Текст книги "Комплект книг: Мышление. Системное исследование / Законы мозга. Универсальные правила / Психософический трактат"

6.333 Несодержательное познание [игра] должно использовать в качестве своего инструмента «фигуры», универсальные для означивания любого содержания, а также «правила», не стеснённые никакой содержательностью.

«Вывод» содержательного «за скобки» делает мышление несодержательным.

6.3331 Если «фигуры» моей игры универсальны для любого содержания, то игра, которую я произвожу с содержательностью, только по внешним признакам такова [содержательна], по сути же она несодержательна.

6.3332 Если «правила» моей игры не стеснены никаким содержанием [континуум существования, моя лингвистическая картина мира], то я могу оперировать [акции] содержанием, не опасаясь терний условностей, которые ожидают любую мою игру, не будь мои «фигуры» универсальными для любого содержания, а «правила» – стеснёнными содержанием.

6.3333 Как и всякое мышление (или познание) – несодержательное также не может быть «предметом» содержательного изучения и содержательного же научения.

Однако это не мешает мне его свидетельствовать, что, я надеюсь, мне удалось сделать в настоящей работе.

Не думаю, что желающий, пройдя со мной этим путём, не сможет пройти подобным – несодержательным – путём сам.

Игра

[Глава 7]
Игра продолжается лишь до тех пор, пока продолжают играть обе стороны

[…]

И.Э. Егорычев. Категорный анализ текста «Психософический трактат» А. В. Курпатова в контексте перспективных разработок AGI

«Мы прозябаем в мире знаков, где всякие попытки говорить о реальности – и тщетны, и абсурдны. Мы не замечаем, что знаки уже давно подменили у нас всякую реальность, и мы оперируем ими так, словно бы они и есть – некая подлинная реальность».

Примерно с этих слов начинается предисловие к «Трактату», главная цель которого – даже не столько показать нам, в каком печальном положении мы находимся, «прозябая в мире знаков», сколько обнаружить глубинную структуру нашего «прозябания», а вместе с ней и необходимость последнего. Предельно абстрактный характер изложения материала, а также буквально «геометрическая» структурированность самого текста при этом как нельзя лучше подходят для того, чтобы попытаться переформулировать содержащиеся в «Трактате» идеи в языке теории категорий.

Наша ближайшая цель – указать некоторое соответствие между терминами трактата и основными понятиями теории категорий, а затем предъявить вполне конкретную категорию, в которой определённым объектам и формальным категорным операциям будут соответствовать более знакомые нам «категории» повседневного опыта.

У Витгенштейна в его «Логико-фило-софском трактате» есть такая «мистическая» фраза: «Для ответа, который невозможно высказать, невозможно высказать и вопрос». В значительно менее метафоричной форме ту же идею высказывал Александр Гротендик, который полагал, что понимание наступает только тогда, когда люди находят такую понятийную базу, в которой никаких доказательств не требуется – все содержательные результаты вытекают уже из определений.

Это не чисто умозрительная гипотеза, она реализуется на практике, скажем, в языках программирования и даже в музыке – когда при исполнении в одной тональности произведение буквально «ложится в руку», тогда как в другой чрезвычайно неудобно в исполнении и звучит тоже как-то «искусственно». В исследованиях же по проблеме искусственного интеллекта отмечается явная тенденция к тому, что новые открытия в этой области реализуются в новых высокоуровневых программных языках – благодаря концептуальным различиям высокого уровня они уже по самой своей структуре предлагают различающиеся перспективы и направления, в которых более «естественно» рассматривать проблему. Удивительным образом разные языки оказываются более и менее пригодны для работы в различных областях гигантского «программного пространства». В настоящей работе предпринимается сходная попытка «перевода» основных понятий «Трактата» А. В. Курпатова на язык теории категорий, с тем чтобы проверить, насколько категорный формализм может оказаться естественным и удобным в междисциплинарных исследованиях, связанных с разработкой сильного искусственного интеллекта (AGI).

1. Мир является мне вещами.

