Текст книги "Научный риск (введение в анализ)"

Пусть в процессе теоретических расчетов рассматривался профиль, контур которого описывается функцией φ(x). В результате теоретических расчетов получена, например, подъемная сила профиля, которую обозначим Υ. Погрешность теории обозначим (ошибка расчетов). Обозначим истинное значение подъемной силы через Х, которое нам не известно. Тогда из теории имеем Υ = Х + . Для подтверждения достоверности научных знаний (истинности теории, ее результатов) создан профиль, который продули в аэродинамической трубе. В результате измерений подъемной силы получено X_изм = Х + δx, где δx – погрешность, обусловленная погрешностями изготовления профиля и измерения подъемной силы.

Предположим, что и δx – случайные величины с соответствующими законами распределения, заданными, например, на основании изучения результатов статистических испытаний. Распространив постулат Н.Г. Четаева на рассматриваемый случай, получим критерий достоверности научных знаний для случайных величин. Имея в виду условие | Х – Y | < ε, введем соответственно этому условию область Ω_доп = Ω₁, при выходе из которой научные знания Y считаются не достоверными (рис. 7.4). Так как величина X = Х_ист нам не известна, то приходится пользоваться Y_изм = Y + δX, где Х_изм – знания, которые мы принимаем за истинные, и относительно этой величины строить область допустимых значений Y.

Рис. 7.4

В этом случае относительно значений X мы рассматриваем не Y, что соответствует случаю, когда δx = 0, а величину Y + δx, которую обозначим как Y_изм = Y + δx, где Y = X + ; X = X_ист. Производя анализ относительно X_изм и требуя, чтобы Y принадлежала интервалу (X_изм – ε, X_изм + ε), т. е. | X_изм – Y | < ε, мы, тем самым, относительно X рассматриваем Y_изм, внося некоторую неопределенность в свои суждения.

За счет погрешностей δx область Ω₁ достоверных знаний (X – ε, X + ε) следует уменьшить на некоторую неопределенную, подлежащую расчетам величину. Тогда получим новую область, которую обозначим через Ω₂, такую, что (X – ε₁, X + ε₁), где ε₁ < ε; ε₁ зависит от статистики δх.

С учетом сказанного, в процессе анализа результатов расчета и эксперимента возникают следующие события:

A₁ = (Y Ω₁, Y_изм Ω₂);

A₂ = (Y Ω₁, Y_изм Ω₂);

A₃ = (Y Ω₁, Y_изм Ω₂);

A₄ = (Y Ω₁, Yизм Ω₂)

Событиям A_i соответствуют вероятности:

P₁ = P(A₁) = P(Y Ω₁, Y_изм Ω₂);

P₂ = P(A₂) = P(Y Ω₁, Y_изм Ω₂);

P₃ = P(A₃) = P(Y Ω₁, Y_изм Ω₂);

P₄ = P(A₄) = P(Y Ω₁, Y_изм Ω₂).

В силу того, что наши суждения строятся на основе Y_изм, приведенным вероятностям P_i соответствуют следующие интерпретации. Вероятность P₁ соответствует случаю, когда правильная теория оценена как достоверная. Вероятность P₂ соответствует случаю, когда правильная теория признана недостоверной. Вероятность P₃ – недостоверная теория отвергнута, вероятность P₄ – когда недостоверная теория признана верной.

Таким образом, получен вторичный критерий достоверности научных знаний Р₁, а в качестве показаний научного риска – вероятности Р₂, Р₃, Р₄.

Случайные функции. Распространим постулат Н.Г. Четаева на случайные функции ξ(t), где t – время. При этом возникает проблема сравнения функции ξ(t), полученной, например, экспериментально или заданной каким-либо образом, и функции η(t), созданной согласно существующей теории вероятностей так, чтобы ξ(t) и η(t) были близки, т. е. чтобы η(t) повторяла в каком-то смысле ξ(t). Рассмотрим проблему погрешностей такого соответствия.

