Текст книги "Научный риск (введение в анализ)"

Пусть даны метрические пространства Χ, Υ и функция f, определенная на D(f) X. Требуется решить уравнение

f(x) = y* при любом y* Y.           (7.4)

Будем считать, что решение (7.4) существует и оно единственное. Необходимо отыскать элемент x*, который превращает (7.4) в тождество. Отметим, что только в простейших случаях (7.4) имеет аналитически точное решение x*. В общем случае имеет место приближенное решение (7.4).

Рассмотрим кратко задачу приближения в топологическом пространстве и возникающие при этом погрешности, влияющие на научный риск или достоверность научных знаний.

1. Близость приближенного решения. Пусть С_m – метрическое пространство, в котором для множества точек x С_m существует точка «а», для которой d(a, x) < δ есть открытый шар радиуса δ с центром а. При этом ошибка приближения измеряется метрикой d(x_n, x), которая создается в процессе построения произвольного объекта – элемента x с помощью подходящего класса С_m и последовательности элементов x₀, x₁, x₂, … из С_m. Так, например, приближение функции f(x) последовательностью функций S₀(t), S₁(t), S_k(t), … (частичные суммы бесконечного ряда) порождает погрешности δ₀, δ₁, δ₂, … Если дано пространство С функций f(x), g(x), …, непрерывных в интервале 0 ≤ t ≤ 1, то можно использовать метрики

– максимальная ошибка (δ_max);

– средняя квадратическая ошибка (δ₂). При этом уравнение (7.4) заменяется на приближенное:

f_n(x_n) = y^*.          (7.5)

Решение (7.5) обозначается x*_n : x*_n X_n. Тогда зависимость между x_n и x*_n имеет вид x_n = φ_n(x*_n) X_n. Заметим, что x_n может не принадлежать области D(f), так как отображение действует из X_n в X, а не в D(f) X.

Близость приближенного решения x_n к точному x* измеряется величиной ρ_n = d(x_n, x*). Имеет место сходимость, если . Если n – ограничено, то возникает ошибка ρ_n = δ, которая должна быть ограничена или учтена при оценке критерия достоверности научных знаний.

1. Условие аппроксимации. Для каждого оператора С (С: U → V) введем обозначения: D(C) – область задания; R(C) – область значений. Пусть X, Y – вещественные линейные нормированные пространства, в которых (7.4) имеет вид

Ax = y^*,          (7.6)

где А – линейный оператор из X в Y.

Учитывая полученные выше соотношения, предположим, что имеет место равенство f_n(x_n) = A_nх_n, где A_n : X_n → Y_n. Если пространства X_n и Y_n – конечномерные, D(A_n) = X_n, R(A_n) = Y_n, существует A^–1_n, D(ψ_n) = Y_n, D(φ_n) = X_n, тогда уравнение (7.6) заменяется приближенным:

A_nx_n = ψ_ny*.          (7.7)

Считают, что последовательность операторов A_n аппроксимирует А на элементе х D(A), если мера аппроксимации

Таким образом, условие аппроксимации имеет вид

3. Погрешности метода. Пусть X, Y – линейные нормируемые полные пространства; А – линейный оператор из X в Y с областью задания D(A) X. Пусть существует обратный оператор А^–1, доставляющий единственное решение x* для (7.6).

При решении (7.6) возможны погрешности метода или погрешности первого рода, обусловленные искажениями в А и y* в виде (А + В) и (y* + η) соответственно, т. е. имеет место

(A + B)x = y* + η.          (7.8)

Определим оценку ρ = d(x₀, x*), где x₀ – решение (7.8); x* – решение (7.6). Предположим, что в (7.8) оператор B – ограниченный и малый по норме ||B||. Обозначим

μ(A) = || A || · || A^–1 ||,

где ||A · x || ≤ ||A || · || x ||. Тогда имеет место оценка вида

Наличие вычислительных погрешностей δ, которые называют невязкой: δ = (A + B) – (y* + η), где удовлетворяет уравнению (A + B)x = y* + z + δ, приводит к следующей оценке:

Величины ρ, δ, d характеризуют научные потери или риски.