Это первое положение «Трактата». На первый взгляд может показаться, что положение тривиально: ну да, нас окружают вещи, мир из них состоит, мы что-то с ними делаем, возможно, производим новые вещи, также окружая себя ими. Таков, действительно, наш мир, каким он нам является в повседневном опыте, – что же тут необычного? Однако, как следует из дальнейшего контекста, под «вещами» у Курпатова понимаются не какие-то привычные нам предметы (столы, стулья, пивные кружки – к ним мы придём значительно позже), а скорее некие первичные впечатления, любые дорефлексивные результаты взаимодействия с Миром (реальностью). То есть это всё, чем любой субъект опыта оказался так или иначе затронут: любой след от касания мира, каким-либо образом зарегистрированный. Главное, что такая регистрация вообще не предполагает осознания этого опыта – важно, чтобы произошедшие изменения имели значение, т. е. принимались в расчёт, как-либо учитывались.

Курпатов неоднократно подчеркивает, что Мир является мне всякий раз целиком, и то, что я выделяю («проявляю») в нём какие-то «вещи», – строго говоря, моя «проблема», обусловленная спецификой моей познавательной способности, или моего способа существования. И, пожалуй, самое важное: Мир является вещами мне. Иначе говоря, если Мир является мне вещами, то вещи, которыми мне является Мир, существуют для меня и лишь в отношении со мной. По сути это означает, что Мир «в своем желании сообщить о себе» уже на самых начальных этапах контакта с ним сталкивается с некими искажениями, существенным образом зависящими и от того, какой я, и от того, в каком в данный момент я нахожусь отношении с Миром.

Учитывая вышесказанное, чтобы адекватно мыслить «вещь по Курпатову», нам нужно позаботиться о такой конструкции, в которой бы эффективно схватывались сразу несколько моментов:

– некий целостный Мир, являющийся мне всякий раз по-разному, но при этом каждый раз – целиком;

– некий «дорефлексивный "я"», субъект опыта, которому является Мир и от которого, вообще говоря, явление Мира вещью существенным образом зависит;

– некоторое отношение Мира со мной, которым также определяется существование/явление всякой вещи.

Чтобы наглядно проиллюстрировать то, что тут имеется в виду, мы воспользуемся следующими графическими обозначениями:

Обозначим через «M красивое» являющийся мир, под Ω будем понимать субъекта опыта, то есть «меня», а стрелкой f будем обозначать любую связь, в которой может находиться субъект опыта с миром. Говоря формально, M и Ω – это некоторые «объекты», а → – некоторое отношение. Мы видим, что данная конструкция, хоть и состоит из трёх, так сказать, самодостаточных «объектов», представляет собой некое единство: отношение всегда задается по какому-то правилу, но также важно и то, откуда и куда данное правило действует. Другими словами, все три составляющие уникальным образом определяют всю конструкцию.

Данную диаграмму можно рассматривать в нескольких аспектах:

– с акцентом на том объекте, в котором стрелка берёт своё начало, – как иллюстрацию того, что объект М как сторона отношения никогда не дан мне сам по себе и, воздействуя на меня, является не столько данным, сколько «взятым»;

– с акцентом на том объекте, в котором стрелка заканчивается, – чтобы показать, что мир является именно мне. Заканчиваясь в другом субъекте опыта, это будет уже совсем другое отношение и другой мир;

– с акцентом на самой стрелке, чтобы чтобы подчеркнуть процессуальность взаимодействия, или отношения;

– наконец, с акцентом на всей диаграмме в целом как на некотором в определённом смысле новом, самостоятельном объекте, образованном сторонами отношения.

Часто, чтобы показать, что именно отношение является конституирующим элементом, мы будем записывать: f : M → Ω. Но чтобы мыслить вещь именно как результат отношений, лучше использовать изначальную форму записи.

Здесь, мне кажется, очень уместным будет пример с функцией как частным случаем отношения (функцию иногда так и называют – функциональное отношение). Формальное определение функции следующее: функцией называется правило, по которому каждому элементу множества X поставлен в соответствие ровно один элемент множества Y. Вот эти три слова: «каждому» и «ровно один» – и делают произвольное отношение функциональным. Давайте посмотрим ещё на один рисунок:

Здесь изображена функция f, также заданная при помощи диаграммы. Мы видим, что каждому элементу множества X сопоставлен ровно один элемент множества Y, хоть и двум различным элементам из X (1 и –1) в Y соответствует один и тот же элемент: 1. Часто на это не обращают должного внимания, тогда как в определении действительно ничего не говорится о том, что элементы в Y должны быть различны. Смысл лишь в том, чтобы функция была определена, т. е. на каждом элементе из X имела какое-нибудь значение.

