Текст книги "Комплект книг: Мышление. Системное исследование / Законы мозга. Универсальные правила / Психософический трактат"

На всякий случай проверим: ¬¬{1, 3} = = ¬∅ = {1, 2, 3} ≥ {1, 3} – так что действительно всё чётенько…

С содержательной точки зрения это ровно то, что нам и требовалось: не-не-А не всегда равно А. Но внимательный читатель, возможно, уже заметил, что мы получили гораздо больше – ведь в каждом конкретном случае мы теперь можем просто исчислить, имеет место равенство или нет! Это обеспечивается ещё и тем, что на решётке могут присутствовать не только элементы «да» и «нет» («истина» и «ложь», 1 и 0), но и некоторые промежуточные значения истинности, которыми можно оперировать чисто алгебраически. Другими словами, мы получили инструмент, с помощью которого мы для каждого конкретного случая способны понять, применимо ли тут доказательство от противного. То есть, ослабляя, казалось бы, требования к структуре (наличие несравнимых элементов, невыполнение в общем случае закона двойного отрицания и закона исключённого третьего) мы получили гораздо более чувствительную шкалу – причём чувствительность может изменяться двумя способами: внутри самой шкалы она больше по тем причинам, что мы только что описали. Но и самих таких шкал может быть невообразимо много. Вот то, как могут быть устроены некоторые из них:

И здесь мы видим ещё один тип вариативности и изменчивости – уже среди самих гейтинговых алгебр (не будем, кстати, забывать, что всякая гейтингова алгебра является и булевой, но не наоборот). Да-да, именно так выглядят с математической точки зрения наши старые знакомые – дорефлексивные субъекты опыта, т. е. те самые Ω, от которых всецело зависело то, как у каждого конкретного субъекта устроена его схема мира, или континуум существования. По большому счёту, в дальнейшем представляется перспективным рассмотреть такое отображение: каждому субъекту опыта (т. е. каждому объекту категории гейтинговых алгебр HeytAlg) поставить в соответствие подкатегорию категории гейтингозначных множеств, так сказать, «фундированную» конкретным Ω. Кажется интуитивно очевидным, что такое соответствие будет функтором, и, следовательно, совокупность таких подкатегорий тоже будет образовывать категорию: однако, даже если это так (а всё-таки интуитивную кажимость ещё предстоит проверить), что будут представлять собой морфизмы в такой категории – отдельный большой вопрос. Опять-таки ответ на этот интуитивно представляется важным, поскольку должен иметь непосредственное отношение к проблеме содержательной (и, возможно, несодержательной) коммуникации между субъектами опыта.

1 + 51 × 23³ × 43³ = 2⁷ × 5 × 13 × 181³

II. Топосы и лингвистическая картина мира

В основной своей статье, посвящённой категорному анализу «Трактата», я утверждал, что «в некоторых категориях объекты и стрелки могут быть организованы так, что какие-то части категории оказываются в каком-то смысле «представлены» наилучшим образом». Или что, другими словами, в категории существуют объекты, содержащие всю информацию о данном фрагменте категории, но не более того – то есть они в определённом смысле оптимальны. Такие объекты называются универсальными конструкциями, или пределами. Возможно, человеку, незнакомому с «синтаксическим сахаром» языка теории категорий, подобная формальная оптимальность предельных конструкций покажется неочевидной. Поэтому мне бы хотелось в настоящих комментариях рассмотреть несколько наиболее иллюстративных примеров, которые, как мне кажется, помогут лучше ощутить связь оптимального содержания с конкретной формой – формой, которую необходимо приобретает объект, претендующий на роль «идеального представителя» того или иного фрагмента категории.