В заключение данного раздела сформулируем одну из основных задач научного риска:

Требуется разработать методы и средства расчета допустимой величины отклонения (ρ(x, y), d(x₀, x*), …), согласно требованиям практической реализации теоретических результатов.

7.2. О достоверности научных знаний в естествознании

Проблема разработки критериев достоверности научных знаний обусловлена не только тем, что «…любая система включает в себя элементы, не могущие быть обоснованными теоретическими средствами вообще, но и тем, что без наличия подобного ряда элементов не может существовать никакая научная система знаний…» [39].

Множество искусственных объектов, построенных на основании достоверных научных знаний, ограничено в связи с тем, что объем и глубина научных знаний малы по сравнению с тем, что требуется от них для создания мира искусственных объектов, обслуживающего нашу жизнь.

В подавляющем большинстве уже созданные искусственные объекты не обеспечены на 100 % достоверными научными знаниями. Наука гарантирует правильность идей и свойств лишь в ограниченной области существования (функционирования) этих объектов. Мир искусственный так же, как и физический, обладает чрезвычайно большим количеством объектов с различными свойствами, для изучения каждого из которых теория должна иметь необходимый инструментарий.

Рис. 7.2

Пусть G_B (рис. 7.2) есть множество искусственных объектов. И только часть G₀ этих объектов создана с использованием достоверных научных знаний, их свойства научно обоснованы, причем во всей области их существования, т. е. области B₀, в которой изменяются выходные параметры х(t), их состояния, и B₁, B₂, в которых изменяются внешние и внутренние возмущающие факторы W(t) и V(t) соответственно.

Научные знания разделим на научные знания, полученные чисто экспериментальным и чисто теоретическим путем (рис. 7.3): x – граница научных знаний, полученных с помощью (с использованием) чувственного мира человека, в том числе эксперимента; y – граница научных знаний, полученных с помощью (с использованием) абстрактных теорий, созданных человеком; V_нз – объем научных знаний; D_нз – объем достоверных научных знаний; ΔD_нз – объем недостоверных научных знаний.

Рис. 7.3

Наличие границы x, связанной с микромиром, подчеркивает творец квантовой механики В. Гейзенберг (1976 г.) [14]. Наличие границы «y» убедительно подтверждает директор Института философии П.В. Копнин (1971 г.) [39]. Наличие области G₁ подчеркивает Р. Оппенгеймер (1967 г.). Что же такое область G₃? Это бесконечно малая величина в сравнении с G₁ и G₂. Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих данную мысль.

I. Часто процесс формирования современных научных знаний об объекте Х мира чувственных объектов включает два этапа. На первом этапе объект Х рассматривается в области детерминированных состояний (детерминированный объект), на втором – объект Х погружается в вероятностное пространство, изучается как стохастический объект [68].

Как правило, формирование научных знаний начинается с изучения детерминированных объектов. При этом без первых нет вторых, и в этом смысле можно говорить о первичности знаний, сформированных при изучении детерминированных объектов. Достоверность или истинность научных знаний, сформулированных в виде детерминированных – представленных, в том числе в виде детерминированных объектов Y, выявляется с помощью критериев типа |x – y| < ε (см. 1.4), где ε – погрешность (детерминированная) измерения; x, y – процессы состояния детерминированных объектов. Подобные критерии широко используются в современной физике, механике. В силу сказанного они являются первичными критериями достоверности научных знаний.

На втором этапе исследования объект X = X(w) рассматривается под влиянием случайных, как правило, неконтролируемых факторов (w). В этих условиях вновь появляется проблема достоверности научных знаний, которые могут быть использованы при построении мира искусственных объектов. Для иллюстрации сказанного рассмотрим пример.

В пространстве детерминированных состояний, когда рассматривается, например, движение самолета без учета влияния возмущающих факторов, уравнения его движения имеют вид

= f(x, u, t), z = φ(x, t), u = ψ(z, t),

где x = (x₁, …, x_n) – вектор параметров траектории полета; u – управление (вектор); z = (z₁, …, z_m) – вектор наблюдения; f, φ – известные функции.