Мы могли бы и не рисовать диаграмму, а обойтись какой-нибудь формулой, ну, скажем, f = x². Но согласитесь, что без конкретных X и Y правило выглядело бы недостаточно конкретно: ведь по тому же правилу можно было бы возводить в квадрат и вообще все отрицательные числа или все положительные. И также важно, куда нам их потом отправлять: возможно, множество Y было бы таким, что осмысленных соответствий в нём бы и не нашлось. И ещё один важный момент. Само правило f мы могли бы тоже изобразить в виде множества – ну, например, вот так: f = {(–1, 1), (0, 0), (1, 1)}. То есть это было бы множество, состоящее из упорядоченных пар, где на первом месте стояло бы число, соответствующее «входящему» значению, а на втором месте – то значение, которое наша функция, как ещё иногда говорят, «возвращает». Обратите внимание на то, что мы только что сделали: мы функциональное отношение представили не как процесс, а уже как результат – оно построено и «явлено» как некий отдельный самостоятельный объект, результат отношений, существенным образом, разумеется, зависящий от всех его составляющих – и тем не менее другой. Более того, как множество этот объект изоморфен[154]154
  Изоморфизм – это структурное тождество. В отличие от полного равенства два изоморфных объекта могут существенно отличаться друг от друга и тем не менее в ряде важных смыслов быть похожими или даже неотличимыми друг от друга.


[Закрыть] множеству Х, поскольку также состоит из трёх элементов, хоть и иной природы. Это не случайность, а чрезвычайно важное обстоятельство, которым мы воспользуемся позже.

Дальше. Субъект опыта будет интересовать нас в первую очередь с точки зрения его различительной способности, формирующейся с опытом. К объекту Ω, моделирующему различительную способность, таким образом, будут предъявлены некоторые естественные требования: это должно быть, во-первых, частично упорядоченное множество, элементам которого соответствуют «более» или «менее» высокие значения интенсивности. Всякое взаимодействие (отношение), несмотря на потенциально бесконечное число модальностей, всегда может быть зафиксировано в тех или иных интенсивностях этих модальностей, и такие интенсивности являются частично упорядоченными.

Джозеф Гоген, ученик основателя нечёткой логики Лотфи Заде, так высказывался по поводу основных причин, по которым он занялся обобщением теории, развитой его учителем: «Решающую роль в дальнейшем развитии теории нечётких множеств сыграла работа над проблемой классификации образов. Одна из причин этого лежит в естественном ощущении непригодности классической теории вероятностей для описания того типа неопределённости, который возникает в классификации образов; эта неопределённость скорее в неоднозначности (курсив мой), чем в статистической вариации»[155]155
  Goguen J.A. L-fuzzy sets. Journal of Mathematical Analysis and Applications 18(1). 1967. P. 145.


[Закрыть].

Гоген приводит и более «жизненные» примеры – в частности, отправляющаяся за покупками домохозяйка также решает довольно типичную проблему оптимизации: среди множества всех возможных «продуктовых корзин» она должна выбрать ту, которая лучше других удовлетворяет сразу нескольким конфликтующим критериям оптимальности – таким как стоимость, пищевая ценность, качество и разнообразие. И фундаментальная черта данной проблемы – это частичная упорядоченность корзин. Уже в случае с четырьмя корзинами, которые необходимо ранжировать, основываясь не на одном, а на двух критериях – ну, скажем, оценивая их по пищевой ценности и разнообразию, – вполне может возникнуть такая ситуация, когда у одной корзины оба критерия будут на низком уровне, у второй – оба на высоком, а остальные две, располагаясь между крайними, окажутся не сравнимыми между собой. (Для ещё большей наглядности можно рассмотреть две оппозиции: дорогое/дешёвое и качественное/некачественное. Тогда на низшем уровне окажется дорогой и некачественный продукт, а на высшем – дешёвый и качественный. Но что мы можем сказать о дорогом и качественном, с одной стороны, и дешёвом и некачественном – с другой? Поэтому предложенное Гогеном обобщение заключается, прежде всего, в значительном ослаблении требований к области допустимых значений: непрерывный отрезок [0,1] Гоген заменяет решёткой – частично упорядоченным множеством, в котором любые два элемента имеют наименьшую верхнюю и наибольшую нижнюю грани. Поскольку в частично упорядоченном множестве какие-то элементы могут быть несравнимы, то смысл данного требования в том, чтобы эти элементы всё же могли быть как-то соотнесены между собой: в частности, посредством третьего «общего» элемента, который больше или, соответственно, меньше их обоих.