В математической теории вероятностей функция ξ(t), как случайная функция [8], вводится с помощью абстрактной величины Р-вероятности, представляющей собой функцию множества А вида Р(А) такую, что если она имеет смысл для множества A₁, A₂, …, A_n, то она может быть определена и для множества, состоящего из всех точек, входящих хотя бы в одно из множеств A₁, …, A_n, а также для множества точек, входящих сразу во все множества A₁, …, A_n [18]. Функция Р(А) удовлетворяет трем аксиомам:

1. Вероятность Р(А) события А удовлетворяет условию Р(А) ≥ 0.

2. Для достоверного события В имеет место равенство Р(В) = 1.

3. Для взаимно исключающих друг друга событий A_k (k = 1, 2, …, n, где n может быть сколь угодно велико)

где  – это событие А₁ или А₂, …, или А_n, а потому  – вероятность того, что произойдет хоть какое-то из событий A_k; P(A_k) – неотрицательное число, вероятность события A_k.

Событие В отвечает множеству, состоящему из всех мыслимых «элементарных исходов», так что все другие события А представляют собой подмножество В. Аксиома 3 (сложения) включает случай n → ∞, в силу этого Р(А) называется вполне аддитивной функцией.

Из аксиом 1–3, дополненных определениями ряда связанных с вероятностью понятий (случайной величины, математического ожидания), логически вытекает вся теория вероятностей.

В теории вероятностей аксиоматику впервые (широко признанную) ввел С.Н. Бернштейн (1917 г.), которую затем блестяще усовершенствовал А.Н. Колмогоров (1930 г.). Благодаря им теория вероятностей стала важным разделом математической теории функций.

Важность аксиом 1–3 состоит в возможности установления способов измерения тех величин, с которыми оперирует математическая теория вероятностей. Достоверность и недостоверность знаний при этом доказывается не только ее логической непротиворечивостью, но и находит экспериментальное подтверждение посредством закона больших чисел. При этом приобретает смысл истинность аксиом, которые могли быть иными, что привело бы к иной теории вероятностей, выводы которой были бы столь же логичны, безупречны и столь же необязательны для реальных явлений, т. е. имеющих место в мире вещественных объектов и не позволяющих строить необходимые для целей жизнедеятельности искусственные объекты с наперед заданными свойствами.

Можно выделить следующие случайные процессы:

– марковские стационарные;

– марковские нестационарные;

– гауссовские стационарные;

– гауссовские нестационарные,

для которых получен достаточно большой объем глубоких научных знаний, позволяющих решать задачи адекватности абстрактных объектов (моделей) реальным, изучать свойства таких объектов.

Рассмотрим характеристики случайных функций в общем случае, когда моменты различных порядков не равны нулю и погрешности, вносимые при теоретическом описании физического процесса, влияют на результат [8].

I. Виды случайных функций.

Процесс ξ(t) есть случайный (стохастический или вероятностный), если t изменяется непрерывно или принимает счетное множество значений.

Множество возможных значений Х самой случайной величины ξ(t) есть непрерывное или дискретное.

II. Характеристики случайной функции ξ(t). Рассмотрим проблему эквивалентности двух функций и связанную с этим понятием достоверность знаний.

Рассмотрим одномерную плотность вероятности при фиксированном t, когда ξ(t) соответствует множество реализации. При этом ξ(t) при t = t₁ есть случайная величина, полностью заданная, если известно ее распределение

W₁(t₁, x)dx = P(x < ξ(t₁) ≤ x + dx),

когда задана плотность вероятности W(t,x) в момент времени t = t₁, в общем случае зависящая от t₁. В простейшем случае, когда W(t, x) = W(x), т. е. не зависит от времени t, эта характеристика исчерпывающая.

Пусть функция ξ(t) обладает одинаковым распределением W₁(t, x), но различными статистическими соотношениями между значениями ξ(t₁) и ξ(t₂). Этим функциям соответствуют различные двумерные распределения

W₂(t₁, x₁; t₂, x₂)dx₁dx₂ = P(x₁ < ξ(t₁) ≤ x₁ + dx₁; x₂ < ξ(t₂) ≤ x₂ + dx₂).