Такие модели используются, как правило, для исследования устойчивости траектории движения самолета [59], определения скорости флаттера, т. е. определения области устойчивости состояния (колебаний) крыла, а также формирования, например, программного управления. Решение подобных задач проводится с помощью специально разработанных теорий, достоверность которых проверяется с помощью первичных критериев.

Следующий этап исследования объекта Х связан с введением в его структуру случайных или неопределенных (неконтролируемых) факторов. В этом случае, например, движение самолета описывается системой уравнений

= f(x, u, w, t), z = φ(x, v, t), u = ψ(z, t),

где w, v – возмущающие факторы (внешнего и внутреннего происхождения), оказывающие воздействие собственно на самолет и на средства измерения z параметров x(t) его траектории соответственно.

II. Рассмотрим решение задачи устойчивости. С этой целью в простейшем случае исходному объекту x мы ставим в соответствие новый объект y (y = Δx), который описывается системой линейных дифференциальных уравнений вида = AΔx, где Δx = x₀ – x_ф; x₀ – опорное или невозмущенное состояние; x_ф – возмущенное или фактическое состояние объекта x; Δx – отклонение возмущенного движения от невозмущенного (за счет начальных возмущений); A – матрица соответствующей размерности.

При этом мы рассматриваем объект X в момент времени t₀. Линеаризуем исходное уравнение, в результате матрица А имеет при t = t₀ постоянные элементы, и тогда можно говорить о собственных значениях λ_i этой матрицы, которые должны быть отрицательными, чтобы процесс Δx был затухающим, и тогда самолет будет устойчив. При этом теория достоверна, если мы устанавливаем, что | x_i – y_i | < ε, т. е., например, процесс x_i на выходе физического объекта X отличается от процесса y_i, полученного согласно теории объекта Y, меньше чем на ε. Установив | x – y | < ε, где x, y, ε – детерминированные величины, мы признаем теорию и порожденные ею знания достоверными согласно постулату Н.Г. Четаева [64].

Полученные знания описывают только одну точку в пространстве параметров x(t₀) = (x⁰₁, …, x⁰_n) траектории самолета, вычисленных при t = t₀. Этим параметрам соответствуют вполне определенные значения элементов a_ij(t₀) матрицы А(t₀) с вполне определенными значениями λ_i(t₀) . При полете самолета параметры x(t) изменяются в некоторой области G, при этом изменяются a_ij(t) – элементы матрицы A, следовательно, и λ_i. Для каждого самолета существует область G_доп параметров x(t), внутри которой Reλ_i < 0, т. е. самолет устойчив в общем случае относительно изменений x(t). В случае когда x G_доп, коэффициенты a_ij таковы, что значения λ_i ≥ 0 . Таким образом, теория позволяет нам определить G_доп, т. е. область допустимых значений параметров x.

Проблема распространения полученных результатов на практике наталкивается на наличие погрешностей в определении a_ij(t₀), соответствующих x(t₀). При этом возникает

ā_ij(t₀) = a_ij(t₀) + δa_ij(t₀),

где a_ij(t₀) – параметры, принятые при расчете λ_i(t₀) и, соответственно, при построении G_доп; ā_ij(t₀) – фактические значения a_ij(t₀); δa_ij (t₀) – погрешность.

Кроме погрешности δa_ij(t₀), которая влияет на λ_i(t₀) и G_доп, возникает погрешность измерения x(t₀). При этом имеем: = x(t₀) + δx(t₀), где x(t₀) – расчетное, а  – фактическое значение x(t₀); δx(t₀) – погрешность измерения. Погрешности δa_ij, δx(t₀) обусловливают необходимость изменения (как правило, уменьшения) области G_доп до некоторой новой области G⁰_доп значения параметров x(t₀) траектории полета, для которых условие x(t₀) G⁰_доп недопустимо из условия устойчивости.

Для построения области G⁰_доп и оценки достоверности научных знаний на этапе внедрения в практику необходимы вторичные критерии достоверности научных знаний. В случае когда исходная математическая модель описывает случайные функции или процессы, возникает аналогичная ситуация.

Рассмотрим задачу фильтрации случайных процессов, результаты которой в виде оптимальной оценки наблюдаемого процесса x(t) используются в теории управления.

