Текст книги "Научный риск (введение в анализ)"

7.6.2. Интуиционизм

Основной тезис, не вызывающий ни у кого сомнения: математика – это продукт научного творчества, умственного труда человека. Отсюда следует, что основным критерием истинности математических суждений является содержательное умозаключение, включающее возможность построения мысленного эксперимента, связанного с этим суждением.

Возникает вторая область по отношению к содержательному умозаключению, включающая антиномию, которая подвергает сомнению истинность математических суждений в классической математике. Истоки этого лежат в области сущности абстрактных и чувственных объектов. Так, при обычной теоретико-множественной трактовке, при изучении моделей объектов не делается никакого различия между объектами, существование которых можно подтвердить с помощью некоторого потенциально осуществимого построения, и абстрактными теоретико-множественными объектами. Способы установления свойств обоих типов объектов в классической математике основаны на законах логики, возникающих в результате экстраполяции законов, верных для конечных совокупностей, на бесконечные множества. Главное – законы в области бесконечного не предполагают построение объектов, существование которых утверждается.

Эта ситуация порождает «теоремы чистого существования», когда утверждается наличие объекта, модели, но способ их построения не указывается, что приводит к порождению ΔD_нз. Так, например, есть теорема в математическом анализе: всякая непрерывная действительная функция, заданная на замкнутом ограниченном множестве, имеет максимум. При этом в рамках теоремы не указан способ отыскания максимума.

Утверждение, что всякая функция рассматриваемого класса, независимо от того, можно ли отыскать или нет, ее экстремум (в каждом частном случае) есть объект (модель) некоторого воображаемого мира, возможно, не имеющего места. Если мы не можем указать способ отыскания максимума, то в каком-то смысле верно, что максимум существует у всякой функции рассматриваемого класса, так, например, для многочлена с рациональными коэффициентами от нескольких переменных это отыскание – довольно сложный процесс.

При построении абстрактного мира с помощью математических моделей, отображающих чувственный мир, используется доказательство суждения (теоремы, леммы, гипотезы). В процессе формирования суждения и доказательства мы вносим, в различной мере, неопределенность W, которая эквивалентна (в некотором смысле) погрешности измерений δ_x. В результате доказательства получаем некоторые новые научные знания объема V_нз, которые включают как достоверные научные знания D_нз, так и недостоверные ΔD_нз, обусловленные W, т. е. ΔD_нз = ΔD_нз(W). Именно V_нз нам дано понимать (наблюдать) или оценивать, и мы можем говорить, что величина V_нз = V⁰_нз есть оценка того, что мы получили, в силу того, что D_нз нам неизвестна.

Интуиционистская математика – это абстрактная наука об интуитивно убедительных мысленных построениях. Ее идеолог Брауэр рассматривал мысленные построения как таковые: «безотносительно к таким вопросам о природе конструируемых объектов, как вопрос, существуют ли эти объекты независимо от нашего знания о них» [15].

В чем суть такой математики? В отличие от классической математики суждение (абстрактная модель) считается истинным, только если математик имеет возможность его доказать. Доказательство связано с разработкой вполне конкретной конструкции, обусловленной возможностями конкретного человека, несущего свои неопределенности в виде допущений, предварительных условий в процессе доказательств. Так, например, утверждение, начинающееся с «квантора существования» вида «x: А(x)» (читается так: существует x такой, что А(х)), может быть доказано только при наличии такого объекта x, для которого доказывается суждение А(х).

Развитие теории доказательств позволило оформить в виде точных исследований основные интуиционистские теории и подвергнуть их точному исследованию. Развитие вычислительной тенденции в математике пробудило интерес к логическому анализу эффективных средств доказательства и изучения абстракций, применяемых в математике.

Важное значение имеют модели теорий в алгебраической системе, когда каждому символу языка ставится в соответствие некоторый алгебраический объект. При этом алгебраическая система называется моделью формальной теории Т, если все формулы, выводимые в Т, истинны в семантике порожденной алгебраической системы. К. Гедель доказал, что всякое непротиворечивое исчисление имеет модель. При этом (А.И. Мальцев) если каждый конечный фрагмент исчисления имеет модель, то и все исчисление в целом имеет модель. В интуиционизме существует две оценки теории Т:

– сложность алгоритмов разрешения теорий, включающих классическое исчисление предикатов, содержащих разрешимые и неразрешимые классы формул, заданных в терминах расположения кванторов в формуле, и вида предикатных символов, встречающихся в формуле;

– методы оценки сложности выводов, включающие длину доказательств; время, требуемое для поиска вывода; сложность формул, фигурирующих в выводе и др.

