Текст книги "Научный риск (введение в анализ)"

7.5. Методические погрешности при построении математических моделей

Роль методических погрешностей при построении математических моделей разного уровня рассмотрим на примере такого объекта, как самолет. Проследим процесс формирования и накопления научных знаний и методические погрешности, сопутствующие построению математических моделей, а также критериев достоверности научных знаний.

Указанный процесс начнем с рассмотрения основного свойства, присущего самолету, а именно наличия подъемной силы, создаваемой крылом. Основное назначение крыла состоит в достижении высокой аэродинамической эффективности летательного аппарата в крейсерских режимах полета и связано с обеспечением оптимального (заданного) отношения подъемной силы и сопротивления, а именно качества К. Таким образом, для создателей крыла как области чувственного мира необходимо иметь научные знания, математические модели, устанавливающие связь несущих свойств аэродинамических поверхностей (имеющих вполне определенные геометрические образы) с их сопротивлением.

Методы оценки сил нормального давления связаны с двумя различными теоретическими методами, позволяющими получить:

– модель (М₁) распределения давления непосредственно на поверхности крыла и последующего интегрирования их по поверхности крыла для оценки сопротивления;

– модель (М₂), в которой сопротивление идентифицируется через удаленную от тела контрольную поверхность; при этом устанавливается соотношение между распределением подъемной силы по размаху крыла, скосом потока за крылом и вихревым сопротивлением.

Среди существующих теорий, описывающих обтекание профиля плоским несжимаемым (дозвуковым) потоком, можно отметить метод конформных отображений, метод вихревого слоя и их комбинации.

Метод конформных отображений достаточно эффективен даже при исследовании свойств многосвязных контуров. Однако для профилей с большими градиентами наклона поверхности или с резким изменением кривизны метод конформного отображения области, внешней к заданному контуру, на область, внешнюю относительно единичной окружности, требует большого числа членов ряда в отображающей функции S. При этом имеем ρ = |X – Y| = ε, где X – истинное или фактическое значение свойства (подъемной силы) профиля; Y = S_k – k-я частичная сумма ряда, представляющая собой абстрактный теоретический объект; ε – допустимая величина погрешности, функция геометрии профиля (η) и других факторов (ξ).

На величину ε = ε(η, ξ) должно быть наложено ограничение. Однако общей теории такого ограничения в настоящее время не существует, и эта величина задается на интуитивном уровне в виде ε < 1 % для профиля любой конфигурации, что ограничивает применение метода, создавая неопределенности при изменении ε, в том числе по затратам на исследование.

Отметим, что решение такой проблемы позволило бы распространить данный метод для расчета таких конфигураций, как профиль с закрылком, с учетом пограничного слоя и развития спутной струи, т. е. расширить область применения метода (модели, теории). При этом имелась бы возможность количественной оценки потерь обусловленных погрешностей и количественного научного риска.

Второй метод связан с методом суперпозиций поля скоростей от вихрей и источников и называется методом вихревого слоя, который связан с решением уравнения Лапласа. Рассмотрим причины возникновения погрешностей при применении данного метода к такому объекту, как профиль крыла.

Основное интегральное уравнение, выражающее связь между скоростями на контуре профиля как сумму компонент скорости свободного потока совместного влияния всех вихрей по периметру профиля (в виде напряженности вихревого слоя γ(S), расположенного на профиле) и местного скачка скорости на контуре, имеет вид [65]

Обозначим объект, описываемый в (7.14), символом Х и в процессе решения будем исследовать абстрактный объект Y, в некотором, указанном ниже, смысле адекватный объекту X. Проследим отдельные этапы необходимых упрощений уравнения (7.14) для определения искомой напряженности вихревого слоя γ(S).

Как указано в [65], интегрирование (7.14) при параметрическом представлении контура профиля x = x(φ); y = y(φ), как правило, выполняется с использованием формул трапеций, когда, в силу (7.14), имеем

где α – угол атаки профиля.

При переходе от (7.14) к (7.15) за счет ограниченности m, n, N возникает погрешность δ₁. При численной реализации на ЦВМ возникают погрешности δ₂.