Первые результаты в классической теории фильтрации сигналов и предсказания были получены А.Н. Колмогоровым и Н. Винером для стационарных систем. В качестве входного сигнала фильтра рассматривался процесс z(t) = h(t + r) + f(t), где h(t + r) – полезный сигнал; r > 0 – задача прогноза; r = 0 – задача фильтрации; f(t) – помеха, стационарный случайный процесс с нулевым средним значением. При этом получено необходимое и достаточное условие минимума дисперсии:

M{ε²} = M{[h(t + r) – x(t)]²},

где х(t) – оценка полезного сигнала h(t). Область применимости такой теории оказалась слишком узкой. Погрешности определяются не только выходом из заданной области, но и видом f(t) в самой области.

С целью уменьшения погрешности теории, в том числе расширения области ее применимости, на втором этапе, используя многообразие пространственно-временных методов, Шинбрат, Стиг, Пугачев, Парзен решили ряд трудных проблем в области нестационарной теории фильтрации и теории предсказания. Третий этап блестяще завершила работа Калмана, Бьюси [70], которой предшествовали работы Фоллэна, Хэнсона.

В работах Бьюси найдены явные соотношения между оптимальными весовыми функциями и дисперсией ошибки наблюдения, где также дан прямой вывод корреляционного уравнения и уравнения оптимального фильтра для широкого класса нестационарных сигналов и статистик помех. В завершающей работе этапа получено нелинейное дифференциальное уравнение типа Риккати для корреляционной матрицы ошибки оптимального фильтра. При этом использовались две идеи: динамическая система рассматривалась в режиме перемещения в пространстве состояния; линейная фильтрация рассматривалась как ортогональная проекция в гильбертовом пространстве.

Структура модели оптимальной оценки процесса х задается в виде

где z = С(t)x(t) + v(t); А(t,τ) – матрица вида (n × p), элементы которой непрерывные и дифференцируемые по обоим аргументам, выбрана так, что M{x(t) – }² достигает минимума; С(t) – матрица с заданными элементами n_ij; v – вектор шумов (погрешностей) измерения.

Рассмотрим фильтр Калмана для стационарной системы с бесконечным временем наблюдения [57]. При этом оптимальный фильтр описывается дифференциальным уравнением

где Р – симметрическая положительно-определенная матрица; С – матрица; R – симметрическая положительно-определенная m ×  матрица; z = Cx = v(t); cov{v(t), v*(τ)} = δ(t – τ)R(t), δ(t) – дельта-функция.

Существенным моментом здесь является асимптотическая устойчивость (7.9), так как характеристические числа матрицы В = A – PC^TR^–1C имеют отрицательные действительные части. При этом матрица А(t) в (7.9) получена из уравнений, описывающих состояние стационарной системы, например, в момент времени t₀: Δx = A Δx + Bu. В полете, когда x = (x₁,…, x_n) изменяются, изменяется А, что приводит к изменению Р. В результате мы приходим к случаю, рассмотренному выше. Из всего сказанного следует вывод: для оптимального фильтра существует область Ω_доп параметров x, в которой имеет место (7.9). Если x Ω_доп, (7.9) теряет смысл, что обусловливает необходимость введения вторичных критериев достоверности знаний относительно оптимальной оценки.

Дальнейшая задача состоит в перенесении полученных знаний из мира абстрактных объектов (А-объектов) в искусственный, построенный человеком, который в совокупности с физическим миром представляет мир вещественных объектов (В-объектов).

Наиболее идеальным объектом применения разработанной теории фильтрации является космическая техника, а также эконометрика. При этом для построения фильтра Калмана необходимо знать коэффициенты матриц в уравнениях (7.9), и во многих космических приложениях они действительно могут быть вычислены из вполне определенной динамики системы. Кроме того, шум, например, в системах телеметрии близок к белому, что обусловливает близость результатов в теории к реальным процессам. Однако при более детальном рассмотрении проблемы измерения мы убеждаемся, что помеха измерения не всегда является белым шумом, а представляет собой, в некоторых случаях, гауссовский случайный процесс.

