дифракцию) с образованием картины пятен, из которой можно извлечь информацию о пространственном распределении. Эти пятна по сути отражают структуру молекулы, рассматриваемую через призму количества движения[47]47
  Структура и ее дифракционная картина по сути являются фурье-преобразованиями друг друга. Подобным же образом фурье-преобразованиями друг друга являются описания мира «через положения» и «через импульсы».


[Закрыть].

Вероятно, вы согласитесь, что, когда вы рассматриваете Ничто через ваши новые очки, вы по-прежнему не увидите ничего. Это новое видение Ничего столь же однородно, как и прежнее, основанное на положениях. Раз это так, и если вы продолжаете соглашаться с тем, что при сотворении мира ничего особенного не произошло, тогда получается, что непосредственно после возникновения Вселенной она должна была оставаться однородной в смысле количества движения. Следствие этой однородности – независимость законов природы от скоростей чего бы то ни было. При условии, что наблюдатель и наблюдаемый объект движутся с одинаковой скоростью (так, что нам не надо беспокоиться об относительности), законы для них должны быть одинаковы. Например, качания маятника подчиняются одному и тому же закону, независимо от того, движутся ли часы, в которых установлен этот маятник, со скоростью 100 м/c или покоятся. (Отклонения появились бы, если бы часы находились в покое, а вы в движении, но это уже совсем другая история, здесь в игру вступает теория относительности: см. главу 9.)

Вселенная обладает глубокой симметрией, когда она описывается в терминах положений и количества движения. Эта симметрия проявляется в колебаниях маятника. Энергия качающегося маятника (а на самом деле любого осциллятора, например груза на конце пружины) состоит из двух эквивалентных частей, симметричных относительно пространства и количества движения. Когда маятник качается, энергия перетекает из его количества движения в смещение и обратно. Если вы снимете ваши повседневные очки и наденете другие, способные видеть количество движения, то поймете, что никакой разницы между этими способами видения не существует. Там, где раньше вы видели смещение, теперь вы увидите количество движения, и наоборот. Именно эта симметрия и лежит в основе ритмичных и непрестанных колебаний маятника, груза, подвешенного на пружине, или осцилляций часового маховика.

* * *

В этой главе неведение завело нас далеко, и вдруг оказалось, что, если оно направлено в верное русло, оно становится основой знания. Один из видов такого неведения – отсутствие знания о поведении индивидуальных сущностей. Оно вынуждает нас, подобно социологам, прибегать к оцениванию поведения толпы – в нашем случае молекул газа. В результате мы обнаруживаем, что газ подчиняется определенным законам, которые затем с большим успехом применяются к термодинамике. Затем мы столкнулись и с другим видом неведения, касающегося поведения сущностей, – я имею в виду не только маятники и пружины, но и многое другое. Будучи слегка смещенными из состояния покоя, все эти сущности, за исключением некоторых особых случаев, склонны вести себя одним и тем же характерным образом, и в этом проявляются законы, объясняющие такое их поведение. В качестве бонуса мы обнаруживаем, что в этом поведении проявляется еще одна глубокая симметрия Вселенной, которая порождена ее происхождением из однородного Ничего.

7
Атака легкой кавалерии

Законы электричества и магнетизма

Законы электричества и магнетизма играют в Природе особую роль – не только потому, что они лежат в основе нашего существования и строения, но и потому, что именно на них зиждется большая часть всех наших дел и развлечений. Живительная энергия Солнца приходит к нам в виде электромагнитного излучения. Там, куда попадают солнечные лучи, происходит фотосинтез [48]48
  При условии, что «там» находятся фотосинтезирующие организмы. (Прим. ред.)


[Закрыть], порождающий нашу биосферу, – благодаря ему неорганическая поверхность Земли покрывается лесами, лугами и прериями, а водные пространства наполняются водорослями. Та же жизненная сила населяет землю, воду и воздух подвижными организмами; в конечном счете именно она обеспечивает нас питанием, а питание пробуждает наши творческие силы и стремление к удовольствию. Если перейти на более фундаментальный уровень, то электромагнитные силы удерживают вместе атомы и молекулы. Они отвечают за существование всего многообразия форм осязаемой материи. Эти силы делают возможными перемещение и связь как на элементарных и повседневных, так и на самых изощренных уровнях – и в результате составляют неотъемлемую часть человеческой деятельности: развлечений, войн, торговли, борьбы за выживание, – одним словом, нашего существования.