И, продолжая тему наглядности тех или иных формально определённых конструкций, также хотелось бы более подробно обсудить такую важнейшую универсальную конструкцию, как классификатор подобъектов. А ещё точнее, прояснить тот её аспект, который Ален Бадью называет «лингвистической силой» классификатора подобъектов. Для этого нам, правда, придётся на время вновь обратиться к теории множеств и попытаться понять смысл того, что в этой теории иногда носит имя аксиомы Цермело. Эта аксиома, по сути, утверждает наличие теснейшей связи между абстрактной теорией множеств, с одной стороны, и языком – с другой. В аксиоме говорится, что если у нас имеется, с одной стороны, какое-то множество А и, с другой стороны, некое высказывание Р(х), то мы всегда можем выделить в множестве А такую его часть В, которая будет состоять в точности из тех элементов множества A, обладающих признаком Р. Другими словами, чтобы строго мыслить подмножества, нам необходим язык! Это может показаться кому-то тривиальным, а кому-то, наоборот, неочевидным – кажется, что ведь мы могли бы устроить нечто вроде такой вот таблицы:

в которой путем расстановки плюсиков под теми элементами из А, из которых должно строиться наше В, мы «непосредственно» указали бы способ, которым мы хотим обособить в А некоторую его часть. Но если мы внимательно проследим за тем, что мы только что проделали, то мы поймём, что нарисованная таблица тоже является частью нашего с вами языка (мы использовали бумагу, ручку, некие графические символы, о значениях которых кто-то раньше должен был договориться, и пр.) – причем частью настолько знакомой и близкой, что этого сразу и не заметишь (такой эффект часто уподобляют близости воздуха, которым мы дышим). Существует и ещё одно, значительно более серьёзное ограничение: чем объёмнее массивы данных, тем неудобнее будут подобные таблицы, а если речь пойдет о тех или иных бесконечных совокупностях, то такой способ вообще окажется неприменим: нам потребуется какое-то универсальное правило, роль которого и выполняют функции, заданные формулами, которые, как нетрудно догадаться, тоже пишутся в каком-то языке. Можно было бы попробовать возразить на это так, что, мол, в реальном мире нам вообще не нужны никакие таблицы и функции – мы могли бы просто отбирать из множества А такие элементы, которые были бы похожи на некоторый образец: например, дать кому-нибудь гвоздь или шуруп и отправить в магазин за десятью такими же – выделяемые таким образом объекты называют определёнными остенсивно. Однако ограниченность данного способа взаимодействия также очевидна – на неё отчётливо указывал Витгенштейн в «Философских исследованиях»: «Нужно уже что-то знать (или уметь), чтобы быть способным спрашивать о названии». Андрей Курпатов также неоднократно обращает внимание своих читателей на аналогичное затруднение[160]160
  См., например, п. 2.343 «Психософического Трактата».


[Закрыть]. И даже заметя все эти «метафизические тонкости» под ковер (что нас по понятным причинам вовсе не избавит навсегда от необходимости когда-то их оттуда достать и так или иначе с ними разбираться), мы всё равно по сути останемся с некоторой модификацией функции значимости.

Вспомним, что в основной нашей статье функцию значимости мы определяли как некую оценку e_A : A × A → Ω, ставящую в соответствие каждой паре деталей x, y ∈ A меру согласованности (когерентности). Если один элемент пары мы зафиксируем (пускай, к примеру, x = a, где a и будет неким искомым шурупом), то данная функция в точности превратится в остенсивное определение – это будет тоже функция, правда уже от одной переменной e_A(a, x): A → Ω, ставящая каждой детали из множества деталей А некоторую меру её сходства с тем шурупом, на который мы «указали». Но это буквально в точности повторяет введённое нами определение предиката! Помните, мы говорили, что предложениями языка, или предикатами π_i : A → Ω, выделяющими в А подобъекты[161]161
  Понятие подобъекта является центральным для этого раздела комментариев – именно вокруг него будет строиться наше повествование.


[Закрыть] B_i, являются стрелки, направленные в Ω и ставящие каждой детали из множества деталей А некоторую меру её близости к выражаемому данным предложением свойству, – просто в данном случае свойство мы выражаем, указывая на конкретного представителя, или на некоторого архетипического, так сказать, выразителя данного свойства (как бы говоря тем самым: «он такой, как вот это»).

Поэтому, учитывая всё вышесказанное, как это ни удивительно, языка нам, оказывается, действительно никак не избежать.

Прояснив связь теории множеств с языком, мы теперь можем указать и на ту специфику, которая возникает в этой связи уже непосредственно в самой теории категорий – специфика, благодаря которой роль языка (и логики) приобретает здесь ещё более выраженный характер. Специфика эта очень точно была выражена в цитате, автора которой я, к сожалению, забыл: «Our subject could be described as learning how to live without elements, using arrows instead»[162]162
  Наша задача может быть сведена к тому, чтобы научиться жить без элементов, используя вместо них исключительно стрелки.


