Текст книги "Новый физический фейерверк"

1.97. Четверное сальто

1982 год, 10 июля, Тусон, штат Аризона. Во время циркового представления воздушный акробат Мигель Васкес отпустил перекладину трапеции, на которой висел, сгруппировался, четырежды перевернулся в воздухе и оказался в руках брата Хуана, висевшего на другой трапеции. Это было первое исполнение сальто в четыре оборота в цирке, хотя попытки делались с 1897 года – тогда было выполнено первое тройное сальто. Почему именно четверное сальто так трудно выполнить (и почему сальто в четыре с половиной оборота, скорее всего, вообще сделать невозможно)?

ОТВЕТ • Чтобы выполнить прыжок, и воздушный гимнаст, и его партнер должны раскачаться на трапециях. Когда воздушный гимнаст летит по направлению к партнеру, он отрывается от своей трапеции, немедленно группируется и делает несколько оборотов. Закончив четвертый оборот, он должен вытянуться, чтобы его партнер смог поймать его за руки. Таким образом, прыжок должен удовлетворять двум условиям: 1) гимнасту необходимо выполнять кувырки достаточно быстро, чтобы успеть сделать четыре оборота за то время, что он летит до партнера; 2) он должен разгруппироваться как раз в тот момент, когда окажется возле партнера, иначе его скорость будет слишком велика и поймать его будет невозможно.

Для выполнения первого требования гимнаст должен сгруппироваться, чтобы его масса перераспределилась и сосредоточилась вблизи центра масс, вокруг которого он крутится. Сгруппировавшись, он увеличит скорость вращения подобно фигуристу, который вращается быстрее, когда прижимает к себе руки и приставляет ногу. Однако большинство гимнастов не могут сгруппироваться настолько плотно, чтобы развить скорость, достаточную для четырех оборотов.

Для выполнения второго требования гимнаст должен считать количество оборотов. Тогда он сумеет вовремя разгруппироваться и его смогут поймать. Однако скорость в четверном (и тем более в четверном с половиной) сальто настолько велика, что у гимнаста все плывет перед глазами и ему трудно точно фиксировать обороты. Вот почему после таких кульбитов его практически невозможно поймать.

1.98. Падающий бутерброд

Бутерброд лежит на кухонном столе стороной с маслом вверх. Вдруг кто-то ударяет по столу, и бутерброд падает на пол. Правда ли, что бутерброд всегда шлепается маслом вниз? (Проявление известного закон Мерфи, который утверждает, что, если неприятность может произойти, она обязательно произойдет.)

ОТВЕТ • Если бутерброд лишь слегка подтолкнули (а не ударили сильно) и он упал со стола, то можно угадать, какой стороной он приземлится на пол, зная три вещи: высоту стола, трение между бутербродом и поверхностью стола и начальный свес бутерброда с края стола (насколько бутерброд выступал за край стола в момент падения). Когда стол покачнется, центр бутерброда переместится за край стола, и бутерброд начнет вращаться вокруг этого края. Кроме того, он станет скользить по этому краю. Сложение вращения и скольжения определит скорость, с которой бутерброд будет кувыркаться во время полета со стола на пол. Если эта скорость достаточна, чтобы за время падения повернуть бутерброд на угол от 90° до 270°, бутерброд упадет маслом вниз. При стандартной высоте стола и величине трения, а также если использовался обычный хлеб для тостов, падение бутерброда маслом вниз происходит как в области маленьких свесов, так и в области больших свесов, а при промежуточных значениях свесов бутерброды падают маслом вверх. А теперь, когда вы вооружены теорией, запаситесь бутербродами и экспериментируйте.

1.99. Балет

За красотой и грацией, присущими балету, скрываются физические законы, которые не всегда легко распознать. Если танцует профессионал, вы никогда не заметите в его исполнении физику – наоборот, его движения вам покажутся в чем-то странными, как будто нарушающими законы физики, а в чем именно, не сразу понятно. Вот два примера.