Теперь я перейду к другому аспекту этих законов, связанному с объединением электричества и магнетизма в электромагнетизм. Унификация всех сил, описание их всех как проявлений единой материнской силы – сокровенная цель и мечта физики. Достижение этой цели, сейчас представляющееся нереально далеким, но тем более манящим, показало бы, что с виду разношерстное скопище действующих в мире сил обладает внутренним единством, что мир проще суммы своих видимых проявлений, которые не стоит, как мы это сейчас делаем, принимать за чистую монету. Разномастное множество законов, которые описывают действия этого скопища сил, слилось бы тогда в единый закон, происхождение которого было бы, возможно, легче обнаружить.

В поисках этого «священного Грааля» физики главная роль принадлежит симметрии. В предыдущих главах я уже коснулся ее роли в других контекстах. В главе 2 я рассказал об установленной Эмми Нётер глубокой связи между симметрией и законами сохранения. Однородное Ничто, на мой взгляд, донесло до нас свои свойства, сохранив их в процессе рождения Вселенной. И наконец, совсем недавно я рассказал, как часы представляются мне общедоступным проявлением скрытой симметрии, пронизывающей глубинные свойства материи.

Если вам хотелось бы получить конкретную аналогию роли симметрии в унификации электричества и магнетизма (а если расширить эту аналогию, то и всех других сил), то, может быть, подойдет вот эта. Вообразите себе, что электричество представлено в виде квадрата, а магнетизм – правильного шестиугольника. Эти две фигуры легко отличить друг от друга, и нельзя превратить одну из них в другую скручиваниями и поворотами. Квадратное электричество и шестиугольный магнетизм выглядят по-разному. Теперь представьте себе куб. Когда вы поворачиваете его к себе гранью, вы видите квадрат. Если же вы посмотрите на куб «с угла», направив на себя главную диагональ, соединяющую противоположные вершины, то увидите шестиугольник. Вот теперь, если мы перестанем думать о двух силах как о различных сущностях, расширим наше видение, развернем каждое измерение пространства в три и представим их себе в виде куба, то окажется, что в квадратном электричестве и шестиугольном магнетизме с очевидностью проявляется единая сущность – они связаны вращением в абстрактном пространстве определенного вида. Этот куб и есть электромагнетизм.

Я еще многое могу сказать в том же ключе. По мере того, как будет разворачиваться сюжет этой главы, вам еще может пригодиться аналогия с кубом и ее дальнейшее развитие. Как я уже говорил, главная движущая сила современной теоретической физики – стремление объединить все силы мира и, в частности, продемонстрировать, что электромагнитная сила есть лишь одно из обличий этой единой силы. Такая унификация уже частично достигнута введением силы слабого взаимодействия, которая действует внутри атомных ядер, расталкивая их составляющие и приводя к радиоактивности: излучению, истекающему из ядра в виде либо гамма-лучей (очень коротковолновых и высокоэнергетических фотонов электромагнитного излучения), либо заряженных частиц (альфа– и бета-лучей).

Сейчас в центре внимания физиков находятся некоторые аспекты сильного взаимодействия, действующей на очень малых расстояниях силы, которая связывает компоненты ядра, несмотря на то что электромагнитная сила стремится оттолкнуть плотно упакованные электрически заряженные частицы друг от друга. Нам надо быть благодарными за то, что сильное взаимодействие не работает на столь же больших расстояниях, как электромагнетизм, – иначе мы и все остальное в мире слиплось бы в единый колоссальный атом. Возможно, когда-нибудь к унификации сил присоединится и гравитация, хотя, по всей видимости, она обладает некоторыми загадочными свойствами, связанными со структурой самого пространства-времени. Объединение всех сил будет достигнуто, когда будет выполнено тщательное описание упоминавшегося куба, его вращений и других манипуляций с ним в сложно устроенном абстрактном пространстве некоторого вида. Унификация сил подобна поискам «священного Грааля», но этот Грааль – не кубок, а непредставимо сложный и пока недоступный описанию куб в абстрактном многомерном пространстве.

В этой главе я сосредоточусь на законах электромагнетизма в основном потому, что они будут для нас наиболее привычны, или по крайней мере наименее непривычны. (Я, впрочем, все равно сделаю небольшой их обзор, чтобы прояснить их сущность.) Подобные соображения будут применимы также к силам слабого (наверняка) и сильного (надеюсь) взаимодействий, – поэтому моей целью будет установить происхождение этих привычных законов, а затем предоставить вашему воображению принять тот факт, что аналогичные рассуждения применимы и к остальным силам. Надо признать, что это в значительной степени остается вопросом веры, – физики все еще не решили до конца вопрос о том, как уложить все силы в единую схему.