Пусть X – точное решение (7.14) для реального профиля, имеющего особенности по контуру, передняя часть которого отлична от эллипса. Теория нам дает приближенное или оценочное значение Y искомого свойства с погрешностью δ₃. Их отличие в рассматриваемом случае имеет вид ρ = | X – Y | = δ = δ₁ + δ₂ + δ₃.

Усложним задачу: будем рассматривать не профиль крыла, а самолет с упругим крылом. Рассмотрим уравнение возмущенного движения упругого самолета [6, 30] (рис. 7.7).

Рис. 7.7

На рис. 7.7 обозначено: F(x, y, t) – поперечная динамическая нагрузка; W(x, y, t) – прогиб колеблющейся упругой поверхности крыла относительно фиксированной плоскости X, Y; ρ(x, y, t) – интенсивность поперечной деформационной нагрузки (сила деформации). Математическая модель возмущенного движения упругого самолета в полете включает в себя трехмерное упругое тело, обладающее шестью степенями свободы поступательного и вращательного движения, и, кроме того, согласно выбранной модели, соответствующее количество степеней свободы упругих движений.

Задача состоит в том, чтобы рассчитать деформации W(x, y, t) и перемещения несущей поверхности во времени, начиная от равновесного состояния, и определить параметры системы, при которых деформации (η) и перемещения (h) не превышают допустимого значения Ω_доп, т. е. (η, h) Ω_доп. Под действием возмущающей силы F(x, y, t), произвольно зависящей от координат и времени, приложенной к поверхности самолета, возникают аэродинамические давления ΔP_a(x, y, t), которые изменяют подъемную силу сечения Y(z) несущей поверхности. В качестве ΔP_a может выступать, в том числе, сила аэродинамического демпфирования колебаний поверхности крыла.

Возмущенное движение упругого самолета при соответствующих допущениях описывается тремя интегродифференциальными уравнениями [30]:

L₁(ψ, φ, z, t) = 0; L₂(ψ, φ, z, t) = 0; L₃(ψ, φ, z, t) = 0,

где

– уравнение изгибных колебаний крыла ψ(z, t):

– уравнение крутильных колебаний крыла φ(z, t):

– уравнение изгибных колебаний фюзеляжа φ(x, t):

В этих уравнениях Y(z) – погонная аэродинамическая нагрузка по размаху z крыла вида

где = (z, x, α) – (z, x, α); α – угол атаки; x – расстояние по хорде профиля; = (P – P_∞)/q; q – скоростной коэффициент; индексы «в», «н» означают соответственно верхнюю и нижнюю поверхности профиля; Y(z) – подъемная сила крыла; Μ(z) – момент вокруг оси жесткости крыла; Y(x) – подъемная сила фюзеляжа; F_вн(z), Μ_вн(z) – внешние силы и моменты, действующие на крыло от ветра и земного притяжения; Ф_ст, М_ст – сосредоточенные силы и моменты, действующие на фюзеляж от стабилизатора; F_вн(x) – силы, действующие на фюзеляж от ветра и земного притяжения; Х_ст – координаты оси вращения стабилизатора.

Каждое допущение, принятое при создании математической модели, описываемой уравнениями (7.16), есть идеализация реального физического объекта, отображаемого чувственным миром, что обусловливает погрешности (δ_i)_и , где k – количество принятых допущений. Погрешность идеализации (δ_i)_и, их количество и численные характеристики соответствуют выбранному теоретическому методу исследования и могут существенно колебаться. Так, для простейших моделей, когда (7.16) упрощается путем, например, рассмотрения нагруженной балки, количество и роль (δ_i)_и существенно возрастают. Возможно движение в обратную сторону, когда роль (δ_i)_и существенно уменьшается, но при этом модель существенно усложняется.

Выбор модели типа (7.16) каждый раз производится, исходя из дополнительных соображений, в том числе из финансовых затрат, связанных с реализацией метода расчетов тех или иных объектов. Задача достоверности результатов расчетов связана с достоверностью используемых научных знаний, с затратами на расчеты по данному этапу теоретического описания объекта. Эти затраты обусловливают последующие затраты, связанные с реализацией всех этапов жизненного цикла самолета [23]. Такой анализ необходимо производить прежде, чем принять решение о выборе той или иной математической модели с соответствующим набором допущений и погрешностей [73].

