Текст книги "Научный риск (введение в анализ)"

7.4. Плотности вероятностей для расчета вторичных критериев достоверности знаний

Искомые показатели научного риска, полученные в 7.3, в общем случае имеют вид [22]:

где Ω_i – многомерные односвязные области интегрирования; W(·) – искомая плотность вероятностей процессов и величин, порождаемых объектами X, Y, а также неконтролируемыми суммарными погрешностями δ_Σ, внешними и внутренними возмущенными факторами W₀(t).

Задача расчета P_i (i = 2, 3, 4) состоит, прежде всего, в построении плотности вероятностей W(·). Для этого необходимо построить модели погрешностей и возмущающих факторов. С целью конкретизации задачи разделим погрешности по месту возникновения:

– вносимые человеком при изучении и описании подлежащего моделированию объекта X, в том числе в процессе наблюдения, измерения, контроля;

– в процессе построения математической модели объекта X, в том числе при отображении (преобразовании) ее в нужное топологическое пространство, где задана необходимая мера, с целью построения абстрактной модели;

– в процессе исследования свойств абстрактной модели с помощью теорий, развитых для данного класса моделей в данном топологическом пространстве;

– при построении искусственного объекта Z с использованием знаний об абстрактном объекте Y человеком в процессе жизнедеятельности. Таким образом, при построении W(·) необходимо учитывать следующие ошибки и погрешности:

– ошибки измерения, наблюдения, контроля;

– ошибки, в том числе методические, построения математической модели, обусловленные не только знаниями, но и человеческим фактором;

– погрешности перехода от математических моделей к абстрактным;

– погрешности, обусловленные абстрактными теориями при исследовании абстрактных объектов;

– погрешность распространения свойств абстрактного объекта на искусственные объекты.

Обычно человек использует самые различные чрезвычайно гибкие методы представления знаний, и, если даже они одинаковы по своему содержанию, они весьма переменчивы из-за конкретной ситуации и различного уровня понимания их человеком, что является первым возмущающим фактором при чувственном восприятии физического мира.

При решении проблем, например, построения моделей, вполне естественно наличие N партнеров. И, хотя объекты исследования, следовательно, и их модели сами по себе не изменяются, изменяются восприятие и описание проблемы из-за различного уровня понимания человеком этих объектов, что обусловливает N различных моделей M_i для одного объекта, обладающих различной степенью приближения, что приводит к различным потерям в процессе творчества, т. е. погрешностям (δ_ч)_i , в том числе методическим.

Рассмотрим процедуру построения моделей. В соответствии с уровнем имеющихся об объекте знаний в процессе его изучения выделим несколько этапов создания (описания) нового объекта. Рассмотрим проблему на примере создания самолета, связанного с накоплением знаний в процессе теоретического описания, создания моделей аэродинамических сил.

Первый этап. Вначале человек подражал птице. При этом первый этап представляет собой подбор абстрактного объекта Y в условиях почти полного отсутствия информации об объекте X физического мира. Проектирование (создание) ведется без определенного плана. Строятся различные модели (физические и теоретические) создаваемого объекта Х с расчетом на случайное получение нужного результата. Данный этап характеризуется большой величиной отличия Х от Y, которую нельзя назвать погрешностью, а скорее всего, неопределенностью.

Второй этап. На основании накопленных знаний происходит выявление закономерностей в объектах и явлениях, накапливаются экспериментальные данные об Х. На этой стадии невозможно полностью полагаться на факторы случайности, однако теоретические основы не позволяют приступить к проектированию на уровне научно-исследовательских работ, когда почти ничего нельзя сказать о внутренней структуре объекта или явления и механизмах, определяющих реакцию на внешнее воздействие. Так, например, уже здесь появляются знания, связанные с обтеканием пластинки, помещенной в воздушный поток, на которую действует сила в перпендикулярном к воздушному потоку направлении.

Третий этап. На этом этапе с помощью экспериментов в аэродинамических трубах получены количественные оценки подъемной силы в зависимости от скорости воздушного потока и угла атаки. Эти результаты были представлены в виде графических зависимостей и нашли широкое применение в практике проектирования.