Таким образом, зная W₂(·), мы знаем и W₁(·). При этом функции ξ(t), η(t), имеющие равные W₁, но различные W₂(·), отличаются друг от друга.

Рассуждая далее для трех моментов времени t₁, t₂, t ₃, а затем для t_i , получим n-мерное распределение:

W_n(t₁, x₁; …; t_n, x_n)dx₁…dx_n =

                                                  (7.10)

= P(x_i < ξ(t_i) ≤ x_i + dx_i; t_i), .

Мы получили полную характеристику ξ(t). При этом две функции, имеющие одинаковые W_n(·), эквиваленты, когда множество значений n конечно. Таким образом, случайная функция задана, если ее конечномерное распределение W_n(t₁, x₁; …; t_n, x_n) известно для любого числа n произвольно выбранных значений t₁, t₂, …, t_n.

Несмотря на соглашение о любом числе n, мы должны иметь в виду, что наши знания о функции ξ(t) достоверны, если известна функция W*(t, x) = . В противном случае мы должны рассматривать задачу достоверности научных знаний и при конечном n должны поставить под сомнение наши знания.

III. Сходимость случайных функций. В простейшем случае случайная функция ξ(t) в фиксированный момент времени t₁ характеризуется плотностью вероятности W₁(t₁, x₁). При этом мы можем рассматривать первичные критерии сходимости последовательности случайных величин ξ_N к случайной величине η, определенной на том же множестве возможных значений, что и величина ξ_N, предполагая, что совместная плотность вероятностей распределения ξ_N и η нам известна. Обозначим ее W_N(x, y), тогда имеем [20]:

сходимость ξ_N и η в среднеквадратичном

сходимость по вероятности

Здесь ξ_N – совокупность из N случайных величин, т. е.

IV. Свойства распределения. В общем случае случайная функция ξ(t) имеет плотность вероятности W₁(t₁, x₁) (в момент времени t₁), которая характеризуется следующими свойствами или характеристиками распределения: начальным моментом α₁; центральными моментами μ₂, μ₃, …, μ_n, вида

Ясно, что ξ(t) задана полностью, если характеристики α₁, μ_i заданы для n-мерного распределения W_n(t₁, x₁; …; t_n, x_n). При теоретическом описании, т. е. при построении абстрактной математической модели (абстрактного объекта) часто необходимо совершить ряд допущений в связи с тем, что полная характеристика случайной функции ξ(t) вида W*(t, x) = не подлежит аналитическому описанию. Рассмотрим поэтапно эти допущения и соответствующие им погрешности.

На первом этапе плотность вероятностей W*(t, x) заменяется ее приближенным значением, когда «n» конечно, т. е. W_n(t₁, x₁; …; t_n, x_n). Такая замена обусловливает погрешность δ₁ аппроксимации искомой функции ξ(t).

На втором этапе, осуществив переход от W_n(·) к W₁(·), мы приняли предположение о независимых приращениях, т. е. о существовании W_i(t_i, x_i) , что позволяет ввести предположение о ξ(t) как марковском процессе, например, полученном на выходе нелинейной системы. Это предположение вносит погрешность δ₂ в описание ξ(t).

На третьем – принимается предположение, связанное с тем, что ξ(t) – гауссовский процесс c математическим ожиданием M_x(t), ковариационной функцией (дисперсией), формируемый, например, с помощью линейной системы, что обусловливает погрешность δ₃.

Четвертый этап связан с предположением стационарности (в том числе в широком смысле) гауссовского процесса ξ(t), что обусловливает дополнительную погрешность δ₄.

Приведенные здесь этапы упрощений физической (математической) модели в каждом конкретном случае (для конкретного объема вещественного мира) различны. При этом могут рассматриваться следующие классы случайных процессов, для которых есть сравнительно завершенные и достоверные научные знания, позволяющие исследовать их свойства и рассматривать возможность аппроксимации:

– марковские;

– гауссовские;

– стационарные,

– стационарные в широком смысле;

– нестационарные;

– случайное поле;

– процессы с независимыми приращениями;

– процессы с некоррелированными приращениями;

– мартингалы;

– субмартингалы;

– супермартингалы.