Принятая математическая модель (М₁) трансформируется в абстрактную (М₂), для которой выбрана абстрактная теория, позволяющая исследовать ее свойства. При указанном переходе от М₁ к М₂ возникает погрешность δ, которая включает в себя все погрешности, обусловленные каждым допущением. Рассмотрим эти погрешности.

Первое допущение – погрешность (δ₁)_а, обусловлена отсутствием точных аналитических решений (7.16). В связи с этим применяются приближенные методы, позволяющие свести исходную систему уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, например, по методу Бубнова – Галеркина. При этом вводятся первое допущение и соответствующая погрешность (δ₁)_а, связанная с разложением искомых функций в ряд

где функции f_i(z), φ_i(z), ξ_i(z) образуют некоторую полную систему координатных функций, которая удовлетворяет граничным условиям, а также условиям сопряжения и скачков в рассматриваемой задаче.

Второе допущение обусловлено выбором функций f_i(z), φ_i(z), ξ_i(z), в качестве которых выбирают формы собственных колебаний в пустоте целого самолета и его отдельных частей, что обусловливает приближенное решение задачи, которое характеризуется погрешностью (δ₂)_а.

Третье допущение связано с переходом от (7.16) к матричным дифференциальным уравнениям [6]:

где

q = (q_–1, q₀, …, q_N)^T; β = (b_–1, b₀, …, b_N)^T;

Д* = (d*_ij); С = (с_ij); B = (b_ij). A = (a_ij); Д = (d_ij).

Размеры матриц А, В, С, Д, Д* задаются номером N в (7.17), а их коэффициенты характеризуют соответственно энергию конструкции, аэродинамическое демпфирование, конструктивное демпфирование, жесткость конструкции, аэродинамическую жесткость. В силу указанного перехода возникает погрешность (δ₃)_а.

Четвертое допущение связано с существованием функций (7.17) и модели (7.18). Для таких объектов, как самолет с треугольным крылом, невозможно задать функции (7.17) и сложно создать модели вида (7.18). При этом возникает задача: отделить классы объектов, к которым применяется данная теория и к которым она не применима, а также найти границу между этими классами, начиная с которой возникает погрешность (δ₄)_а, и указать ее величину при удалении от указанной границы.

Таким образом, при попытке описать физический объект А₁ (искусственного) мира и представить его в виде абстрактного объекта А₂, с помощью которого можно осуществить исследование искомых свойств А₁, мы сталкиваемся с погрешностями. Для того чтобы указать область применимости теории, в том числе методов расчета, необходимо разработать модели погрешностей, указанные выше, с помощью которых произвести расчет вторичных показателей достоверности теории в применении к исследуемым объектам, а также показателей научного риска в виде интегральных характеристик, допустимые значения которых задаются, позволяющих соотнести область применения теории и ее погрешности.

В этом случае математическая модель состояния самолета в пространстве R^N с координатами x = (x₁, …, x_N) описывается следующей системой интегродифференциальных уравнений:

где F_i – оператор преобразования; ; l ≥ 1; m ≤ N; ; W – возмущающие факторы; P – давление в произвольной точке несущих аэродинамических поверхностей, например по размаху крыла. С_α – управляющий параметр; Ω – площадь несущих поверхностей. Переменные x_i и t считаются соответственно пространственными и временными координатами. Искомые решения P(·) описывают состояние поля сил аэродинамического давления, от величины которых зависит состояние самолета. Их будем называть переменными состояния.

Система получена в предположении, что:

– давление в i-м сечении z_i и в j-й точке x_j по сечению несущей поверхности есть нелинейная функция своих аргументов вида [21]

P_ij = P(x_j, z_i, α, V_∞, T_∞, M, R_l, ψ(x), …),

где α, V_∞, M – соответственно угол атаки, скорость, число Mаха; T_∞ – температура на бесконечности; R_l – число Рейнольдса; ψ – координаты профиля в сечении z_i;

– подъемная сила Υ несущей поверхности есть функция вида

где Ω – площадь несущей поверхности.