[Закрыть]. Это приводит к тому, что такие понятия, как элемент или подмножество[163]163
  Мы не стали акцентировать на этом внимание, но отношение включения в теории множеств тоже определяется через базовые понятия принадлежности и элемента: множество В называется частью, или подмножеством множества А, если все элементы, принадлежащие В, также принадлежат и А.


[Закрыть], являющиеся элементарными и даже фундаментальными в теории множеств, в теории категорий перестают быть таковыми. В результате данные «структуры имманентности», как величественно именует их Бадью, оказываются «квазиимманентными структурами» или даже в определённом смысле остаются метафорами, поскольку:

1) всякое внутреннее содержание объекта может быть дано лишь косвенно – посредством внешних отношений (стрелок);

2) не существует сколько-нибудь отчётливой разницы между элементом и частью (как мы скоро увидим, элемент объекта А на языке теории категорий – это некая его минимально возможная (атомарная) часть).

Давайте наконец внимательно рассмотрим то, как можно говорить o частях объекта А, «используя вместо элементов стрелки», т. е. описать внутреннее, имея в распоряжении лишь многообразие внешних связей. Мы могли бы воспользоваться тем, что в современном IT называют «обратной разработкой» (reverse engenireing), оттолкнувшись от более знакомого и проработанного теорией множеств «подмножества»:

Прежде всего, заметим, что если у нас уже есть подмножество B = {a, c, d} множества A = {a, b, c, d, e, f}, то функция (отношение) f, вкладывающая В в А будет устроена таким образом, что никакие два элемента В не «склеятся», то есть не будут отправлены по правилу f в один и тот же элемент множества А. Другими словами, отношение f должно сохранять различия: если x ≠ y, то f(x) ≠ f(y). Верно и обратное: любая такая функция (one-to-one function) f : B → A выделяет в множестве А подмножество Imf (его называют образом f в А), изоморфное[164]164
  Изоморфизм, как мы помним (см. основной текст) – это тождество структур. В данном случае на множествах у нас нет никакой дополнительной структуры, поэтому изоморфизм означает просто, что B и Imf содержат одинаковое число элементов.


[Закрыть] B. Но опять-таки наложенное условие, хоть и будет наложено уже на само отношение, всё ещё остаётся сформулированным в терминах равенства и неравенства элементов, а мы должны «учиться жить без них». Поэтому попробуем наложить аналогичное условие на отношение при помощи других отношений и их композиции. Например, вот так:

Если g ≠ h, то f   g ≠ f   h.

Давайте попробуем понять, что же утверждается в этом условии. Во-первых, проясним для себя, что может означать первое неравенство, т. е. что в теории категорий может означать, что две стрелки не равны (разумеется, нас будут интересовать стрелки с одним и тем же источником и назначением – другие не равны по определению). Поскольку в нашем распоряжении имеются лишь другие стрелки, то как равенство, так и неравенство двух морфизмов также должны проверяться с их помощью.

Произвольную стрелку x : T → X иногда называют обобщенным элементом x объекта X, или фигурой формы T в X. Очевидно, что если для любого обобщенного элемента x : T → X g   x = h   x, то g = h. И наоборот, если существует хотя бы один обобщенный элемент x : T → X, такой, что g   x ≠ h   x, то g ≠ h. До сих пор стрелки в категории мы называли отношениями, но это название тоже накладывает своего рода содержательные ограничения, тогда как стрелки – это лишь стрелки, которые удовлетворяют категорным аксиомам, и ничего больше. Поэтому их часто бывает удобно интерпретировать иначе: как отображения, сохраняющие структуру преобразования, или даже пути. В данном случае образ пути наиболее нагляден, поскольку мы ясно видим, что различие это – различие путей, и, пойдя сначала по пути h, а потом по пути g, мы не попадём в то же место, как если бы мы следовали по пути g, а затем по пути h. Геометрическая метафора «места» тут снова работает очень хорошо, поскольку становится понятно, что если X – это, скажем, какая-то поверхность, тело или плоскость, то фигуру формы Т можно «вырезать» из любого места Х. Говоря, что пути g и h совпадают, мы тем самым хотим подчеркнуть, что они приводят в точности в одно и то же место.