При решении конкретных прикладных задач разработка новых математических методов, как правило, не ставится, исходя из экономической целесообразности, а иногда из возможностей разработчиков (в том числе обусловленных временем). При этом все сводится к тому, чтобы «умело подобрать» и использовать известный арсенал методов применительно к данной задаче.

Существует много способов и методов сведения случайных функций ξ(t) приближенно, с различной величиной погрешности δ_м к марковским процессам [63]. Так, например, нормальные случайные процессы с энергетическим спектром в виде дробно-рациональной функции частоты с заданной погрешностью можно аппроксимировать марковским процессом, для которого разработана фундаментальная теория всестороннего исследования его свойств, начиная от аналитического, в виде ФПК-уравнения, описания переходной плотности вероятностей. Достаточно просто решается задача идентификации двух случайных величин, подчиненных нормальному закону, когда необходимо обеспечить совпадение моментов α₁ и μ₂. Аналогичная ситуация наблюдается, если рассматривается стационарный гауссовский процесс.

Отметим, что гауссовская случайная величина есть идеализация реальных явлений, широко используемая в абстрактной теории для описания вероятностных объектов, которая с различной погрешностью может быть использована для описания физической среды.

В идеальном случае исследователь-проектировщик должен иметь критерии, позволяющие ему оценить достоверность научных знаний, используемых им при проектировании объектов, а также количественные характеристики стоимости изменения (увеличения или уменьшения) достоверности знаний при изменении (увеличении) области состояния объектов, описываемых, например, параметрами траектории полета x = (x₁, …, x_n) самолета [23].

В общем случае создание научных знаний представляет собой сложный процесс, представленный на рис. 7.5 в виде системы, разделенной на подсистемы, каждая из которых порождает погрешности, обладающие различными свойствами от случайных величин до случайных процессов, имеющих различные функции плотностей вероятностей: от произвольных до гауссовских с одной из простейших видов плотностей вероятностей.

Выделим три основных типа погрешностей, сопутствующих процессу формирования научных знаний:

– построения математических моделей чувственных объектов – δ₁;

– построения и теоретического исследования моделей абстрактных объектов – δ₂;

– построения моделей экспериментальных объектов, обусловленные несовершенством теорий, что связано с несоответствием объема потребных и имеющихся научных знаний – δ₃.

В свою очередь погрешности δ₁, δ₂, δ₃ делятся на методические погрешности δ⁽¹⁾₁, δ⁽¹)₂, δ⁽¹)₃, связанные с выбранным методом на каждом этапе построения научных знаний, а также погрешности измерения δ⁽²⁾₁, δ⁽²⁾₂, δ⁽²⁾₃. При этом имеем δ_i = δ⁽¹⁾_i + δ⁽²⁾_i (i = 1, 2, 3). В некоторых исследованиях определяющими являются не погрешности δ_i, а погрешности, обусловленные человеческим фактором δ_r, куда входят погрешности, вносимые религией δ_р, философией δ_ф, системой власти δ_в и т. д. Об этом было сказано выше. Таким образом, δ_i = δ⁽¹⁾_i + δ⁽²⁾_i + δ_r (δ_р, δ_ф, …) (i = 1,2,3).

При изучении процессов X или Y нам приходится пользоваться результатами информационно-измерительных систем, с помощью которых мы наблюдаем X^о, а также Y^o и Z^o, имеющие место на выходе ИИС-1, ИИС-2 и ИИС-3 соответственно (рис. 7.5). При этом о достоверности знаний можем судить, изучая неравенство вида |X^o – Y^o| < ε или |X^o – Z^o| < ε.