Параметры С_α в (7.19) выступают в качестве управляющих и в рассматриваемом случае связаны с жесткостью конструкций, аэродинамической жесткостью, аэродинамическим и конструктивным демпфированием, инерцией конструкции.

С учетом сказанного, система (7.19) описывает распределение давления на несущих поверхностях самолета. Такая модель используется, например, при разработке систем контроля и предотвращения флаттерных режимов полета и в противофлаттерных системах. Так, в работе [36] с применением давления P(·) на несущих поверхностях исследована возможность предотвращения срыва потока и ослабления влияния ветра; показана высокая эффективность такого метода. В работе [72] разработана система активного подавления флаттера лопасти вертолета на основе концепции аэродинамической энергии (давления P(·)), позволяющие увеличить скорость полета из-за возникновения флаттера.

Отметим, что модель (7.19), по существу, не имеет начальных допущений, но для ее применения возникает необходимость ее упрощения, т. е. введение допущений, которым соответствуют свои погрешности.

С учетом сказанного, система (7.19) описывает распределение перепада давления по несущим поверхностям самолета, а вектор х = х₁, …, х_Ν включает, например, х₁ = х; х₂ = z; х₃ = φ; х₄ = ψ; х₅ = λ; х₆ = α; х₇ = V; х₈ = η; х₉ = ξ; где α, V, λ, η – соответственно угол атаки, скорость, удлинение, сужение несущей поверхности; φ, ψ, ξ – упругие деформации несущих поверхностей.

В итоге имеем n × k₁ уравнений, решая которые, получим необходимые соотношения, в том числе для оценки начала флаттерного режима, который задается критическими величинами давлений . Обозначим их ()_кр = ()_ф.

Проблема такого исследования является чрезвычайно сложной даже при наличии вычислительной техники, необходимой для численного отыскания решения. В этом случае, в силу отсутствия иного практически реализуемого варианта, вводят поэтапно различные упрощающие предположения, на каждом из которых возникают соответствующие методические погрешности δ_i.

Первый шаг включает в себя избавление от интегралов в интегродифференциальном уравнении (7.19). Такая процедура осуществима без ошибок, если воспользоваться теоремой [21], в которой доказано, что на телесном профиле, обтекаемом безотрывным плоскопараллельным установившимся потоком идеальной жидкости, существует линейная зависимость коэффициента перепада давления P_i / q = от коэффициента нормальной силы С_у

и хотя бы одна точка x₀ (0 ≤ x₀ ≤ b), в которой имеет место равенство

где a(x_i), b(x_i), Δα(x_i) – коэффициенты, зависящие от геометрии профиля.

При распространении (7.21) на крыло конечного размаха получено

где = 2z / l; z – расстояние по размаху крыла до сечения, в котором производится забор давления; l —размах крыла; Δα, – угол скоса потока в сечении z по размаху крыла и на расстоянии по хорде профиля.

С другой стороны, учитывая, что

вместо (7.19) получим систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных:

где  – перепад давления, измеренный в j-м сечении в точке x_0j по хорде, положение которой изменяется при изменении номера сечения. При этом мы получаем n уравнений .

В целях упрощения предполагаем, что (7.23) не содержит пространственных производных любого порядка, т. е.

где δ₁– погрешность упрощения.

Дальнейшее упрощение достигается, если (7.24) не зависит от пространственных координат x, что обусловливает погрешность δ₂, и тогда систему (7.24) можно записать в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

Эту систему называют динамической.

На следующем этапе предполагается, что f_i не зависит от t, и тогда получаем систему

которую называют автономной динамической системой.

В результате получена система, которая описывает некоторый абстрактный объект Y и для которой (при k ≤ 4) в науке имеется много полезных и важных утверждений, касающихся свойств объекта Y. Однако наличие внесенных погрешностей δ_Σ не позволяет утверждать, что объекты X и Y близки по своим свойствам; погрешности, допущенные при переходе от X к Y, должны быть оценены с помощью дополнительных критериев; в случае когда критерии удовлетворяют наперед заданным величинам, мы можем воспользоваться теоретическими знаниями из абстрактных теорий.