На этапе теоретического осмысления (анализа) позитивные результаты были получены не только на базе экспериментальных данных, но также был проведен и аэродинамический анализ созданных моделей, описывающих обтекание воздушным потоком плоскости крыла, созданы математические модели обтекания крыла, позволяющие получить аналитические зависимости для вычисления аэродинамической силы R = R(V, α), где V – скорость воздушного потока; α – угол атаки.

Следовательно, при создании теорий, в том числе абстрактных моделей, должна учитываться вся та информация, которая используется для описания этого объекта. И наоборот, если в итоге удалось создать теорию, то появилась возможность проектировать с использованием алгоритмов общего вида такую форму крыла, которая создаст необходимую величину R(V, α), и мы получим соответствующую информацию.

Такие возможности в аэродинамике представлены сегодня в виде незавершенной теории и позволяют иметь решение частных задач обтекания, установившихся докритических режимов и т. п. Следовательно, можно сказать, что современное состояние методов проектирования самолетов не завершено, имеющийся объем знаний меньше необходимого, т. е. существуют области состояния летательных аппаратов, в которых роль недостоверных знаний, оцениваемых объемом недостоверных знаний ΔD_нз, велика.

Третий этап наиболее интересен в смысле получения новых знаний, так как там концентрируются погрешности теории, т. е. там формируется ΔD_нз. На этом этапе полученная информация носит достаточно систематизированный вид: эксперименты осуществляются уже в условиях реальной среды, наблюдения и измерения проводятся с учетом самых разнообразных факторов, порождаемых этой средой.

На основе результатов третьего этапа идет дальнейшее развитие теоретических воззрений, однако полученная информация совсем не обязательно однородна по форме описания, так как включает в себя описание модели объекта, которая обычно не является однородной. Этап теоретического анализа, обработки данных часто представляет собой как основной при разработке новых объектов. При этом разработчики стремятся получить структуру модели объекта, что позволяет анализировать реакцию модели на возмущающие факторы и получать выходные данные.

Как следует из приведенного выше примера, аэродинамическая сила R(V, α), зависящая от скорости потока V и угла атаки α, при теоретическом моделировании требует описания структуры и формы объекта, создающего R, а также атрибутов, включающих формы, которые присущи этому объекту. Таким образом, третий этап включает в себя подтверждение экспериментально выявленных причинно-следственных связей, отношений. При этом используются методы систематизации экспериментов, регулярно формируются новые данные, которые собираются воедино и только потом осмысливаются с целью использования их в проектировании. Такие знания позволяют уменьшить влияние возмущающих факторов, в том числе случайных. Однако сами по себе эти данные не отражают в полной мере всех свойств объекта проектирования, поскольку они получены при действии возмущающих факторов, в том числе начальных, порожденных внутренней и внешней средой, на которые накладываются информационные шумы. Полученные данные позволяют:

– выявить общие закономерности;

– построить эмпирические закономерности, которые описывают лишь поверхностные связи между наблюдаемыми величинами, не вскрывая их сущности;

– точно оценивать свойства, которыми должен обладать объект и которые ранее не были выявлены, что представляет дополнительный материал для правильного построения теоретических моделей объектов.

Четвертый этап. На данном этапе необходимо создать и развить, в основном, завершить формирование общих теоретических моделей; по существу, здесь протекает этап научно-исследовательских работ, который включает в себя разработку моделей различного уровня, начиная от простейших математических моделей М₁, имеющих различное физическое толкование, до чисто абстрактных моделей М₂, от которых вновь переходят к М*₁, как только проведены все необходимые исследования или получены нужные результаты.

На четвертом этапе строится искомый объект, удовлетворяющий поставленным требованиям. Ценность этого этапа состоит в возможности теоретического осмысления информации (абстрактных моделей), поскольку она (по построению) не содержит в себе ошибок и шумов, степень достоверности ее высока, есть возможность строить процедуры оценки этой информации.