В связи с этим подчеркнем, что достоверные научные знания в теории фильтрации получены в весьма узкой области объектов гауссовской природы, для которых линейная оценка является не только наилучшей среди линейных оценок, но и наилучшей среди нелинейных, если она построена в условиях минимума

M{(x – f(y))²}, где f(y) = .

Итак, исходя из указанных условий, получен фильтр, который охватывает некоторую область объектов G₁, и для этих объектов получены достоверные знания объема V_нз в виде моделей фильтров и математических моделей для параметров этих фильтров (уравнение ковариационной матрицы). Однако в реальности имеют место объекты, образующие область G₂, в которых погрешности (v) – либо усеченный гауссовский процесс, либо равномерно распределенная ограниченная функция. И в этом случае теория Калмана не работает [22], а на границе этой области необходимо разработать вторичные критерии достоверности знаний.

В работе [22] рассмотрена задача построения погрешности v(t) измерения (наблюдения). Полученная при этом модель существенно сложнее рассмотренных выше. Основные ее отличия: погрешности имеют ограниченный диапазон изменений, что сказывается на плотности вероятностей; погрешность есть композиция различных составляющих погрешностей, в том числе с равномерным и гауссовским законами распределения. Для построения оптимальной оценки нужно расширить область G₁ так, чтобы она включала G₂, которая включает объекты с указанными погрешностями, и увеличить объем научных знаний от (V_нз) до (V_нз)₂ области G₂.

Кроме сказанного, существует другая проблема, которая связана с подтверждением достоверности научных знаний для распространения их на вещественные (искусственные) объекты.

Пусть рассматривается динамический объект, для которого, как правило, существуют ограничения на параметры x(t) его состояния вида x(t) ≤ x_кр, где x_кр – такие значения параметров x, превышение которых приводит к катастрофе (потере устойчивости, разрушению).

Пусть для этой системы мы построили фильтр Калмана, с помощью которого формируется оптимальная оценка для процесса x(t). Как правило, оценка используется в динамической системе для целей управления.

С учетом сказанного, кроме оптимальности мы должны рассмотреть влияние на процесс управления, а именно, возникновение ситуации, связанной с выходом в область критических значений x, в силу того что x(t) зависит от , т. е. x = x(t, ). Однако для того, чтобы использовать при управлении процессом x(t), на который наложены ограничения вида x(t) Ω_доп, мы должны быть уверены, что погрешность оптимальной оценки находится в некоторой области значений, такой, что показатели риска (вероятности) не превышают допустимых значений. По этой причине необходимы критерии, с помощью которых гарантируется с определенной достоверностью отсутствие катастрофы, связанной с выходом x из Ω_доп.

7.3. Вторичные критерии достоверности научных знаний

В силу существования различных подходов к построению критериев достоверности научных знаний рассмотрим отдельно объекты, с помощью которых формируются детерминированные и случайные функции (процессы) и, в частности, величины.

В качестве примера рассмотрим проблему проектирования самолета нового класса. Пусть, согласно существующим теориям аэродинамики, прочности, наблюдения (контроля), управления, спроектирован самолет и в итоге расчетов получена расчетная дальность полета L_P = X. В реальности для идеальных условий полета, принятых при расчетах, совершен полет на максимальную дальность. В результате получена фактическая дальность L_ф = Υ, в общем случае отличная от расчетной.

Вычислив | X – Υ | = ρ, мы получили, что погрешность теоретических расчетов составляет ρ = ε. Пусть допустимая величина ρ задана и равна ε_доп. В случае если ε < ε_доп, теория признается достоверной, а примененный критерий в дальнейшем будем называть первичным.

Аналогично можно рассмотреть в задаче устойчивости (см. п. 7.2.1) в качестве критерия | х_i –~ y_i |= ρ, где х_i, у_i, – корни характеристического уравнения.

В дальнейшем в основу процедуры количественной оценки достоверности научных знаний положим постулат Н.Г. Четаева [64], являющийся постулатом достоверности законов механики и физики (см. главу I). При этом мы предполагаем, что X – детерминированный процесс, значение которого может быть измерено с некоторой погрешностью ε, максимальная величина которой нам известна. Назовем этот критерий первичным критерием достоверности научных знаний.