И, пытаясь определить часть В объекта А, мы хотим сказать, что выделяем в нём фигуру формы В таким образом, чтобы сохранить максимум имеющихся в В различий – если они имели место, то стрелка f их сохранит все нетронутыми: если g ≠ h, то f   g ≠ f   h. Такая f, сохраняющая все различия путей (отношений), называется в теории категорий мономорфизмом. Заметим, что то же самое условие можно сформулировать и по-другому: если f   g = f   h, то g = h. Поэтому мономорфизм ещё иногда называют стрелкой, сократимой слева.

Итак, подобъектом объекта А могла бы называться фигура формы S, определённым образом выделенная в А с помощью соответствующей мономорфной стрелки s, т. е. подобъект – это скорее действие, чем форма[165]165
  Ну или, ещё точнее, производство формы.


[Закрыть]. Мы говорим «могла бы», потому что в таком определении есть один существенный недостаток: дело в том, если S₁ и S₂ являются изоморфными объектами, то два различных мономорфизма s₁ : S₁ → A и s₂ : S₂ → A будут вырезать в объекте А одну и ту же фигуру абсолютно неразличимым образом. И подобъектом А было бы корректнее называть не соответствующий мономорфизм s с назначением в А, а целый изоморфный класс таких мономорфизмов, где s выполнял бы роль случайным, строго говоря, образом выбранного представителя класса. Ситуация ещё больше осложняется, поскольку как понятие «класса», так и понятие «представителя», т. е., вообще говоря, «элемента», – все это термины языка теории множеств, к теории категорий касательства, как мы помним, не имеющие.

Ну и, наконец, совсем технический, хотя и в не меньшей степени определяющий момент. Если мы хотим, чтобы наша «обратная разработка» копировала все существенные свойства подмножеств, то было бы хорошо, если бы на подобъектах также было определено отношение частичного порядка по включению. Тут важно отметить, что любое частично упорядоченное множество образует категорию[166]166
  Самостоятельная проверка этого утверждения, с моей точки зрения, является чрезвычайно полезным упражнением для лучшего понимания того, что такое категория и как она устроена.


[Закрыть], в которой между любыми двумя объектами существует не более одной стрелки и которая в данном случае интерпретируется как отношение включения. То есть из множества S₁ в множество S₂ существует стрелка, только если S₁ содержится в S₂ (S₁ ⊂ S₂). Это, в свою очередь, означает, что если S₁ и S₂ сами являются подмножествами, т. е. содержатся в некотором множестве А, то приведённая ниже диаграмма коммутирует:

Или, как ещё иногда говорят, стрелка s₁ : S₁ → A пропускается сквозь стрелку s₂ : S₂ → A, т. е. s₁ = s₂   i. Язык теории категорий опять-таки оказывается здесь чрезвычайно наглядным, поскольку мы в буквальном смысле видим, что путь s₁ короче пути s₂   i (ну, скажем, из интуитивно ясного и принятого в той же геометрии правила о том, что путь по прямой всегда короче любого другого), или что если из А мы хотим извлечь фигуру S₁, то начиная с фигуры формы S₂ нам, возможно, ещё придётся потрудиться, чтобы отбросить что-то лишнее.

Учитывая вышесказанное, кажется разумным попытаться именно так и определить включение в теории категорий: если у нас имеются два подобъекта s₁ : S₁ → A и s₂ : S₂ → A, то S₁ ⊂ S₂ в том и только в том случае, если существует стрелка i : S₁ → S₂, такая, что s₁ = s₂   i.

Это означает, в частности, что такое «категорное включение» должно удовлетворять требованию антисимметричности, т. е. если S₁ ⊂ S₂ и S₂ ⊂ S₁, то S₁ = S₂.

Однако мы видели, что требуемое равенство из взаимного включения вполне может и не следовать – S₁ и S₂ могут оказаться не равными (то есть не одним и тем же объектом), а лишь изоморфными. Поэтому всё-таки приходится от равенства подобъектов переходить к равенству классов эквивалентности, образованных различными, но изоморфными представителями этих классов, а упомянутое равенство если и использовать, то лишь как удобный abus de langage.