Пятый этап. Выполняются опытно-конструкторские работы, целью проведения которых является подтверждение результатов, полученных на этапе научно-исследовательских работ. Он включает в себя разработку моделей различного уровня, отражающих физические свойства проектируемого, т. е. вновь создаваемого, объекта.

В этом разделе мы рассмотрим ошибки систем и процессов контроля.

Отметим, что погрешности наблюдения, обусловленные влиянием внешней среды, рассмотрены в работе [24]. Сложность получения универсальных алгоритмов контроля обусловлена не только сложностью объектов, подлежащих моделированию, но и многообразием функционирования динамических систем, что требует разработки соответствующих математических моделей. В качестве примера рассмотрим математические модели такой динамической системы, как самолет, для которой можно выделить следующие модели:

М₁ – детерминированную с заданной неизменной структурой;

М₂ – детерминированную с переменной структурой;

М₃ – стохастическую;

М₄ – стохастическую с переменной структурой;

М₅ – стохастическую с переменной структурой и с человеком-оператором;

М₆ – в условиях, когда имеет место хаотическая динамика.

Как правило, процессы, подлежащие контролю и измерению, являются: детерминированными функциями y = f(x₁, …, x_n); стохастическими процессами. При этом для описания выходных процессов x(t) = (x₁, …, x_n) физических объектов их модели представляются в виде систем:

1) дифференциальных уравнений с сосредоточенными параметрами;

2) интегральных уравнений;

3) дифференциальных уравнений с распределенными параметрами;

4) интегродифференциальных уравнений.

Под погрешностью измерения понимается величина

δ(S, t) = x(S, t) – y(S, t),

где x(S, t) – истинное или фактическое значение процесса; y(S, t) – измеренное значение; S – пространственные координаты.

В таблице 1 приведена классификация видов входных величин и процессов систем контроля и измерения.

Таблица 1

При этом в теории измерений вводятся следующие виды оценок погрешностей:

– экстремальные (ε_max);

– интегральные;

– основанные на применении доверительных интервалов и вероятностей.

Так, например, ε_max = | δ(S, t) |_max – модуль максимального отклонения – относится к первому виду оценок;

– средний модуль отклонения, второй вид оценок и т. п.

К средствам уменьшения методических ошибок систем измерения и контроля относятся фильтры, например, Калмана, Винера и т. п. При этом получают оптимальные оценки случайного сигнала x(t) по наблюдениям z = Nx + V в виде x = + , где – погрешность фильтрации (наблюдения), эквивалентная δ₁, рассмотренной выше;  – оптимальная оценка; N – матрица наблюдения с заданными элементами; V – погрешности наблюдения. В качестве примера абстрактного объекта рассмотрим фильтр Калмана-Бьюси, при практической реализации которого возникают следующие сложности.

Фильтр Калмана-Бьюси построен в условиях, когда помеха наблюдения V представляет собой белый шум, что является идеализацией реальных помех (возмущающих факторов), которая не имеет место на практике. По этой причине погрешность оптимальной оценки возрастает [57]. В результате теория линейной фильтрации была распространена на гауссовские случайные помехи V с формирующим фильтром, описываемым дифференциальным уравнением, на вход которого поступает белый шум.

При построении оптимального фильтра возникает необходимость брать произвольные начальные значения оптимальной оценки и R(t₀) – матрицу интенсивности помех измерения. В силу этого будет не оптимальной оценкой вектора x, а может быть лишь асимптотически оптимальной.

В случае когда процесс V(t) не задан, возникают дополнительные трудности (в общем случае не задано возмущение в уравнениях движения) и построить точное значение x(t) невозможно. При этом можно лишь ставить задачу о наилучшей, в некотором смысле, аппроксимации x(t) [27].

Аппроксимация, в широком смысле слова, есть замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более удобных объектов (в частности, более простых), характеристики которых легко вычисляются или свойства их уже известны и изучены. Так, в геометрии и топологии рассматриваются аппроксимации кривых, поверхностей, пространств и отображений. Среди математических теорий отметим теорию приближения функций, численные методы анализа.