В прыжке гранд жете с поворотом и шпагатом в воздухе балерина прыгает, отталкиваясь от пола, без видимого вращения, и каким-то образом начинает вращаться уже в воздухе. (Она не использует тот же прием, что космонавт, про которого мы говорили ранее, иначе это не выглядело бы так красиво и, возможно, требовало бы слишком много времени.) Непосредственно перед тем как опуститься на пол, балерина прекращает вращение.

Фуэте – это непрерывная серия пируэтов, когда балерина крутится на одной ноге, периодически вытягивая и поджимая другую ногу. В одном из самых известных фуэте в третьем акте классического балета «Лебединое озеро» балерина, исполняющая партию Черного лебедя Одиллии, делает 32 оборота.

Как в этих двух случаях происходит вращение?

ОТВЕТ • В прыжке гранд жете ан турнан возникает иллюзия того, что вращение начинается и прекращается в воздухе, а возникает она из-за того, что балерина вытягивает и прижимает руки во время прыжка. Эти движения изменяют ее момент инерции, который зависит от распределения массы балерины относительно оси ее вращения. Ее угловой момент есть произведение момента инерции на угловую скорость, с которой она крутится. Во время прыжка изменить свой угловой момент балерина не может. Она начинает свой прыжок с вытянутыми руками и отставленной одной ногой и, соответственно, с маленькой скоростью вращения, незаметной зрителям. Уже в воздухе она грациозно прижимает руки и приставляет ногу, уменьшая таким образом момент инерции. Поскольку угловой момент измениться не может, скорость ее вращения увеличивается и становится заметной зрителям – им кажется, что балерина волшебным образом повернулась уже в воздухе. Когда она готовится опуститься на пол, то опять вытягивает руки и ногу и восстанавливает начальный момент инерции. Ее скорость вращения опять становится слишком маленькой, чтобы публика заметила его, и кажется, что балерина в воздухе «выключила» вращение.

Во время фуэте балерина отталкивается от пола, чтобы начать вращение, и встает на пуанты на одной ноге. Затем она приставляет другую ногу к первой, чтобы увеличить скорость вращения. Когда балерина оказывается лицом к публике, она опять вытягивает свободную ногу, так что та постепенно подхватывает угловой момент всего тела, и какое-то мгновение нога еще вращается, а туловище – нет. Эта пауза позволяет балерине на мгновение опуститься с пуантов и оттолкнуться ногой, чтобы сделать следующий оборот.

1.100 Повороты на лыжах

Есть множество способов повернуть при спуске по склону, но что именно заставляет вас повернуть? Если вы делаете «австрийский поворот», сначала вы приседаете, а потом резко выпрямляетесь, одновременно поворачивая верхнюю часть туловища в направлении, противоположном направлению намеченного поворота.

При другом способе мы ставим лыжи плоско на снег и при поворотах переносим вес своего тела вперед или назад. Куда именно переносить вес тела, зависит от того, под каким углом вы хотите спуститься со склона. Путь прямо вниз по склону называется линией спада. Если вы спускаетесь левее относительно линии спада и перенесете вес вперед, то вы повернете по часовой стрелке (см. рис. 1.35, вид сверху). Если же вы перенесете вес назад, поворот будет в противоположном направлении. Все произойдет с точностью до наоборот, если вы будете спускаться правее от линии спада.

Рис. 1.35 / Задача 1.100. Силы, приложенные к лыже при: а) нормальной стойке лыжника, б) передней стойке и в) задней стойке.

Повороты можно также выполнить, кантуя лыжи – наклоняя их так, чтобы ближний к вершине кант врезался в снег. Например, при движении левее от линии спада, если вы встанете на канты и сдвинете вес вперед, вы повернете против часовой стрелки. Заметьте, что при кантовании перенос веса приведет к повороту в противоположном направлении по сравнению с поворотом, выполняемым на плоских лыжах.