Каждая из погрешностей δ₁, δ₂, δ₃, свойственная соответствующей информационно-измерительной системе, является случайной и вносит в процесс создания новых знаний элемент случайности. Если относительно погрешностей ИИС-1, ИИС-2, ИИС-3 мы можем строить суждения, строить фильтры и использовать другие средства их уменьшения, то относительно погрешности δ_r, вносимой исследователем (ученым), у нас нет достоверной информации, кроме той, которая будет получена в процессе эксперимента. В данной ситуации (рис. 7.5) нам известно X^o = X + δ₁, где δ₁ в общем случае есть случайный процесс.

Рис. 7.5

На рис. 7.5 обозначены:

X – изучаемый объект физического мира;

Y – абстрактная модель абстрактного объекта;

Z – искусственный объект;

X^o – оценка X;

Y^o – оценка Y;

Z^o – оценка Z;

q – объект, созданный человеком для целей жизнедеятельности;

ИИС – информационно-измерительная система.

Согласно схеме исследования (7.5), здесь возможны две ситуации. В первой мы наблюдаем Y^o = Y + δ₂ с помощью ИИС-2 и на основании этого наблюдения делаем суждение о достоверности научных знаний, т. е. о том, где находится Y = X + δ⁽²⁾₁ + δ⁽¹⁾₂ = X + ΔX. Во второй мы имеем возможность поставить опыт, создать экспериментальный объект (F_э) и исследовать его с помощью ИИС-3, на выходе которой можем наблюдать Z^o = Z + δ₃ и сравнивать ее с X^o.

Таким образом, наблюдая Y^o или Z^o, мы делаем выводы относительно Y – математического или абстрактного объекта, – построенного в процессе научного творчества, а именно, принадлежит ли он области (X^o – ε, X^o + ε) и при δ₁ = 0 области (X – ε, X + ε), которую обозначим Ω₁ (рис. 7.6). Введем область Ω₂ = (X – ε₁, X + ε₁), которой должен принадлежать Y^o. Уменьшение области Ω₁ обусловлено влиянием погрешности δ₂.

Рис. 7.6

За счет погрешностей δ₁, δ₂, δ₃ мы можем сделать вывод, что Y попадает в область Ω₁, т. е. удовлетворяет постулату Н.Г. Четаева, а на самом деле Y находится за пределами области Ω₁. При решении задачи о достоверности процесса Y, с учетом сказанного и материалов работы [22], будем иметь следующие расчетные ситуации:

Вероятности Р(А) = Р₁; Р(В) = Р₂; Р(С) = Р₃; Р(D) = Р₄ характеризуют количественно достоверность (адекватность) и недостоверность (неадекватность) процесса Y, сформированного с помощью теоретической (абстрактной) модели и процесса X, полученного в процессе эксперимента. При этом Р₂, Р₃, Р₄ отображают в совокупности численные показатели научного риска; Р₁ – вероятность того, что правильная модель принята, включена в научные знания, т. е. является показателем достоверности научных знаний; Р₂ – вероятность того, что в процессе сравнения достоверная (адекватная) модель принята за недостоверную; Р₃ – недостоверная (неадекватная) модель принята за истинную и включена в научные знания; Р₄ – неправильная модель отвергнута.

Таким образом, мы получили вторичный критерий достоверности научных знаний Р₁, а в качестве показателей научного риска получим вероятности Р₂, Р₃, Р₄.

Рассмотрим вариант II, когда нам предоставляется возможность уточнить параметры модели, используя для этого эксперимент, например, на полунатурном стенде, с помощью которого посредством технических или иных средств реализована теоретическая модель. В этом случае мы можем изучать роль и влияние факторов δ_i, которыми пренебрегли, когда экспериментально определяли X, а также есть возможность ввести возмущающие факторы V_i, которые будут действовать в том месте пространства, куда мы поместим модель.

На выходе стенда с помощью ИИС-3 измеряем Z^o = Z_изм = Y + δ₃. При этом Y – это тот процесс, который формируется с помощью теоретической модели (рис. 7.5), реализованной, например, на стенде с помощью технических средств с учетом методической погрешности. В рассматриваемом случае получаем события A, В, С, D, как записано в (7.11), в которых осуществлена замена Y на Z и Y^o на Z^o. Проблема вычисления количественных показателей научного риска Р₂, Р₃ связана с построением плотности вероятностей W(Y, Y^o) или W(Z, Z^o).