Со значениями интенсивностей также хотелось бы уметь производить элементарные теоретико-множественные операции объединения и пересечения, являющиеся дистрибутивными, – тем самым на множестве значений будет задана некоторая элементарная «логика». Частично упорядоченное множество, удовлетворяющее указанным требованиям, в математике носит название гейтинговой алгебры.

Говоря о субъекте опыта, мы предлагаем не ограничиваться субъектом опыта психического и уж тем более не пытаемся моделировать работу человеческого мозга во всех её деталях – мы хотим предложить максимально упрощённую модель, адекватно схватывающую базовые принципы, которые реализуются мозгом при осуществлении его, скажем так, «ориентировочной» деятельности или при принятии решений.

Далее. Моделируя вслед за Курпатовым «вещь», мы считаем методологически оправданным начать наше рассмотрение не с мира как такового и не с множества «сырых данных», а с множества деталей, или, в терминологии позднего Курпатова, – с множества простейших интеллектуальных объектов, более или менее смутно различённых субъектом в результате взаимодействия с Миром и имеющих для него ту или иную значимость. Предлагается думать об этих множествах А, В, С… как о неких темпоральных срезах опыта, отпечатках Мира, оставляющих след в субъекте, так или иначе «впечатляющих» его в определённый момент времени. (3.2111. Поскольку Мир, являясь мне вещью, является мне целиком, но как-то, то можно сказать, что моя схема Мира образована множеством «слепков», «единовременно» «снятых» мною с Мира, а не его частями.)

Таким образом, вместо единого непрерывного взаимодействия (отношения) с целостным Миром f : M → Ω мы будем говорить о «вещах» как о множествах деталей, которым по некоторому фиксированному правилу субъект опыта приписывает меру значимости. Под значимостью деталей мы будем понимать некоторое относительное значение, или вес, которые субъект опыта склонен приписывать различным элементам множества деталей, т. е. каждой паре деталей x, y ∈ A субъект сопоставляет их меру согласованности (когерентности). То есть речь идет о некоторой функции e_A : A → Ω, действующей из множества деталей в гейтингову алгебру (с точностью до того, что на частично упорядоченной шкале, как мы помним, существуют и несравнимые значения). То, что значимость не определяется абсолютно, а только через попарное сопоставление деталей, мы считаем существенным – это хорошо согласуется с тем интуитивным пониманием вещи, на которое мы обращали внимание выше: детали вещи сами по себе ещё ничего не значат, они лишь собраны в более или менее знакомые совокупности, и их значение проявится значительно позже, образовав довольно жёсткую структуру континуума существования.

К функции значимости также предъявляются минимальные требования, которые становятся наиболее наглядными, если мы значимость попробуем представить себе действительно как близость, причём близость сугубо пространственную, и попробуем измерять её подобно расстоянию. Тогда наши требования естественным образом приобретут вид аксиом расстояния – с той только оговоркой, что близость детали к самой себе далеко не обязательно будет максимальной: ну действительно, ведь какая-то деталь опыта и сама по себе может быть «неблизкой». (Мера согласованности детали x ∈ A с самой собой e_A(x, x) может пониматься как мера её бытийствования, а са-му функцию нестрого, но весьма поэтично иногда можно называть мерой бытия.)

∀a, b, c ∈ A:

e_A(a, b) = e_A(b, a).

e_A(a, b) ∧ e_A(b, c) ≤ e_A(a, c).

Данные условия сводятся, собственно, к требованию симметричности – в том смысле, что расстояние от а до b не отличается от расстояния от b до а, и к некоторому аналогу неравенства треугольника, говорящему о том, что близость/согласованность непосредственная теснее близости опосредованной.

Таким образом, ограничения довольно слабые, и им удовлетворяет целый класс функций (можно строго показать, что способов сопоставить элементам множества А элементы множества В ровно |B|^|A| штук, где вертикальные чёрточки говорят о том, что множества в данном случае рассматриваются исключительно с точки зрения числа принадлежащих им элементов. То есть даже в нашем примере функции с картинки их 2³ = 8. Но в конструкции вещи участвует всего лишь одна конкретная функция из этого класса. Это означает, что, оставив множество деталей A без изменений, но поменяв одну лишь функцию, мы получим, строго говоря, уже совсем другую вещь.

