Текст книги "Физика движения. Альтернативная теоретическая механика или осознание знания"

3.5. Динамика вращательного движения. Механизм преобразования видов вращательного движения. Расчёт соотношений физических величин

Анализ классической динамики вращательного движения стоит того, чтобы уделить ему внимание, т.к. при этом мы обнаружим множество противоречий и парадоксов, а порой и просто абсурд. Приведем достаточно обширные фотокопии из работы С. Э. Хайкина ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ. Издание второе, исправленное и дополненное, издательство «Наука», главная редакция физико-математической литературы, Москва 1971 г.:

С. Э. Хайкин

Реальное физическое перемещение материальных тел в пространстве всегда осуществляется только по линейной траектории. Угловой траектории в природе не существует. Поэтому физический смысл соотношений вращательного движения определяется физическими величинами, связанными именно с линейным перемещением. Угловое перемещение является абстрактно-математическим понятием, которое связывает изменение углового положения тела относительно неподвижной оси (точки) с эквивалентным ему линейным перемещением, выраженным через радиус углового перемещения, который определяется как перпендикуляр, опущенный из соответствующей точки неподвижной оси на направление силы. Поэтому за единицу углового перемещения в один радиан принимается угол, опирающийся на дугу окружности с длиной равной радиусу вращения.

Таким образом, абстрактно-академическое угловое перемещение тела связано с конкретным линейным перемещением через радиус углового перемещения. Угол, выраженный в радианах, представляет собой по сути дела линейное перемещение для каждого конкретного угла и радиуса поворота. С учетом механизма привязки условно математического углового перемещения ко вполне конкретному линейному перемещению появляется возможность определить основные соотношения динамики вращательного движения в условно-математических единицах углового перемещения. Однако поскольку физический смысл соотношений динамики вращательного движения определяется именно их линейными эквивалентами, все соотношения динамики вращательного движения, выраженные в единицах углового перемещения, физически связаны в конечном итоге с реальными физическими величинами линейного перемещения, и только абстрактно с абстрактно математическим угловым перемещением.

Напомним коротко, каким образом в классической физике из линейных физических величин получаются соотношения вращательного движения, которые в единицах углового перемещения приобретают академический смысл аналогичных линейных соотношений. Прежде всего, рассмотрим соотношения угловых и линейных величин для углового перемещения – скорости и ускорения, которые вытекают из чисто геометрических соображений и не требуют каких-либо особых пояснений.

Угловое перемещение, выраженное в радианах, представляет собой количество радиусов равное соотношению фактического угла поворота и угла, опирающегося на дугу окружности длиной в один радиус, что соответствует линейному перемещению равному общей длине радиусов в рассматриваемом угловом перемещении:

S = r * Δφ [рад]

Угловая скорость соответствует количеству радиан, т.е. линейному приращению окружного пути, соответствующему количеству длин радиусов в единицу времени:

ω = Δφ/t

Поэтому традиционная линейная скорость определяется произведением угловой скорости на радиус вращения:

Vл = ω * r

Угловое ускорение это приращение угловой скорости в единицу времени или соответствующее угловой скорости приращение количества длин радиусов углового перемещения в единицу времени за единицу времени.

ε = ω / t

Соответственно линейное ускорение в единицах углового перемещения равно:

а = V / t = (ω * r) / t

Теперь перейдем к физическому смыслу основных соотношений динамики вращательного движения. Чтобы не усложнять общую принципиальную картину рассмотрим физический смысл основных соотношений динамики углового перемещения, осуществляющегося под действием тангенциальной закручивающей силы, т.к. при угловом перемещении с классической точки зрения работает только тангенциальная составляющая силы. При этом плечо тангенциальной силы всегда равно радиусу переносного вращения.