Почему у лыж для слаломных соревнований внешний край искривляется спереди назад? Почему некоторые лыжники предпочитают коротким лыжам длинные? Почему, когда вы спускаетесь вдоль линии спада, вы должны наклониться вперед так, чтобы туловище было перпендикулярно склону? Почему если вы опрометчиво поедете вниз в вертикальной стойке, то, скорее всего, упадете?

Новый способ поворота при спуске по склону на лыжах описал в 1971 году Дерек Свинсон из Университета Нью-Мексико. Вместо лыжных палок Свинсон взял тяжелое вращающееся велосипедное колесо, насаженное на ось с ручками, за которые Свинсон и держал его. Плоскость колеса была вертикальной, и верхняя его часть вращалась от лыжника. Когда он хотел повернуть направо, он опускал правую руку и поднимал левую. Чтобы повернуть налево, проделывал все наоборот. Что заставляло Свинсона повернуть?

ОТВЕТ • «Австрийский поворот» похож на поворот, про который рассказывалось в предыдущих задачах (например, про падающую кошку). После того как вы быстро выпрямляетесь – почти выпрыгиваете вверх, – давление на лыжи падает, и на какую-то долю секунды трение между лыжами и снегом уменьшается или вообще исчезает. В это время ваш угловой момент равен нулю, и поскольку трения больше нет, оно не может создать момент внешних сил, а следовательно, и угловой момент измениться не может. Таким образом, если в этот момент вы поворачиваете верхнюю часть туловища влево, нижняя часть вместе с лыжами поворачивается вправо. Как только ваш вес опять начинает давить на лыжи, сразу появляется и трение, и оно дает возможность повернуть верхнюю часть туловища в новом направлении движения.

Чтобы понять, как работает метод поворота на плоских лыжах, предположим, что вы едете левее от линии спада в обычной стойке, когда вес приходится на центр лыж. Предположим также, что трение равномерно распределено по всей длине лыжи. Трение в передней части лыжи имеет составляющую (компоненту), направленную вверх по склону, и создает вращающий момент, стремящийся повернуть лыжи влево вокруг центра масс (рис. 1.35а). Трение в задней части лыжи создает вращающий момент, стремящийся развернуть лыжника вправо. В обоих случаях величина вращающего момента зависит от того, какова величина трения и как оно распределено по отношению к центру масс. Трение в точках, расположенных вдали от центра масс (у них большее плечо) создает больший вращающий момент, чем трение в близких точках. Если и величина, и распределение трения одинаковы в передней и задней частях лыжи, вращения не происходит.

Если же вы сдвинете свой центр масс вперед, вы измените баланс между вращательными моментами (рис. 1.35б). Теперь не половина, а больше половины лыжи находится позади центра масс и меньше – впереди, следовательно, сила трения у задней части больше, чем у передней. К тому же трение во многих точках задней части лыжи приложено дальше, а в большинстве точек передней части – ближе к центру масс. Поэтому вращающий момент, приложенный к задней части лыжи, преобладает, и вы поворачиваете направо.

Если вы кантуете лыжи, наклоняя корпус вперед, они врезаются в снег, и трение в передней части лыжи увеличивается, а в задней – уменьшается (рис. 1.35в). В этом случае вращающий момент, действующий на переднюю часть лыжи, преобладает, и вы поворачиваете налево.

Край (кант) лыж для слалома слегка искривлен, чтобы было легче поворачивать. Когда вы вдавливаете этот кант в снег и скользите по траектории, являющейся продолжением искривленного края лыжи, трение будет минимальным.

На коротких лыжах так сильно подбрасывает на неровной поверхности, что можно легко потерять равновесие. Хотя длинными лыжами труднее управлять, на них подбрасывает меньше.

Чтобы понять, почему нужно наклоняться вперед при спуске по линии спада, представьте себе, что вес лыжника – это вектор, проведенный через центр его масс. Вектор можно разложить на две составляющие (компоненты). Одна компонента направлена вниз по склону (она ответственна за движение лыжника), а вторая перпендикулярна ему. Чтобы лыжник не потерял равновесия, этот перпендикуляр должен проходить через ступни спортсмена. А если лыжник решит на спуске не наклоняться, возникнет вращающий момент относительно ступней, который может опрокинуть лыжника назад.