Другим примером является аппроксимация дифференциального оператора L_u = f разностным L_k, который переводит сеточные функции из V_n в функции f_n из F – линейного нормированного пространства. Аппроксимация дифференциального уравнения разностным есть приближение, в том числе системой алгебраических уравнений относительно искомых функций. Аппроксимация периодическими преобразованиями – один из методов в эргодической теории. Относительно погрешностей, присущих аппроксимации, можно сделать в общем виде следующие замечания. Если дано пространство С функций f(t), g(t), …, непрерывных в интервале 0 ≤ t ≤ 1, то можно использовать метрики:

– максимальной ошибки аппроксимации, для уменьшения которой требуется равномерная сходимость:

– средней квадратичной ошибки аппроксимации, которая ведет к определению сходимости в среднем с показателем 2 и к приближениям по методу наименьших квадратов:

Понятия, связанные с метрическим пространством, топологией, дают удобную терминологию для многих задач, касающихся приближения произвольного элемента x подходящего класса C_м последовательностью элементов x₀, x₁, x₂, … из С_м. В таких случаях вводится функция d(x_n, x), которая описывает ошибку приближения. Так, например, рассмотрим приближение функции f(t) последовательностью функций S₁(t), S₂(t), …, представляющих собой частичные суммы бесконечного ряда.

В приближенных вычислениях встречаются ошибки начальных данных; ошибки округления, вызванные использованием конечного числа знаков; ошибки усечения, вызванные конечной аппроксимацией бесконечного процесса. Возникновение и распространение ошибок в сложных вычислениях составляет предмет продолжающихся исследований, точные результаты получены лишь в отдельных классах вычислений.

Сделаем краткие замечания по поводу погрешности метода вычисления.

Пусть y(x) – искомая функция, значения y(x_i) = y_i которой обычно определяются для равноотстоящих точек x_i = x₀ + ih (i = 0, 1, 2, …). Пусть  – последовательные значения функции, определенные по какому-либо выбранному известному методу. Тогда предельная абсолютная погрешность приближенного решения имеет вид

E_i ≥ | – y_i |.

Пусть  – результат применения приближенного метода к точному решению, y_i ≈ y*_i, т. е. = (x_i, y₀, y₁, …, y_i–1). Тогда можно принять E_i = E*_i + ε_i, где E*_i = | – y_i | – погрешность метода, а ε_i = | – | – текущая погрешность.

Погрешность метода E*_i представляет собой ошибку, происходящую от замены точного алгоритма решения приближенным, которая неустранима. Поэтому метод вычислений должен быть выбран так, чтобы погрешность его на последнем шаге вычислений не превышала заданной величины.

Возникновение методических погрешностей, обусловленных переходом от математических моделей физических объектов к абстрактным объектам, рассмотрим на примере динамической модели, описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений вида = f_i (x, u), где u – управление (возмущение) . Часто при теоретическом исследовании данную математическую модель физического объекта заменяют абстрактным объектом, который описывается системой линейных матричных дифференциальных уравнений вида = A(t)Δx + B(t)u, где А, В – матрицы соответствующих размерностей; Δx = x₀ – x; x₀ – программное значение x(t), в частности, x₀ = const. По существу, Δx есть ошибка стабилизации, и если матрица А обладает наперед заданными свойствами (при u = 0), то Δx → 0. Однако переход от x(t) к Δx(t) обусловлен линеаризацией процесса с соответствующими погрешностями.

Аналогично, в теории оптимальной фильтрации рассматривают ошибку наблюдения = x – , где  – оптимальная оценка, которую мы можем наблюдать, предварительно осуществив переход от нелинейной модели к линейной.

С целью уменьшения погрешности Δх при построении оптимального уравнения задача состоит в отыскании элементов матрицы Г из управления U = Г(t)Δx, при которых некоторый функционал от Δx стремится к минимуму для линейной модели, построенной взамен нелинейной.

Одну из существенных погрешностей в процессе расчета вероятностей Pi (i = 2, 3, 4) (7.1) вносят возмущающие факторы, которые, как правило, не измеряются и не контролируются. Их влияние сказывается на величине выходных процессов динамических систем в виде свершившихся событий, т. е. постфактум.