Работа силы по угловому перемещению равна произведению силы на линейный эквивалент углового перемещения:

А = F * S = F * (r * Δφ)

Выразим силу через массу и ускорение тангенциального линейного движения:

F = m * а = m * (V / t) = m * (ω * r) / t,

тогда работа по угловому перемещению материального тела равна:

F * (r * Δφ) = (m * (ω * r) / t) * (r *Δφ)

или

А = (F * r) * Δφ = (m * (ω * r) / t) * (r)) * Δφ

Сократив обе части полученного выражения на угол поворота (Δφ), классическая физика получает основное уравнение динамики вращательного движения:

F * r = m * r² * (ω / t)

Полученное выражение можно представить в следующем виде:

М = I * ε

где:

М: момент силы или просто момент – академическая величина вращательного движения, которой в линейных взаимодействиях соответствует обычная линейная сила, определяющаяся в соответствии со вторым законом Ньютона. Момент силы определяет работу обычной линейной силы по линейному перемещению тела массой (m), эквивалентному угловому перемещению, выраженному в линейных единицах длины через длину радиуса. Это достаточно противоречивая аналогия.

I = m * r²: момент инерции – академическая величина вращательного движения, которой в линейных взаимодействиях соответствует обычная инертная масса. Это очень противоречивая аналогия!

ε = ω / t: угловое ускорение – академическая величина вращательного движения, которой в линейных взаимодействиях соответствует обычное линейное ускорение.

Основное уравнение динамики вращательного движения можно представить в виде:

М = I * ε = m * r² * (ω / t) = (m * r² * ω) / t = L / t

или

М = L / t,

где:

L = m * V * r = m * r² * ω = I * ω = М * t: момент импульса – академическая величина вращательного движения, которой в линейных взаимодействиях соответствует обычный импульс.

Выражение (М = L / t) носит название уравнения моментов, из которого в классической физике непосредственно вытекает закон сохранения момента импульса, который гласит: в отсутствие внешних моментов (М = 0) момент импульса замкнутой вращающейся системы остается неизменным (L = const). При этом никаких доказательств правомерности закона сохранения углового момента в классической физике нет. Это является одним из главных противоречий классической динамики вращательного движения, о котором мы поговорим ниже. Но вначале обо всём по порядку.

Как видно из приведенного выше классического вывода основного уравнения динамики вращательного движения угловое перемещение во всех соотношениях динамики вращательного движения выражается через длину эквивалентного линейного перемещения, что соответствует исключительно прямолинейному перемещению, т.к. длина линейного перемещения независимо от его кривизны определяется только его абсолютной величиной. Совершенно очевидно, что работа закручивающей силы с учетом реальной кривизны линейного эквивалента углового перемещения не равна работе силы по равному ему по абсолютной величине прямолинейному перемещению.

Как показано выше в главе (3.3) часть кинетической энергии первоначального прямолинейного движения при преобразовании его во вращательное движение переходит в потенциальную энергию связи с центром вращения. Поэтому полная энергия вращающейся системы складывается из кинетической энергии линейного тангенциального движения и потенциальной энергии связи вращающегося тела с центром вращения. В жестко связанном вращении это потенциальная энергия остаточной деформации. При движении в поле центральных сил – это потенциальная энергия поля центральных сил.

Таким образом, вращательное движение оказывает дополнительное сопротивление закручивающей силе в виде затрат энергии (работы) на преобразование движения по направлению. Эта энергия аккумулируется в остаточной деформации связующего тела или переходит в потенциальную энергию поля центральных сил и проявляется в виде центробежной силы. Следовательно, полная закручивающая сила вовсе не равна тангенциальной силе, определяющей приращение исключительно только прямолинейного эквивалента окружного движения, как это следует из классического уравнения динамики вращательного движения.

Причём полная закручивающая сила не обязательно должна быть тангенциальной, как следует из классической динамики вращательного движения, поскольку любая сила, направленная под углом к переносному вращению, оказывает влияние на центробежную силу, входящую в состав полной закручивающей силы. На данном этапе мы для простоты рассмотрим только тангенциальную закручивающую силу, но с учётом её затрат на преобразование движения по направлению.