7.6. О погрешностях в абстрактных теориях

Абстракция в математике понимается как мысленное отвлечение, осуществляемое в процессе творческого мышления, позволяющее формировать основные понятия, включая: «чистое» отвлечение от реальности; идеализацию.

«Чистое» отвлечение включает в себя переход к объектам, в которых часть свойств, отношений исключаются из моделей. Идеализация состоит в выделении какого-то понятия, являющегося продуктом нашего воображения, которое наделяется новыми воображаемыми свойствами и отношениями с новыми средствами или с измененными свойствами и отношениями.

Математические теории различаются между собой характером математических абстракций, заложенных при их создании, которые задают достоверность научных знаний. При этом суждения об абстрактных моделях (объектах), возникающих в процессе идеализации, требуют особых способов их понимания, достоверности; применяемый логический аппарат связан с характером математической абстракции (исходных понятий теории), которые взаимосвязаны, взаимозависимы, и несоблюдение этого снижает достоверность моделей. Отметим, что здесь и далее понятие модели включает в себя абстрактные модели, например, в теории множеств, и математические служащие для отображения физического мира.

Взаимосвязь математики и логики имеет глубокие корни. Символьное направление приобрело важное значение в математике после того, как была получена формальная дедукция. При этом, если соответствующим образом выбрать предикатные символы, то для ряда областей математики станет возможна интерпретация на языке предикатов. С другой стороны, в области математического анализа при создании дифференциального и интегрального исчислений возникла необходимость в концепции бесконечного множества, которая получила свое развитие. Полученные на сегодня результаты в математике и логике позволяют утверждать: математика есть логика совместно с теорией множеств. Чтобы вникнуть в сущность теории множеств, посмотрим несколько этапов ее развития.

Одной из проблем математики было установление понятия множества в качестве фундамента, который задает математическую систему. При этом необходимо, чтобы понятие множества было достаточно широким, с тем чтобы не ограничивать определений в какой бы то ни было области математики.

Необходимо такое формальное определение множества, при котором обеспечивается формализация логики предикатов в качестве системы описания. В одном из таких подходов множество определяется несколькими аксиомами, выраженными средствами логики предикатов. Совокупность этих знаний получило название аксиоматической теории множеств. Что же это за аксиомы?

Исходное определение: множество есть совокупность объектов. При этом интуитивным методом, который связывает области, имеющие некоторые присущие им свойства, в единое целое через выраженные предикатами аксиомы, является гипотеза о существовании множества, состоящего из всех объектов, обладающих этими свойствами. Обычно такие свойства могут быть какими угодно, обозначим их через Р(х). При этом для Р(х) произвольного свойства существует множество у, для которого x у ↔ P(х), т. е. j и Р(х) эквиваленты. Эта запись не однозначна, так как, в силу произвольности Р(х), можно положить х х.

Пусть теперь R – множество, определенное следующим свойством элементов: x R ↔ x x. В словесном выражении R есть «множество, состоящее из всех множеств, которые не являются собственным элементом». Однако, предположив, что такое множество существует, имеет смысл задать вопрос: «Является ли R элементом R?». Положительного ответа на этот вопрос не существует, поскольку выполняется: R R ↔ R R, что есть противоречие, которое известно как обратная теорема Рассела. Из этой теоремы следует, что интуитивное ощущение, будто множество можно определить как совокупность элементов, удовлетворяющих произвольным свойствам, является ошибочным.

Одним из методов определения множества является порождающий метод. Суть его (упрощенно) состоит в следующем: сначала задается конечное, небольшое множество, затем на его основе порождается новое множество, которое расширяется добавлением в уже созданное. Этот процесс задается различными способами с помощью аксиом.