В сравнительно простом случае, когда Y и Y^o представляют собой марковские процессы, задача имеет, как правило, численное решение, если размерность векторов Y и Y^o не выше двух. Если изучаемые процессы имеют гауссовские плотности вероятностей, то задача построения W(Y, Y^o) и вычисления Р_i (i = 2, 3, 4) может быть доведена до числа аналитическими методами.

В случае если Y и Y^o – марковские процессы, искомые вероятности можно представить следующим образом [22]:

где W(t; y, ) – совместная плотность вероятностей компонент векторов Y, в момент времени t, вычисление которой в общем случае, используя ФПК-уравнение, осуществляется численным методом или методом семиинварианта; ω₁, ω₂ – области интегрирования. В общем случае такое решение получить трудно, так как для описания (Y, Y^о), как указано выше, необходимы для всех натуральных n плотности вероятностей W_n(t₁, ; …, t_n, ), где = (Y, Y^o).

При этом погрешности информационно-измерительной системы описываются, как правило, усеченными плотностями вероятностей, что обусловливает как трудности построения плотностей вероятностей суммарных погрешностей, так и вычисление искомых вероятностей, что достаточно подробно рассмотрено в работе [22].

В случае когда процесс X(t), подлежащий воспроизведению, для которого строится абстрактная модель, включает случайные помехи (погрешности измерения) δ⁽²⁾₁, δ⁽²⁾₂, δ⁽²⁾₃, связанные со свойствами информационно-измерительной системы (рис. 7.5), тогда для их компенсации вводят оптимальные фильтры, формирующие оценки . Данная проблема достаточно широко освещена [57] и здесь не рассматривается.

Существенную роль на процесс формирования абстрактной модели и построения экспериментальной модели оказывает человек, который влияет на количество информации, используемой при построении модели. Рассмотрим некоторые особенности измерения состояния объекта при построении абстрактной модели с учетом человеческого фактора. При построении модели можно выделить следующие этапы:

– при формировании физической модели окружающего мира, а именно, интересующего нас процесса, мы пренебрегаем рядом факторов, упрощаем, собственно, физическую модель;

– производятся измерения, объем которых предопределяет полноту описания (моделирования) изучаемого явления (процесса);

– упрощение полученных результатов, т. е. самой математической модели.

Если на первом этапе процесс упрощения нами, по существу (полностью), не контролируется, т. е. мы знаем только то, чем пренебрегли (например, сжимаемостью воздуха), все остальное нам не известно и входит в состав методической погрешности, т. е. δ⁽¹⁾₁, то на третьем этапе, имея математическую модель, мы контролируем ту составляющую погрешности δ⁽¹⁾₁, которая связана с упрощением модели. Так, например, рассматривая уравнение идеальной жидкости, мы можем оценить погрешность δ⁽¹⁾₂, обусловленную переходом к реальной (вязкой) жидкости. При этом результаты, полученные с помощью модели вязкой жидкости, дают более точные результаты, чем с идеальной. В процессе такого упрощения можно указать, какими членами следует пренебречь для получения из уравнений вязкой жидкости уравнения идеальной жидкости. Решающую роль в выборе той или иной модели для описания явления оказывает человек, т. е. человеческий фактор.

Рассмотрим более общий пример для осмысления роли и места т. н. научного риска в авиации.

Пусть мы проектируем самолет, для которого определяем расчетную дальность полета (обозначим ее L). Фактическая дальность полета за счет погрешностей, возникающих в процессе проектирования, равна L ± ε. Нам необходимо знать ε для оценки возможностей самолета. Кроме того, в случае когда погрешности случайные, необходимо знать, с какой вероятностью фактическая дальность полета L_ф будет принадлежать области допустимых значений (L ± ε), которую мы назначим, исходя из практических (стратегических) соображений.