Затраты полной тангенциальной закручивающей силы (Fп) на преобразование движения по направлению могут быть учтены, например, с помощью полного закручивающего ускорения (а_п), включающего в свой состав (а_л – окружное) и (а_цс – центростремительное ускорение), т.е. полное ускорение равно: (а_п = а_л + а_цс). Полное уравнение вращательного движения будет приведено в главе 3.5.2. Здесь же мы только отметим, что в нём должна быть учтена энергия связи вращающегося тела с центров вращения (Есв), которая связана с центробежной силой.

Энергия связи – это новая величина в динамике вращательного движения, которая в классической физике фактически игнорируется. Однако это вполне реальная физическая величина, без которой никакой полной динамики вращательного движения, а так же в общем случае произвольного криволинейного движения не может быть в принципе! Именно эта величина характеризует искривление движения, в то время как произведение (I * ε) – это всего лишь прямолинейный эквивалент криволинейного движения, т.е. работа только части полной закручивающей силы на прямолинейном участке с длиной, равной длине радиуса.

Классическая тангенциальная сила весьма условна и отвечает только за прямолинейное движение, т.е. за академически выпрямленное окружное движение, длина траектории которого пропорциональна радиусу. Это только часть полной динамики вращательного движения, в которой радиус вращения не влияет на величину тангенциальной силы и является только математическим коэффициентом пропорциональности, осуществляющим связь геометрии вращательного и прямолинейного движения. Следовательно классическая динамика вращательного движения это вовсе не динамика вращательного движения, а лишь его часть, которая в реальной действительности определяется законами Кеплера, что будет показано ниже.

Для подтверждения энергетических затрат полной закручивающей силы на искривление движения можно предложить следующий эксперимент (см. Рис.3.5.1).

Пусть две вращающиеся системы (1 и 2) с разными радиусами (2 * r) и (4 * r) соответственно и одинаковыми массами (2 * m), установленные на тележках, приводятся во вращение одинаковой силой (F), которая образуется за счет энергии одинаковых линейных импульсов (P). Сила (F) приложена к приводным шкивам одинакового радиуса. Одинаковый линейный импульс силы обеспечивается за счет силы упругости (F) единой нити и одинакового времени действия силы (F). Пусть для чистоты эксперимента все шкивы привода вращающихся систем и тележки невесомые по сравнению с массой (m).

Рис. 3.5.1

Идея этого эксперимента возникла после ознакомления с работой В. А. Кучина, М. В. Турышева и В. В. Шелихова ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА (см. http://ivanik3.narod.ru/ObschPhiz/Inerciod/Turyshev/NewExper/ExpProvImpRuss.doc). Однако схема нашего эксперимента несколько отличается от схемы эксперимента Турышева. В эксперименте Турышева на тележках с колесами были установлены вращающиеся системы в виде цилиндров с одинаковыми радиусами и массами, но с разным распределением массы по их объему. Тележки приводились в движение таким же приводом, который изображён и на (Рис. 3.5.1).

В нашей схеме объёмное распределение одинаковых масс цилиндров сымитировано телами с одинаковым распределением массы по их объёму, но вращающимися на разных радиусах. Полый цилиндр с распределением массы по его поверхностному слою эквивалентен вращающейся системе с радиусом большим, чем сплошной цилиндр с такой же массой, равномерно распределенной по его объему. Поэтому он эквивалентен вращающейся системе с большим радиусом, чем сплошной цилиндр. Пусть разница распределения масс по объёму цилиндров такова, что полый цилиндр эквивалентен вращающейся системе (1) с радиусом, равным, к примеру, четырём радиусам (4 * r) одинаковых приводных шкивов обеих систем, а сплошной цилиндр эквивалентен системе (2) с радиусом равным двум радиусам (2 * r) приводных шкивов.