Здесь методы доказательств теории смыкаются с методами теоретической кибернетики.

7.6.3. Конструктивная математика

Это математическое мировоззрение, базой которого является установление существования математических объектов с возможностью их построения, отвергающее ряд установок традиционной теоретико-множественной математики и, в частности, чистых теорем существования [82].

Конструктивная математика была и есть элемент классической математики, однако только К. Гаусс отчетливо выразил принципиальное различие потенциальной и актуальной математической бесконечности, отрицая последнюю.

В период кризиса математики в начале XX века Л. Брауэр в качестве альтернативы теоретико-множественному подходу предложил так называемую интуиционистскую математику [15], представляющую собой первую попытку построения математики на конструктивной основе. Лидером в данном направлении был Д. Гильберт, благодаря идеям которого это направление получило развитие посредством изучения математического понятия алгоритма и было развито в дальнейшем в работах А.А. Маркова.

Основные моменты конструктивной математики:

– предметом изучения являются конструктивные процессы и возникающие в результате их выполнения конструктивные объекты;

– рассмотрение конструктивных процессов и объектов производится в рамках абстракции потенциальной осуществимости с полным исключением идеи актуальной бесконечности;

– интуитивное понятие эффективности связывается с точным понятием алгоритма;

– используется специальная конструктивная логика, учитывающая специфику конструктивных процессов и объектов.

Конструктивная математика не разделяет свойственное интуиционизму убеждение в первоначальном характере математической интуиции, считая, что сама эта интуиция формируется под влиянием практической деятельности человека. Соответственно, абстрагирование здесь идет не от умственных построений, как в интуиционизме, а от простейших реально наблюдаемых конструктивных процессов.

Полученные в конструктивной математике теоретические модели основаны на более скромной теории, чем в обычной системе абстракций, хотя и уступают традиционным способам в прозрачности обслужить тот же круг приложений.

Подведя итог сказанному, отметим, что по способам и методам построения абстрактных объектов (их моделей) можно выделить области, заполненные объектами G₁, G₂, G₃ (рис. 7.8), в каждой из которых используется соответственно:

– классическая математика – G₃;

– интуиционистская математика – G₂;

– конструктивная математика – G₁.

Рис. 7.8

Отметим, что области G₁, G₂, G₃ в общем случае пересекаются.

Таким образом, по способу доказательств абстрактный мир исследуется с помощью моделей: классической (М₃); конструктивной (М₁) и интуиционистской математики (М₂). Такая классификация объектов и моделей позволяет исследователю рассматривать проблему погрешности, сложности в их взаимосвязи с конкретным абстрактным объектом.

Feci quod potui, faciant meliora potentes

Литература

1. Антология мировой философии. – В 4-х т. – М.: Мысль – Т. 1, – 1969.

2. Ахлибинский Б.В. Чудо нашего времени // Кибернетика и проблемы развития. – Л.: Наука, 1963.

3. Берг Л. Трудности теории эволюции. – Л.: Наука, 1932.

4. Библер В.С. Мышление как творчество. – М.: Политиздат, 1975.

5. Библия. Синодальное издание. – М., 1998.

6. Бисплингхорф Р.Л., Эшли Х., Халфмэн Р.Л. Аэроупругость. – М.: Иностр. лит., 1958.

7. Вебер М. Избранные произведения. – М.: Прогресс, 1990.

8. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. – М.: Наука, 1975.

9. Вернадский В.И. Избранные труды по истории науки. – М.: Наука, 1981.

10. Вернадский В.И. Научная мысль как планетарное явление. – М.: Наука, 1991.

11. Вернадский В.И. Научное творчество как часть национальной культуры. – М.: Наука, 1972.

12. Винер Н. Кибернетика и общество. – М.: Мир, 1958.

13. Гайденко П.П. Эволюция понятия науки. – М.: Наука, 1980.