Рассмотрим описанную демонстрацию Свинсона с крутящимся колесом и предположим, что трением в этом случае можно пренебречь, то есть будем считать, что участники (колесо – это тоже участник) изолированы от внешних сил, которые могли бы создать вращающий момент. Посмотрим на Свинсона сверху. Поскольку колесо вначале вращалось вокруг горизонтальной оси, вокруг линии, по которой вы смотрите, не может быть вращения, то есть ни колесо, ни Свинсон не имеют углового момента относительно вертикальной оси. Это следствие отсутствия внешних крутящих сил, и такое положение не может измениться. Если Свинсон опускает правую ручку и поднимает левую, сверху можно увидеть, что колесо вращается против часовой стрелки – это значит, что оно приобрело некоторый угловой момент относительно вертикальной оси. Чтобы общий угловой момент остался нулевым, каким он и был вначале, Свинсон должен будет повернуть по часовой стрелке (если смотреть сверху), то есть вправо.

1.101. Как проползти по скользкому льду

Вы просыпаетесь и обнаруживаете, что оказались посреди большого замерзшего пруда и лед такой скользкий, что по нему невозможно не только идти, но и ползти. Как же оттуда выбраться?

Предположим, вы лежите на льду лицом вниз и думаете, как выбраться. Чтобы не замерзнуть окончательно, вам для начала нужно перевернуться на спину. Как же это сделать?

ОТВЕТ • Бросьте ботинок или какой-то другой предмет в любом направлении, и вы сдвинетесь (к сожалению, ненамного) в противоположном. Поскольку трения между вами и льдом нет, общее количество движения – вашего и брошенного ботинка – останется равным нулю. Когда вы сообщаете импульс брошенному предмету, вы приобретаете точно такой же импульс в противоположном направлении.

Те же физические процессы происходят, когда кто-то пытается катнуть шар для боулинга, стоя на роликовых коньках, у которых трение качения мало. Я как-то раз попытался. Коньки подо мной поехали назад, корпус остался на месте, и от падения лицом вниз меня спасло лишь то, что я схватился за человека рядом.

Чтобы перевернуться на очень скользком льду, нужно вытянуть одну руку и аккуратно ударить ею по льду. Хотя между льдом и рукой нет трения, при ударе со стороны льда на руку подействует сила, направленная вверх. Эта сила позволит вам перевернуться на спину.

1.102. Короткая история. Последовательность вращений имеет значение

Если вы пройдете три метра на север, три метра на восток, три метра на запад и три метра на юг, вы вернетесь в ту же самую точку, независимо от того, в какой последовательности вы проделаете эти четыре коротких отрезка пути. (Чтобы иметь возможность проделать все эти эволюции, вы должны находиться не ближе трех метров к любому из полюсов.) С вращением все иначе. Опустите руку вниз ладонью к бедру. Не поворачивая запястье, 1) поднимите руку так, чтобы она была вытянута вперед, 2) в горизонтальной плоскости отведите ее так, чтобы она указывала вправо, и 3) опустите ее вниз так, чтобы она в результате была направлена вдоль туловища. Теперь ладонь направлена вперед. Проделайте все эти движения в обратном порядке – в сторону, вперед, вниз. Тогда рука вернется в исходное положение и будет прижата к бедру. Куда будет направлена ладонь в конце?

1.103. Волчки тоже бывают разные

Почему вращающийся волчок не падает, даже когда он довольно сильно отклоняется от вертикали? Почему некоторые волчки изначально «спят», то есть крутятся, стоя прямо, а другие прецессируют (вершина центральной оси волчка обращается вокруг вертикальной оси, как это показано на рис. 1.36а)? Почему на прецессию часто накладывается нутация – дополнительное вращение оси волчка вокруг конуса с углом, существенно меньшим, чем при прецессии? Существуют ли различные типы нутаций? Почему некоторые вращающиеся волчки сразу опрокидываются, а другие крутятся и крутятся?