Для подтверждения энергетических затрат полной закручивающей силы на искривление движения в нашей схеме достаточно было сделать радиус приводных шкивов равным радиусу вращения масс каждой системы. При этом диаметрально расположенные компактно сосредоточенные массы (m) вместо цилиндров нужны лишь для большей наглядности компактно производимых затрат на вращение компактных масс. Однако для того, чтобы так же наглядно продемонстрировать отсутствие физического смысла момента инерции, который фактически не определяет никаких законов реальной динамики механического движения, мы сохранили для приводных шкивов одинаковый радиус, равный (r). Для чего это нужно конкретно мы покажем чуть ниже. А пока начнём с энергетических затрат.

С учётом соотношения радиусов приводных шкивов и радиусов вращающихся масс, на диаметрально расположенные массы системы (1) по правилу рычага будет передаваться закручивающая сила равная (0,25F), а на массы системы (2) – сила равная (0,5F). При этом если тележки затормозить, то массы системы (2) должны получить вдвое большее линейное ускорение вдоль окружности, чем точно такие же массы системы (1). Но по тому же самому правилу рычага угловая скорость обеих систем должна быть одинаковой (выигрываем в силе, но проигрываем в расстоянии и наоборот). Однако в реальной действительности равенство угловых скоростей, на наш взгляд, соблюдаться не должно, т.к. в классической физике затраты на преобразование движения по направлению не учтены ни в правиле рычага, ни в классической динамике вращательного движения. С учетом же затрат на преобразование движения по направлению угловая скорость системы (2) должна быть заметно больше, чем угловая скорость системы (1).

Мы полагаем, что не только наш видоизменённый эксперимент, но и оригинальный эксперимент Турышева должен подтвердить, что сплошной цилиндр вращается быстрее полого. Тем самым должно подтвердиться так же и наше предположение о влиянии совершенно очевидных трудностей по преобразованию движения по направлению в зависимости от радиуса искривления, на классическую прямолинейную динамику вращательного движения.

Теперь вернёмся к нашей видоизменённой схеме эксперимента, которая призвана показать ещё и несостоятельность классического понятия момента инерции.

Оригинальный эксперимент Турышева показал, что тележка с полым цилиндром, эквивалентная системе (1), до полного приземления падающего тела привода на пол продвинулась по столу намного дальше, чем тележка со сплошным цилиндром, эквивалентная системе (2). Из нашей схемы, являющейся более наглядным, но полным физическим аналогом эксперимента Турышева, следует достаточно простое и естественное объяснение этому факту.

По правилу рычага на закручивание системы (1) направлена одна четверть силы натяжения нити (0,25F), а на поступательное движение системы соответственно три четверти силы нити (0,75F). В системе (2) и на то, и на другое направлена одинаковая часть силы натяжения нити, равная (0,5F), что больше, чем на вращение в первой системе, но меньше чем на её поступательное движение. Следовательно, система (1) должна больше продвинуться поступательно, но меньше вращаться, а система (2) наоборот.

Как мы отмечали выше, при заторможенных тележках этот факт подтверждает зависимость затрат на искривление движения от радиуса вращательного движения. Но если сопротивление поступательному движению систем одинаковое, то этот эффект должен наблюдаться так же и во время движения тележек. Всё это легко проверить в предложенном эксперименте. Но сейчас нас больше интересует момент инерции.

В нашей схеме меньшая сила системы (1) при неизменной естественной (природной) инерционности масс в каждой системе, естественно передаёт массам первой системы меньшее закручивающее действие, чем большая сила массам системы (2). Это эквивалентно большей вращательной инерции масс в системе (1), во всяком случае, чисто внешне.

С классической же точки зрения это и есть проявление полноценной физической величины классической динамики вращательного движения – момента инерции. Классическая физика даже проводит прямую параллель момента инерции с инертной массой динамики Ньютона. Однако классический момент инерции, даже внешне не соответствует ни реальной действительности, ни правилу рычага.

Классический момент инерции пропорционален квадрату радиуса. Поэтому такое эквивалентное инерционное сопротивление системы (1) должно быть даже не вдвое, как в нашей схеме, а вчетверо больше чем в системе (2). Однако, динамика прямолинейного движения, каковой в отсутствие затрат на искривление движения фактически и является классическая динамика вращательного движения, предполагает приложение силы непосредственно к центру масс тел, иначе линейного движения с его характерными затратами просто не получится.