14. Гейзенберг В. Философские проблемы атомной физики / Пер. с англ. – М.: Наука, 1953.

15. Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. / Пер. с англ. – М.: Мир, 1965.

16. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. – В 2-х книгах. – М.: Наука, 1984.

17. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. – М.: Мир, 1977.

18. Горелик Г.С. Нелинейные колебания, интерференция и флуктуация. // Изв. АН СССР – Т. 14. – Вып. 2. – 1950.

19. Декарт Р. Избранные произведения. – М.: Гос. изд-во полит. лит-ры, 1950.

20. Ермаков С.М., Некруткин В.В., Сипин А.С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. – М.: Наука, 1984.

21. Живетин В.Б. Аэромеханический контроль. – Казань: Казанское математическое общество, 2000.

22. Живетин В.Б. Введение в анализ риска. – Казань: Казанское математическое общество, 2000.

23. Живетин В.Б. Технический риск. – Жуковский: «ГРАФ», 2001.

24. Живетин В.Б. Человеческий риск. – Жуковский: «ГРАФ», 2001.

25. Зеньковский В.В. Основы христианской философии. – М.: Канон, 1997.

26. Казютинский В.В. Астрономия и диалектика //Астрономический календарь. – Ежегодник. – Вып. 73. – М. 1969.

27. Калашников В.В. Качественный анализ поведения сложных систем методом пробных функций. – М.: Наука.

28. Калман Р., Бъюси Р. Новые результаты в линейной фильтрации, техническая механика. – № 1, серия Д. – 1961.

29. Кант И. Сочинения в 6 т. – М.: Наука, 1965.

30. Колесников К.С., Сухов В.Н. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления. – М.: Машиностроение, 1974.

31. Косарева Л.И. Рождение науки нового времени из духа культуры. – М.: Институт психологии РАН, 1997.

32. Косидовский З. Библейские сказания. – Ростов-на-Дону, 2000.

33. Культура Древнего Рима //Под ред. Голубцовой Е.С. – М.: Наука, 1985.

34. Кэмпбелл Р. Макконель, Стенли Брю. Экономикc. Принципы, проблемы и политика. – М. 2001.

35. Лазурский А.Ф. Избранные труда по психологии. – М.: Наука, 1997.

36. Леви В., Роскэм Ян, Финт Пауль Д. Использование систем обратной связи по перепаду давления в системах автоматизированного управления полетом //Лабораторный центр исследования полетов NACA. – Канзас. 66045, Лоуренс: Канзасский университет, 1980.

37. Лейбниц Г. Соч. в 4-х т. – М.: Мысль, – Т.2., Т.3. – 1983.

38. Лем С. Сумма технологий // Пер. с польского. – М., 1968.

39. Логика научного исследования / Под ред. П.В. Копнина. – М., 1965.

40. Локк Дж. Избранные философские произведения. В 2-х т. – М.: Изд. соц. экон. лит. – Т.1. – 1960.

41. Мамчур Е.А. Об «идеалах» научной теории // Наука в социальных, гносеологических и ценностных аспектах. – М., 1980.

42. Мамчур Е.А. Проблемы критерия простоты научных теорий // Вопросы философии. – № 9. – 1966.

43. Мейер П.А. Вероятность и потенциалы. – М.: Мир, 1973.

44. Мифы Древнего мира / Сост. М.П. Бурдынина. – СПб.: Каравелла, 1995.

45. Моисеев Н.Н. Историческое развитие и экологическое образование. – М.: МИЭПУ, 1995.

46. Моррис Генри. Библия и современная наука. – Meody Press, 1951.

47. Нисский Григорий. Об устроении человека. – СПб.: Аксиома, 1995.

48. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Собрание трудов. – М., Л. 4. – Т. 7. – 1836.

49. Ньютон И. Оптика. – М.: Наука, 1927.

50. Осипов А.И. Путь разума в поисках истины. – М., 1999.

51. Основы теории множеств / Пер. с англ. – М., 1965.

52. Павлов И.П. Мозг и психика. Избранные труды // Под ред. Ю.В. Каточина. – М., 1999.

53. Попов Ю., Пухначев Ю. Парадоксы // Наука и жизнь. – 1971. – № 1.

54. Поппер К. Логика и рост научного знания. – М.: Прогресс, 1983.

55. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. – М.: Прогресс, 1986.

56. Пуанкаре А. О науке. – М.: Наука, 1990.

57. Пугачев В.С., Синицин И.Н. Стохастические дифференциальные системы. – М.: Наука, 1985.

58. Розанов В.В. О понимании опыта исследования природы, границ и внутреннего строения науки как цельного строения. – М., 1986.

59. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. – М.: Наука, 1971.

60. Светлов В.А. Дискуссия по проблемам правдоподобия научных теорий // Логические проблемы современной науки. – М., 1980.

61. Сенека Л.А. Нравственные письма к Луцилию. – М.: Наука, 1977.

62. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. – М.: Наука, 1987.

63. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. – М.: Сов. Радио, 1977.

64. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд. АН СССР, 1962.

65. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. – М.: Наука, 1964.

66. Франк Ф. Философия науки / Пер. с англ. – М., 1960.

67. Фрейд З. Неудовлетворенность культурой. – М., 1990.

68. Эйнштейн А. Сборник научных трудов / Пер. с англ. – М., 1964. – Т. 4.

69. Яхнин Е.Д. Размышления о разуме, Боге и будущем человечества. – М., 2001.

70. Bucy R.C. Optimal filtering for correlated noise // Journal of Mathematical analysis and applications. – V. 20. – № 1. – 1967. – P. 1–8.

71. Don Hilaire Duersberg. Les schribes iuspires. – Paris, 1938. – Vol. 1.

72. Marsell Kretz. Active clenination of stall condition. – «Vertica», 1982. – Vol. 6. – № 1.

73. Rowley H.H. The old testament and modern study. – Oxford, 1952. – P. Mo.

Дополнительная литература

74. Бердяев Н.А. Самопознание. – М.: ЗАО Изд-во ЭКСМО-Пресс, Харьков, 1999. – 624 с.

75. Брянчинников Игнатий, свят. Слово о человеке // Соч. в 5 т. – 3-е изд. – СПб., 1905.

76. Брянчинников Игнатий, свят. Творения. – Т. 1 – V. СПб., 1905.

77. Булгаков С. Два града. – В 2 т. – М., 1911.

78. Введенский А.И. Религиозное сознание язычества. – М., 1902.

79. История ордена иезуитов. / Пер. с нем. Н. Попова. – Смоленск: Русич, – 2002.

80. Лойола Игнатий. Духовные упражнения. – Краков, 1933.

81. Лука (Войно-Ясенецкий), архиеп. Дух, душа, тело. – Брюссель, 1978.

82. Математическая энциклопедия. Гл. ред. И.М. Виноградов. – Т. 2. – С. 371. – Д – Л00. – М.: Сов. энциклопедия. – 1979.

83. Нисский Григорий, свят. О шестидневе // Творения. – Ч. 1. – М., 1861.

84. Осуга С. Обработка знаний. – М., 1989.

85. Чендов Борис. Междисциплинарный подход к проблеме исследования сложных самоорганизующихся систем. – Болгарская Академия наук, 2002 г.

Introduction

The mankind has made lots of mistakes, it has accepted and put into practice mistaken theories of society building, beginning from the first civilizations and finishing with the era of New Time, when great spiritual mistakes became apparent on the planet; those were the mistakes both in state systems and in the ways of their renovation, morals, ethics and knowledge. At the head of all these processes were religion, philosophy and science which are the creations of Man, and this determines the alliance between these spheres.

Today we oppose religion, philosophy and science to one another, thus forgetting their alliance. In order to have profound knowledge and realize the problem of its reliability, we must study these sciences in their interconnection, interdependence when mistakes of one subsystem undergo modifications in another, thus diminishing. Destruction of any of the subsystems creates conditions for intensification of the mistakes of the other subsystem. Thus not only the subsystems suffer losses but the whole system in general.

Taking the above said into the consideration, if we negate religion or philosophy – we negate our past. It is necessary to study the road passed by the mankind with the help of modern knowledge in order to evaluate and realize every step of this road, the accuracy of the chosen road, the mistakes and the possibility of their correction. Certainly, it is hard for us to cognize the truth as the mistakes are unavoidable, but the aspiration for studying them and evaluating their role in the life of mankind is ineradicable. Nothing is able to obliterate the aspiration for truth – neither religion, nor power (including Stalinism).