Определенное таким образом множество будет достаточно широким, чтобы его можно было использовать при описании полной математической системы для моделей абстрактного мира. Модели абстрактного мира есть продукт теорем (утверждений), геометрических и множественных образов и т. п. Согласно утверждению Д. Гильберта, выделена практическая или финитная математика (А₁). В рамках (А₁) к рассмотрению допускались лишь конструктивные объекты и лишь такие способы рассуждения, которые согласуются с абстракцией потенциальной осуществимости и не привлекают абстракции актуальной бесконечности, создающие погрешности .

С философской точки зрения, способы рассуждения в (А₁) существенно ближе отражают конструктивные процессы реальной действительности, чем в общей теоретико-множественной математике. Такие модели абстрактного мира, как аксиомы, постулаты и правила вывода исчислений, могут быть разделены на логические и прикладные.

Логические постулаты служат для получения высказываний истинных, независимых от формализуемой теории (возможно, содержащей неопределенности) уже в силу своей формы. Такие постулаты определяют логику формальной абстрактной теории и представляются в виде исчисления высказываний или исчисления предикатов (в математической логике). Прикладные постулаты служат для описания истин, относящихся к особенностям данной математической теории, например в аксиоматической теории множеств, в элементарной арифметике.

При этом широкое распространение в абстрактной теории моделей получила теория множеств, на базе которой и для которой введены: модель теории множеств; модель системы, состоящей из множеств; модель теории множеств; счетные модели; модели арифметики и т. п.

В начале XX века в теории множеств Г. Кантор обнаружил антиномии, поставившие под сомнение достоверность даже простейших рассуждений с произвольными множествами. В связи с этим Л. Брауэр предложил радикальную перестройку математики в духе интуиционизма. В это же время Д. Гильберт предложил метод формализации, который является одним из основных методов доказательств теории.

Антиномия – это парадокс [53] или ситуация, когда в теории доказываются два взаимно исключающих друг друга суждения с использованием средств данной теории.

Обнаружение антиномии в той или иной теории означает наличие некоторого объема недостоверных научных знаний (ΔD_нз), существенно влияющих на достоверность результатов данной теории, что обусловливает необходимость перестройки всей теории в целом, стимулируя развитие исследований с целью уменьшения ΔD_нз. Важную роль в образовании ΔD_нз в абстрактном мире играют логические и семантические антиномии, которые связаны с необычными способами образования понятий.

Здесь, как и в физическом мире, речь идет об объектах (А), которые наделены некоторыми свойствами. Именно эти свойства являются источниками ΔD_нз в силу того, что они, на первый взгляд, имеют весьма простые свойства, которыми наделено некоторое множество Т; их следует считать описанными при изучении моделей в абстрактной теории или же считать, что имеются точно описанные свойства, которые не определяют рассматриваемого множества. Таким образом, в худшем случае нет абстрактного объекта, который изучается в мире абстрактных объектов в виде модели, следовательно, этот мир (или его частичка) не существует в силу своего определения, или, согласившись с существованием такого мира, следует принять наши знания о нем как недостоверные научные знания (ΔD_нз).

При изучении причин появления ΔD_нз возникает ряд трудных проблем:

Какие свойства следует считать точно описанными, а какие нет?

Какие свойства определяют множества, а какие нет?

Не являются ли те свойства, на которых построена теоретико-множественная математика, ведущими к парадоксам и несущими только недостоверные знания?

Существует ли достаточно обширная область Ω_доп, где нет парадоксов, которая включает в себя используемую нами математику?

В частностях указанные проблемы решены, однако проблема описания критериев для выделения указанного класса свойств, выделяющих множества, в завершенном виде не существует. Более того, в общем виде завершенного решения этой задачи также не существует. В настоящее время наиболее успешным является аксиоматический подход к основам теории множеств, которая наиболее адекватно отображает «непарадоксальную» часть классической теоретико-множественной практики.

Наиболее ярким примером антиномии в логике является антиномия Рассела (B. Russel, 1902). Суть этого явления состоит в следующем. Пусть дано свойство A = Д множеств, в котором для множества G_X выполняется свойство A = Д тогда и только тогда, когда G_X не является элементом самого себя. Указанное свойство A = Д, как правило, выполняется, например, для множества всех натуральных чисел и всех действительных чисел, которые не являются элементами самих себя. Рассмотрим два пути решения проблемы антиномии.