Об этом же свидетельствует и понятие момента силы. Плечо момента силы равно радиусу вращающегося тела. Это свидетельствует о том, что сила действует на уровне тела. Во всяком случае, в классической физике ни о каких других точках приложения силы к вращающейся системе не сообщается. Из этого следует, что в эксперименте, удовлетворяющем требованиям классической динамики вращательного движения, т.е. достоверно воплощающем классическую теорию на практике, приводные шкивы должны иметь радиусы соответствующие радиусам вращающихся масс каждой системы. Однако результат эксперимента при этом будет прямо противоположным.

Под действием одинаковых сил упругости одной и той же нити, приложенных непосредственно на радиусах тел каждой системы, их массы получат одинаковые (сопоставимые) линейные ускорения. При этом угловая скорость системы (2) будет почти вдвое больше угловой скорости системы (1). Мы говорим «почти», т.к. существуют ещё и затраты на искривление движения, которые будут больше в системе (2). Следовательно, это несколько снизит её угловую скорость по сравнению с рачётной.

Таким образом, с точки зрения классической динамики вращательного движения сила привода в системе (2) будет в большей степени вложена в поступательное движение, а в системе (1) – во вращательное. Однако это в корне противоречит результату эксперимента Турышева, а так же смыслу классической динамики вращательного движения и в частости понятию момента инерции.

С другой стороны это неопровержимо свидетельствует о том, что физически инерция вращательного движения, так же как и в прямолинейном движении, определяется только инертной массой вращающегося тела, в то время как момент инерции не имеет физического смысла, даже в качестве эквивалентного академического инерционного сопротивления вращению.

Первая степень радиуса в классическом выражении для момента инерции появляется в результате перевода углового ускорения (скорости) в линейные единицы (а = ε * r). При этом пропорционально радиусу изменяется интенсивность линейного движения по сравнению с угловым движением. Однако истинное инертное сопротивление неизменной массы при этом естественно не изменяется. А вторая степень радиуса в моменте инерции связана с определением работы силы на участке окружности равном радиусу (F = m * а = m * ε * r * r = F * r).

Затем результат этих двух вполне законных физических величин волевым решением, не имеющим под собой никаких физических оснований, уже абсолютно незаконно объявляется моментом силы в виде произведения силы на радиус (F * r), фактически являющегося работой. Но в природе нет, и не может быть двух истин, как не может быть в физике и двух названий у одной и той же физической величины. Поэтому, как минимум одна из этих величин не имеет физического смысла. И эсперимент Турышева неопровержимо показывает, что это именно момент силы.

Таким образом, никакой специфической инертности вращательного движения в виде момента инерции в природе не существует!

Все закручивающие силы во вращательном движении определяются линейным поступательным ускорением обычных инертных масс вращающихся тел. И как и во всяком линейном поступательном движении поступательное ускорение определяют силы, приложенные к центру масс тел. А искривляет поступательное движение силы связи с центром вращения. Отсюда следует, что классический момент силы без учёта энергии связи (Есв) ничего собственно не закручивает! Более того, он, как и момент инерции не имеет физического смысла.

Все силовые вариации вращения, связанные с разным расстоянием от вращающегося тела до центра вращения, даже без учёта затрат на преобразование движения по направлению объясняются не гипотетической инерцией вращения и не гипотетическими моментами сил, а правилом рычага, т.е. распределением сил упругости в зависимости от упоров и точек приложения сил. Поэтому специфические физические величины классической динамики вращательного движения такие как, момент силы, момент инерции не имеют физического смысла.

Осталось показать физическую несостоятельность момента импульса и закона сохранения углового момента. Однако прежде чем перейти далее к физическому смыслу закона сохранения углового момента, который в классической физике ассоциируется с сохранением количества вращательного движения, следует сделать небольшое отступление, поясняющее само понятие – количества движения.