Рис. 1.36 / Задача 1.103. а) Прецессия вращающегося волчка относительно вертикальной оси. б) Вращение вектора углового момента вокруг вертикали. в) Нутация при прецессии.

ОТВЕТ • Обычно когда на тело действует сила, оно движется в направлении этой силы. Но когда тело еще и вращается, приложенная сила может вызвать его движение в перпендикулярном этой силе направлении. Такое движение кажется невозможным, и поэтому волчки (и гироскопы вообще) так интересны. Даже если ребенок еще не знаком с физическими законами, он знает, что наклонившийся волчок должен сразу же упасть, а не прецессировать.

Традиционно прецессию объясняют угловым моментом волчка, который зависит от скорости его вращения вокруг длинной оси. Угловой момент – вектор, направленный вдоль этой оси. Представьте себе мгновенный снимок волчка, вращающегося с большой скоростью против часовой стрелки, если смотреть сверху, и наклонившегося под каким-то углом. На рис. 1.36б угловой момент волчка представлен вектором, направленным по центральной оси вверх.

Из-за того, что сила тяжести, действующая на волчок, направлена вниз, она создает вращающий момент, стремящийся повернуть волчок относительно точки соприкосновения его с полом, в результате чего волчок должен упасть. Однако поскольку волчок вращается и уже обладает угловым моментом, этот вращающий момент только меняет направление углового момента, поворачивая вектор вокруг точки опоры, при этом сам вектор движется по поверхности конуса. Поскольку угловой момент направлен вдоль центральной оси волчка, центральная ось движется по той же поверхности.

Как только волчок запустили, он начинает наклоняться, а его центр масс немного опускается. При этом должны выполняться два закона сохранения: угловой момент волчка относительно вертикальной оси и его полная энергия должны оставаться постоянными. Поскольку опускание центра масс приводит к отклонению оси вращения от вертикали, скорость прецессии должна быть достаточно высока, чтобы полный угловой момент оставался постоянным. Вследствие опускания центра масс потенциальная энергия переходит в кинетическую.

Волчок не может продолжить падение, иначе не будут выполняться оба закона сохранения, поэтому центр масс не опускается ниже некоторой точки. Достигнув ее, он снова начинает подниматься, и прецессия замедляется. Такое качание между самой высокой и самой низкой точками, разрешенными законами сохранения, называется нутацией, которая накладывается на прецессию. Существует три типа нутации в зависимости от того, что делает в высшей точке центр масс волчка: волчок может на мгновение перестать прецессировать, продолжить прецессировать в том же направлении, что и в низшей точке, или ненадолго поменять направление прецессии на противоположное (рис. 1.36в). Какой из вариантов волчок выберет, зависит от начальной, то есть приданной волчку при запуске, прецессии – она может совпадать с направлением прецессии, вызванной моментом силы тяжести, быть направлена в противоположную сторону, а может и вообще отсутствовать.

Если раскрутить волчок достаточно сильно и отпустить, он будет крутиться в вертикальном положении без прецессии и нутации. Но поскольку сопротивление воздуха и трение в точке касания пола постепенно «съедают» его энергию, она упадет до некоторой критической, после чего волчок начнет крениться, прецессировать и нутировать. Когда энергия волчка уменьшится еще сильнее, волчок еще больше наклонится, скорость прецессии возрастет, нутация тоже усилится и волчок в конце концов упадет на пол.

Спящий волчок сконструирован так, что может вращаться со скоростью выше критической достаточно долго, так как трение в точке опоры поддерживает волчок в вертикальном положении и он не падает. Обычно такой волчок имеет большой радиус и закругленную опору, хотя и качество поверхности пола тоже важно. Трение возникает из-за того, что опора при вращении волчка проскальзывает на полу, а из-за прецессии она описывает на нем окружность.