Итак, «вещь» даже в первом своем приближении представляет собой уже довольно-таки сложно сконструированный, синтетический интеллектуальный объект A := (A, e_A), включающий в себя множество деталей А (следы, или отпечатки мира в результате взаимодействия с ним в какой-то момент времени t), функцию значимости e_A и субъекта опыта Ω, которому, собственно, и явлен Мир. Тем самым, мы отчётливо видим, что вещь, по большому счёту, конституируется этой самой функцией значимости e_A : A × A → Ω, и следовательно, то, какой «вещью» явится субъекту опыта Мир, помимо правила сопоставления, зависит прежде всего от структуры Ω. Что нам и требовалось. Данный объект А, который в математике называется гейтингозначным множеством, или Ω-множеством, очень хорошо изучен – и мы этим обстоятельством намереваемся в самое ближайшее время воспользоваться.

В дальнейшем предложенная конструкция будет мыслиться нами ещё и как отношение фигуры и фона. Тут важно заметить следующее: поскольку фигура всецело определяется фоном и у одной фигуры не может быть два различных фона, то, строго говоря, в отношении я могу находиться либо с одной вещью, либо с другой, не имея возможности отличить их друг от друга.

Эту особенность отношения с Миром, которую мы изначально графически зафиксировали как M → Ω, следовало бы понимать как то лишённое всякой рефлексивности созерцание бытия, которое Курпатов иногда называет то бытием, то именем вещи. На этом этапе различия регистрируются, отпечатываются в субъекте опыта, или на гейтинговой решётке, но субъект, так сказать, ещё не способен отдать себе в этом отчёт.

(2.1320. Это существование вещи, о которой я не знаю, находясь с ней в отношении, т. е. не будучи сам фигурой на фоне, но будучи её, вещи, фоном, я буду называть бытием, предполагаемым мной гипотетически. 2.2 Благодаря отношениям со мной вещь обретает имя, благодаря моему проявлению вещи – значение.)

1.51. Мир является мне мною, следовательно, я – вещь.

Мы видим, что Курпатов предлагает отличать меня, находящегося в отношении с вещами, от меня как вещи, которой мне явился Мир. Принятый нами формализм как нельзя лучше способствует этим различиям. Действительно, в первом случае я – дорефлексивный субъект опыта, сторона отношения, то есть просто гейтингова решётка Ω, тогда как в последнем я, как и любая вещь, – результат отношения, гейтингозначное множество:

Ω = (Ω, e_Ω : Ω × Ω → Ω).

Тут необходимо заметить, что если в отношении остальных функций значимости у нас существовал выбор, то при построении как гейтингозначного множества выбора у нас уже нет – данная функция задается единственным образом:

e_Ω(p, q) =_{de f} p ⇔ q.

Неформально здесь говорится лишь то, что элементы p и q близки в той степени, в какой они эквивалентны. Ну или, по-другому, близость элементов максимальна, только если они равны. Что в каком-то смысле тавтологично, но по-другому, впрочем, и быть не может. Ну действительно, мера близости, заданная на элементах «меня как вещи», которые одновременно выполняют, как мы помним, роль элементов моей различительной способности, т. е. значений самой меры, должна быть такой, чтобы структура меня как субъекта опыта осталась нетронутой. Из такого жёсткого и технически весьма непростого задания функции e_Ω следует, тем не менее, всё, что требуется: в частности, то, что мера бытия любого элемента e_Ω(p, p) = Т, т. е. максимально возможному значению гейтинговой шкалы: «мыслю (различаю), следовательно, существую (бытийствую)».

Опять-таки, можно было бы сказать, что, находясь в отношении с вещью, я нахожусь с ней в отношении фигуры и фона, где я сам, разумеется, «элемент» фона – с точностью до того, что у фона никаких элементов нет.