Если вдруг вы потеряли из виду, к чему я в конечном счете веду, позвольте напомнить, что я хочу доказать: законы электромагнетизма суть лишь еще одно следствие бездействия и анархии, вытекающие из того факта, что при рождении Вселенной, когда из Ничего предположительно самопроизвольно возникло нечто сущностное, ничего особенного не произошло. Здесь есть некоторые аспекты, которые нам следует обдумать.

* * *

Одним из первых законов электромагнетизма был закон Кулона. Французский физик Шарль-Огюстен де Кулон (1736–1806) сформулировал закон, носящий его имя, в 1784 году. Он постулировал, что сила, действующая между двумя электрическими зарядами, ослабевает пропорционально квадрату расстояния между ними. Это так называемый закон обратных квадратов. К тому же самому выводу ранее приходили и другие ученые (в том числе англичане Джозеф Пристли и Генри Кавендиш), но Кулон, по общему мнению, первым систематически исследовал и сформулировал этот закон. Обратная квадратичная зависимость и раньше считалась вероятной еще и потому, что такой же зависимости следует и гравитация [49]49
  Согласно кулоновскому закону обратных квадратов, величина силы между двумя электрическими зарядами Q₁ и Q₂, находящимися на расстоянии r друг от друга, равна F = Q₁Q₂/4πε₀r², где ε₀ – фундаментальная постоянная, диэлектрическая проницаемость вакуума. Потенциальная энергия этих двух зарядов равна E_p = Q₁Q₂/4πε₀r. Аналогичный закон обратных квадратов выражает величину силы гравитационного притяжения между двумя массами m₁ и m₂: F = Gm₁m₂/r², где G – гравитационная постоянная.


[Закрыть].

Мне смутно кажется, что если бы я был богом и, несмотря на мои с виду капризные и необоснованные решения по другим вопросам, хотел бы дать человечеству самый прекрасный закон взаимодействия электрических зарядов, какой я только мог бы придумать, а люди могли бы с благодарностью оценить, то я бы дал им закон Кулона. Это закон редкой красоты. Но в отличие от многих других видов красоты, это красота глубокая и непреходящая, незаметная глазу случайного зрителя.

Прежде всего, хоть это и довольно тривиально, описываемая законом Кулона сила сферически симметрична, – область ее действия образует шар, идеал симметрии, самое симметричное из всех трехмерных тел. Я сейчас поясню свою мысль. Можно ли как-то количественно оценить в этой характеристике шара слово «самое»? Да: у сферы (любого диаметра) бесконечное число осей симметрии и бесконечное число возможностей повернуть сферу вокруг любой из этих осей на любой угол так, что при этом она останется неизменной. Теперь представим себе зеркало, проходящее сквозь сферу через ее центр и отражающее одно из ее полушарий в другое: это зеркало может иметь бесконечное число различных ориентаций. В трехмерном мире не существует объекта, который обладал бы более высокой степенью симметрии: со всем этим множеством бесконечностей сфера – наиболее симметричный трехмерный объект. Если вы склонны отождествлять симметрию с красотой, то вы признаете, что сфера – олицетворение красоты, или по крайней мере одного из видов первичной красоты.

Закон Кулона является сферическим в следующем смысле. Направление от одного заряда к другому не имеет значения. В любом направлении сила взаимодействия падает с расстоянием одинаковым образом и в одной и той же степени. Может, этот факт не кажется таким уж потрясающим, но он имеет решающие последствия для структуры атомов и вытекающих из нее свойств вещества. Здесь мы находим еще один намек на Ничто и его огромную важность. Упрощенное (и тем не менее, возможно, верное) представление состоит в том, что сферическая симметрия кулоновской силы объясняется однородностью и, в частности, сферической симметрией абсолютного Ничего. Когда эта сила возникла (в данной главе мы еще поговорим об этом на более сложном языке), Ничто превратилось в среду распространения этой силы, причем ее возникновение из абсолютного Ничего не наложило на нее никаких дополнительных ограничений. Бездействие – сердце закона Кулона.

Во-вторых, несмотря на то что я сказал о бесконечной симметрии сферы, закон Кулона более, чем сферически, симметричен. Он обладает внутренней симметрией, которую нельзя заметить из его формулировки, где расстояние упоминается без связи с направлением.

Если мы позволим взгляду случайного наблюдателя стать более внимательным и усложненным и, вместо того чтобы рассматривать взаимодействие в наших банальных трех измерениях, ступим в пределы четвертого, то сферическая симметрия здесь тоже сохранится и станет тем, что мы назовем симметрией гиперсферической [50]50
  Полное обозначение симметрии кулоновского взаимодействия в рамках теории групп записывается как SO(4): специальная ортогональная группа в четырех измерениях.


[Закрыть].