Рассмотрим типы возмущающих факторов и способы их задания, т. е. способ их описания при построении плотностей вероятностей (см. 7.1). При моделировании возмущающих факторов, согласно их природе, рассматривают различные подходы и соответствующие этим подходам модели. В одних моделях эти факторы являются случайными, в других – неопределенными, в третьих – нечетко определенными.

В качестве случайных W, как правило, выступают векторы со случайными реализациями μ в евклидовом пространстве Rⁿ, для которых известна функция распределения F(μ), а также случайные процессы W(t) с реализациями μ(t) из пространства действительных функций с известным законом распределения.

Для неопределенных факторов W бывает известно лишь множество значений Е. Если W – вектор, то Е – евклидово пространство; если неопределяемые факторы W(t) переменны во времени, то множество Е, ограничивающее возможные значения W(t), задается в пространстве действительных функций. Причем множество Е в этом случае может задаваться не только по величине W(t) в каждый момент времени, но и интегральными ограничениями, накладываемыми на суммарное изменение W(t) на отрезке времени [0, Т]. Текущие или геометрические ограничения можно задать в виде

E = {W(·) : W(t) E(t), t [0, Т]},

где E(t) – некоторое множество в евклидовом пространстве Rⁿ; W(·) означает функцию в отличие от ее значения W(t) из евклидова пространства Rⁿ в момент времени t.

Интегральное ограничение может быть задано в виде

где J – величина, характеризующая, например, суммарный энергетический потенциал неконтролируемого воздействия W(t).

Третий тип неконтролируемых факторов имеет место, когда множество Е неконтролируемых факторов точно неизвестно. Имеется лишь некоторая субъективная уверенность о возможных реализациях Х внешнего воздействия W. Эта субъективная уверенность характеризуется функцией принадлежности μ(x), определенной на евклидовом пространстве Rⁿ. В случае когда возмущение W является вектором. При этом функция μ(x) ставит в соответствие каждому вектору X Rⁿ число из отрезка [0,1]. Чем ближе μ(x) к единице, тем более достоверна реализация возмущения W. При этом функция μ(x) аналогична ρ(x) – плотности вероятности x. Построение μ(x) может быть произведено различными способами, например с помощью экспертных оценок, на основе функции правдоподобия и т. п.

Возмущающие факторы относительно объекта контроля и управления (например, самолета) делятся на внешние и внутренние. Внешние воздействия разнообразны по своему содержанию. Так, для авиации наиболее важным является движение воздушных масс, в том числе: сдвиг ветра (на этапе посадки); мощные восходящие потоки воздуха; постоянно-действующие горизонтальные (Н = const) потоки воздуха. Сюда также относятся: воздействие среды, включая изменения плотности и температуры воздуха, отклонения относительной стандартной атмосферы; погрешности систем управления воздушным движением; систем сопровождения, например, на этапе посадки, и т. п.

К внутренним возмущающим факторам относятся, например:

– отказы техники, пилота;

– погрешности измерения и обработки информации (в том числе начальные погрешности, дрейф нуля и т. д.);

– старение и деградация подсистем;

– неконтролируемые (или неустойчивые) изменения параметров системы за счет динамики внутренних процессов, так, например, изменение массы, центра масс и моментов инерции;

– неконтролируемые взаимные влияния параметров состояния управляемого объекта [23].

Некоторые возмущающие факторы могут быть описаны как случайные процессы, например марковские, и для них можно получить математические модели в виде дифференциальных уравнений, на вход которых поступает белый шум. Другой тип возмущающих факторов может быть описан некоторой аналитической функцией плотности вероятностей, третий – представлен в виде гистограммы, для которой невозможно подобрать аналитическое выражение.

В общем случае возмущающие факторы, например плотность вероятности погрешности, представляют собой композицию плотностей измерения вероятностей стандартных (Гауссов, Лапласов и т. д.), но усеченных законов распределения. При этом возникают существенные вычислительные трудности расчета плотности вероятностей суммарной погрешности измерения [22].