Иногда в «Трактате» можно встретить фразу «вещь существует в отношении с другими вещами», что может показаться противоречащим положениям 1.41, 1.42 о том, что вещи существуют лишь в отношении со мной. Противоречие замечательно снимается благодаря всё той же метафоре фона, поскольку и «я», и «другие вещи» в данном случае остаются неразличёнными, образуя единый фон. Более того, с учётом только что сделанного замечания становится понятно и то, почему я не определяю фон (2.1221. Поскольку это я проявляю вещь, то это я определяю то, что является фигурой, однако я не определяю того, что является фоном): как мы видели, функция e_Ω задается жёстко, единственно возможным образом.

Дальше. Автор предлагает нам также различать явление мне вещи и проявление её мною – последнее не является отношением с вещью, поскольку, проявляя вещь, я как бы свидетельствую по крайней мере две вещи (некоторую вещь и себя как вещь), что невозможно в отношении, при котором я всего лишь фон. (2.1333. …Поскольку я нахожу вещи отличными друг от друга, я не нахожусь с ними в отношении, но проявляю их.)

2.2210. Существование вещи – это её имя [отношение фигуры и фона], свидетельствующее себя своим значением благодаря моему её проявлению (где я сам – отношение фигуры и фона).

Теоретически мы могли бы мыслить значения вещей как некоторую совокупность проявленных вещей, как те, что изображены на диаграмме ниже:

Но, как мы помним, всякая такая вещь лишь гипотетически бытийствует как раз таки как сторона отношения, тогда так значения вещей сами должны являться отношениями (результатом отношений) особого рода:

2.22. Проявляя вещь, я (как отношение меня [фигура] и других вещей [фон]) вхожу в отношение не с самой вещью, но с отношением этой вещи [фигура] с другими вещами [фон], т. е. с именем, которое благодаря моему проявлению вещи обретает значение.

Значит, это должны быть объекты, скорее похожие на что-то вроде этого:

Но для того, чтобы даже просто начать формально рассуждать о такого рода объектах, нам прежде всего нужно корректно и единообразно определить отношения совершенно иной природы – отношения между проявленными вещами, или «вещами для меня» (2.231 Иными словами: вещь для меня – это отношение данной вещи [фигуры] с другими вещами [фоном], возникающее в процессе её проявления мною (где я сам – отношение фигуры и фона), т. е. это её значение для меня.)

В «Трактате» мы читаем:

2.3. Значения расположены в континууме существования.

2.3113 Игра [отношения] пустот [значений] создает континуум существования, который я буду называть моей «схемой мира».

2.312 Отношение пустот [вещей] – это содержание.

2.3232 Значения моей схемы мира (равно как и значения моей схемы меня) вступают друг с другом в отношения [акции], ограниченные своей содержательностью [континуумом существования].

Это может показаться удивительным, но математикам известна конструкция, похожая на то, что мы ищем, – и называется она категорией гейтингозначных множеств. К данной структуре предъявляется ряд формальных требований, и если нам удастся показать, что эти требования действительно хорошо согласуются с положениями «Трактата», то мы сможем континуум существования отождествить с некоторым подмножеством данной категории и рассматривать его как подкатегорию категории гейтингозначных множеств. Но сначала нам нужно хотя бы вкратце разобраться с тем, что такое категория вообще.

С содержательной точки зрения категорию можно определить как обобщенное пространство дискурса. В одной из своих последних работ «Математика трансцендентального» А. Бадью очень наглядно описывает то, как мы задаём ту или иную категорию: отвлекая формальные конструкции и операции от являющейся их фундаментом множественности, мы, по сути, создаем общую теорию возможных универсумов. В сущности, мы начинаем с букв (объектов), значение которых остается неопределённым, и стрелок (отношений), которые также пусты, и задаем операции предельно абстрактным образом – с помощью диаграмм и алгебраических действий… Чем больше в категории возможно операций, тем богаче и просторнее для мысли оказыватся тот универсум, который формализует данная категория (Badiou. 2014. Р. 239).

Формальных требований, выполнение которых позволяет совокупность объектов и стрелок рассматривать как категорию, всего два.

1. На стрелках должна быть определена ассоциативная[156]156
  Ассоциативность алгебраической операции означает просто, что порядок действий не имеет значения, т. е. что f   (g   h) = (f   g)   h.