Я понимаю, что, вероятно, требую от вашего визуального воображения (как и от своего) слишком многого – выйти за свои пределы. Но сила математики такова, что она этот шаг может сделать – и может продемонстрировать верность моих слов символически. Я могу дать вам наглядное представление о том, как происходит переход в четыре измерения, через описание перехода от двух измерений к трем, а затем попросить вас принять, что нечто подобное имеет место, когда переходишь от трех измерений к четырем. Вы уже убедились, что квадрат и шестиугольник можно связать друг с другом посредством перемещения от двумерной плоскости к трехмерному кубу. Сейчас я прошу вас порассуждать подобным же образом, хотя вопрос теперь стоит немного иначе.

Итак, вот картинка, которую я прошу вас вообразить. Представьте себе квадратный лист бумаги с большим красным кружком в центре. Теперь представьте тот же лист бумаги, половина которого закрашена красным, а другая половина оставлена нетронутой. Ясно, что между этими двумя картинками никакой связи нет. Или есть? Квадрат и шестиугольник оказались связаны, когда я попросил вас выйти в следующее измерение и представить себе куб. Может, и здесь, когда мы сделаем то же самое с кружком и прямоугольниками, связь обнаружится?

Я должен попросить вас перейти от двух измерений к трем, представив себе сферу, покоящуюся на центральной точке листа белой бумаги. Пусть южное полушарие этой сферы закрашено красным, а северное осталось белым. Представьте, что мы провели линию из северного полюса к южному через всю сферу и спроецировали ее на бумагу. Если линия проходит через красное, бумага под ней будет закрашена красным. Как вы, вероятно, себе представили, этот процесс приводит к появлению красного кружка с центром в той точке, в которой на бумаге находится южный полюс. Теперь повернем сферу на 90° вокруг оси, проходящей через ее экватор, так что теперь красная половина является западным полушарием. Повторим упражнение с проекцией из нового северного полюса вверху сферы. На этот раз, как вы, вероятно, себе представляете, половина бумаги стала красной, а другая остается белой. Теперь видно, что, хотя в двух измерениях наши две картины не связаны, они становятся связанными, если перейти к трем: здесь имеется единая сфера, а наше восприятие в двух измерениях неспособно идентифицировать лежащую в ее основе симметрию. Так же и с законом Кулона: только если мы перейдем к четырем измерениям, мы сможем оценить его полную симметрию, одинаковость всех направлений в четырехмерном пространстве.

Насколько мне известно, не существует никаких непосредственных интересных повседневных следствий из этой скрытой симметрии высших измерений. Впрочем, об одном таком следствии я все же слышал – это один тайный аспект структуры водородного атома, углубляться в который мне не хочется, несмотря на то, что эти атомы составляют (если не считать темной материи) самый распространенный вид вещества во Вселенной [51]51
  В атоме водорода все атомные орбитали одной оболочки (обозначаемые главным квантовым числом n) имеют одинаковую энергию безотносительно к их угловому моменту вращения вокруг ядра (обозначаемому квантовым числом момента импульса l). Следовательно, все орбитали s, p, d… одной и той же оболочки имеют одинаковую энергию. «Вырожденность», то есть обладание одинаковой энергией, всегда связано с симметрией; в данном случае это является следствием четырехмерной гиперсферичности кулоновского взаимодействия, которое позволяет этим орбиталям, при их различных формах, вращаться друг внутри друга в четырех измерениях.


[Закрыть]. Я мог бы развить эту тему и сказать, что устранение гиперсферической симметрии взаимодействия электрона с ядром, в случаях, когда в атоме больше одного электрона (что верно для всех элементов, кроме водорода), объясняет структуру Периодической таблицы элементов, а с ней и всего мира химии (в который входит биология, а после экстраполяции и социология). Но такое высказывание, пожалуй, уже было бы похоже на пускание пыли в глаза, хотя иметь его в виду, тем не менее, стоит. В этой связи, вообще-то, надо воспользоваться возможностью упомянуть еще один довольно туманный закон природы – периодический закон, согласно которому свойства элементов, если расположить их в порядке возрастания атомных номеров (количества протонов в ядре), через различное число интервалов до известной степени повторяются. Так, кремний (атомный номер 14) напоминает углерод (атомный номер 6), расположенный на шесть элементов раньше, а хлор (атомный номер 17) похож на фтор (атомный номер 9), который находится раньше на восемь номеров. Периодический закон, Периодическая таблица элементов и вся совокупность знаний, накопленных химией, биологией и социологией, – прямое следствие симметрии кулоновского взаимодействия в союзе с правилами, определяющими способ образования скоплений отрицательно заряженных электронов вокруг положительно заряженных ядер атомов.