The aim of our research is to evaluate the knowledge, both available and anew collected, its reliability, to work out criteria helping to quantitatively estimate the losses gained when a material culture was created. The leading role belongs to spiritual culture; its realization is connected with noosphere. The notion of «noosphere» was introduced by V. V. Zenkovkiy [25] and V.I. Vernadskiy [11]. V. V. Zenkovkiy considered that this was the spiritual life of Man, the latter thought that it was spiritual life of the planet in its particular, scientific, form. Both scientists put different meanings in this notion: one of them thought it to be part of an individual, the other – to the whole mankind; one of them saw the origin, the starting point of man’s spiritual culture in noosphere, the other thought that noosphere was the result of scientific work and the spiritul life of mankind.

Spirit is the source of everything: first of all the necessity of actions is realized by soul; this necessity is the stimulus of creative activity that forces us to deepen in this or that sphere. Noosphere (spirit) creates ideas not under the influence of practical activity but of the spiritual energy.

In science, like in all spheres of human life, including aviation, the human element is the source of not only discoveries and acquisitions but also of losses. In science it is excluded by an experiment, in aviation – by the board equipment [24]. However, we cannot exclude the human element completely. If we exclude a man physiologically, replacing him by a machine, the machine still will be ruled by the man, thus we will suffer losses caused by the human element. At the same time introducing a machine makes losses greater and accidents and catastrophies rarer. If we use this way of human element liquidation, we should thoroughly analyse possible losses.

The history of science and technology proves the fact that it is impossible to completely diminish losses caused by human element, as well as it is impossible to eliminate losses in economics. At the same time in science every new era is characterized by new knowledge which grow on the base of already received knowledge, negating some of it which is losses (risks) of the past time science.

Losses caused by mistakes in knowledge which is thought to be scientific, greatly influence spheres of human life where this knowledge is applied. Taking this reason into the consideration, we should work out methods and means of knowledge evaluation, forecasting and, where possible, its prevention and limitation. And the major perturbing factors that influence scientific creation of a man, his scientific mistakes and thus losses, are:

– state (executive and legislative powers);

– social environment;

– initial conditions (initial knowledge);

– mental and ethical environment;

– technology;

– interntional cooperation;

– natural environment;

– communications.

At first sight it seems that during centuries Man makes less mistakes in science and technology. However, the role of mistakes grows with transformation of material culture, its significance in the life of an individual and mankind; at the same time the losses caused by these mistakes grow as well, thus the role of risks becomes determinant.

Before you create anything, analyse what it can cause in future and make sure that the «Do not Harm» principle, the main principle of mankind and its culture, is observed.

The characteristics of scientific development is penetrating of Maths in almost all reseach areas including such originally humanitarian ones as psychology and linguistics. If before Maths was just an instrument for presentation and processing the information, at present it is frequently used as a method of study when creating mathematical models and theories. As a result of this process the following disciplines became separate sciences: mathematical economics, mathematical linguistics and mathematical psycology; these sciences quantitatively express relations which scientists use applying the theory of measuring.

Also the specialists in dynamic systems managing are connected with the problems of theory of measuring. This sphere is rather wide and such problems recently occur in pedagogics and culturemetrics.

The test subjects of this work are: Man as an ego-system and a given totality of factors which influence, according to N.G. Chetaev’s postulate, the scientific risks.

As V.I. Vernadskiy said, the greatness of science lies in the fact that «its content is not limited by scientific theories, hypothesis, models, its vision of the world: in its base science consists of scientific facts and their empirical generalizations; and the living content of it is scientific work of people» [11].

A unity of men is not an end to itself; it is a means of loss decrease in any sphere including science. It is not accordance but belief that unites people. Scientific outlook lives and is supported by a unity of people who created it, believe in it, and also of «heretics» who have doubt in it, who create their own outlook, new ideas, thoughts, theories. All of them live on one planet, all of them make mistakes and all of them prove their case.

In this work we made an attempt to unite knowledge of humanitarian and natural sciences when regarding the problems of risks caused by their mistakes. We tried to ascertain these mistakes, evaluate their interinfluence, their role in the life of an individual and mankind in general, using the qualitative and quantitative characteristics of risks.