[Закрыть] операция композиции:  . Это означает, что, что бы ни представляли собой объекты и стрелки в данной совокупности, мы хотим, чтобы при наличии двух стрелок, таких, что конец первой совпадает с началом второй f : A → B и g : B → C. Внутри этой совокупности всегда имелась и третья стрелка h : A → C, такая, что h = g   f :

Мне кажется, что нагляднее всего это требование можно проиллюстрировать с точки зрения сохранения информации: если от А к В была передана какая-то информация, а потом информация была передана от В к С, то информация, полученная ранее от А, не теряется в В, а доходит до С полностью – так, как если бы её передавали сразу непосредственно от А к С. В терминах отношений это свойство называют транзитивностью отношения – всё, что может получить финальный адресат, не теряется при транзите через посредников.

2. Для каждого объекта А нашей совокупности должна существовать тождественная стрелка 1_A : A → A, действующая тривиальным образом, т. е. так, чтобы объект А оставался абсолютно не затронутым этим действием.

Это такая аналогия прибавления нуля или умножения на единицу. Так и здесь: композиция любой стрелки с тождественной стрелкой никак не сказывается на результате. Для любого f : f   1_A = 1_B   f = f. Тем не менее важно следить за тем, в какой последовательности выполняются действия, или совершается обход диаграммы:

Несмотря на то что тождественная стрелка на первый взгляд кажется «ненужной», она выполняет ряд важных функций. Во-первых, без её участия было бы довольно сложно сформулировать многие категорные утверждения – такие, например, как изоморфизм двух объектов: в категории два объекта А и В называют изоморфными, если существуют стрелки f : A → B и g : B → A такие, что g   f = 1_A и f   g = 1_B. Не правда ли, изящно?

Во-вторых, выше, говоря о функциях, мы указывали на то, что одного лишь правила недостаточно, чтобы адекватно мыслить функцию, – нужны, так сказать, её источник и назначение. Те же соображения вполне применимы и к стрелкам категории, и, в частности, к тождественной. Таким образом, стрелка 1_A : A → A содержит в себе исчерпывающую информацию об объекте А и, строго говоря, в ряде случаев может быть отождествлена с этим объектом.

Итак, мы знаем, что вещи устроены как гейтингозначные множества, которые образуют категорию. Более того, можно показать, что морфизм r между двумя объектами A := (A, e_A) и В:= (B, e_B) в категории Ω-множеств может быть задан как функция r : A × B → Ω, такая, что r   e_A = e_B   r = r. Неформально же говоря, морфизм A → B в категории Ω-значных множеств определяется как функция f : A → B, для каждой пары (a, b) как бы приписывающая некоторую меру истинности утверждению "f (a) = b". Но мерой истинности здесь выступает Ω, то есть Я! Значит, строго говоря, в случае, когда я не являюсь стороной отношения, стрелка между объектами А и В скорее похожа на некоторую гипостазированную мной связь, чем на реальное отношение. Но это в точности то, что нужно:

2.0211 Я могу быть в отношении с одной вещью, я могу быть в отношении с другой вещью, но полагать, что между этими двумя вещами существует некое отношение, которое соответствует той связи, которую я усматриваю между ними, – было бы неоправданным допущением, ибо это моя связь.

С другой стороны, если мы рассмотрим случай, когда на месте объекта В располагаюсь я как вещь:

(а именно такая стрелка, по нашему предположению, может претендовать на то, чтобы быть понятой как значение), то всё по-прежнему остаётся очень хорошо согласованным. Действительно, по определению это будет функция r : A × Ω → Ω, такая, что r   e_A = e_Ω   r = r. Здесь мы, во-первых, отчётливо видим те самые содержательные ограничения: функции значимости e_A и e_Ω, конституирующие существование вещей, вошедших в отношение. Во-вторых, функция r : A × Ω → Ω по каждой паре (a, p) должна приписать какую-то меру истинности утверждению "r(a) = p". Но это значит, что я, по сути, должен как-то оценить степень достоверности отношения, в котором, как мне кажется, я уже и так нахожусь, то есть того, что переживается мною как необходимость. (3.332 Составляющие моего способа существования – суть те неизбежные и априорные допущения, вне которых существующее [содержательное, континуум существования] невозможно помыслить.) Тут будет опять уместно вспомнить Витгенштейна с его знаменитым: «Из того, что мне или всем кажется, что это так, не следует, что это так и есть. Но задайся вопросом: как ты можешь в этом сознательно сомневаться?»

И это ровно то, чего мы и хотим от отношения в его отличии от «устанавливаемой мной связи».