И всё же в ряде случаев от нечёткого понятия изоморфизма удается перейти к строгому понятию равенства. Совсем скоро мы увидим и то, как эту проблему решает классификатор подобъектов, и то, как при решении данной проблемы являет себя его «лингвистическая сила».

В основном тексте, посвящённом анализу «Трактата», мы уже касались того, что размер категории можно мыслить себе, используя оптическую метафору: категория тем больше, чем больше в ней точек (объектов), из которых видны различные части категории. Бадью проводит аналогию с комнатой: комната тем больше, чем большую часть её мы сможем увидеть, не покидая комнаты. Категорная конструкция, включающая в себя объект, из которого «виден» тот или иной фрагмент категории (сам фрагмент при этом называют диаграммой), называется конусом, а «видение» в строгом смысле слова означает наличие стрелок, направленных из этого объекта в остальные объекты диаграммы таким образом, что вся конструкция, что называется, коммутирует, т. е. если от одного объекта к другому можно прийти различными путями, то все такие пути должны полностью совпадать. Мы это уже видели выше на примере двух подмножеств S₁ и S₂: в этом смысле S₁ образовывало конус для диаграммы вида S₂ → A и являлось той «точкой», из которой данная диаграмма была «видна». Конусов у диаграммы может быть несколько, и, собственно, предел диаграммы, как мы уже говорили, – это такой же конус, с той только разницей, что его образует «ближайшая» точка: опять-таки в том смысле, что если существует какая-то другая точка, делающая всю конструкцию коммутативной, то из этой точки в предельную существует (единственная!) стрелка, через которую пропускаются все остальные стрелки.

Неожиданным, элементарным и одновременно необходимым нам примером предела является предел пустой диаграммы. Никто ведь не говорил, что фрагмент категории обязан содержать в себе хоть что-то, а с другой стороны, никто не мешает нам попробовать построить эту конструкцию: итак, нам нужен объект и… и всё – «смотреть» из него некуда, поэтому и стрелок никаких строить не нужно. Правда, нужно, чтобы из любого другого объекта в наш существовала единственная стрелка: в теории множеств такой объект называется синглетон x, т. е. множество, состоящее всего из одного элемента x, – и, разумеется, любое другое множество элементов по понятным причинам единственным образом отображается в этот единственный элемент. В теории же категорий данный объект в точности так и определяется, как нам нужно, – объект, в который из любого другого объекта существует всего одна стрелка. Его обозначают как 1 и называют терминальным объектом. Он и будет являться пределом пустой диаграммы.

А необходим он нам по двум причинам: во-первых, любой «элемент» в теории категорий определяется как стрелка из терминального объекта. Ну, например, x : 1 → A. Строго говоря, такая стрелка по тривиальным соображениям является мономорфизмом[167]167
  Ещё одно несложное, но полезное упражнение.


[Закрыть], но именно мономорфная стрелка с назначением в А определялась нами как подобъект, или часть объекта А. Тем самым мы видим, что «элемент» объекта в теории категорий – это действительно его минимально возможный (атомарный) подобъект, как мы и утверждали выше.

Во-вторых, очень скоро нам понадобится совершенно конкретная стрелка такого вида – это стрелка true : 1 → Ω, ставящая в соответствие объекту 1 максимальный элемент гейтинговой алгебры, семантически эквивалентный значению «истина».

В качестве более сложного примера диаграммы можно рассмотреть следующую:

Конусом для неё будет объект D с тремя стрелками, направленными в каждый из объектов диаграммы (метафорически это, как мы помним, означает, что данные объекты «видны» из точки D), такими, что все три пути из D в С коммутируют – что, в свою очередь, символизирует «видимость» путей f и g:

Последний момент чрезвычайно важен: так как коммутативность треугольников, составляющих конус (а коммутативность диаграммы может быть сведена к коммутативности всех составляющих ее треугольников), означает, что должны выполняться равенства d₃ = f   d₂ и d₃ = g   d₁, то это значит, что обе стрелки f и g могут быть «деконструированы» и вновь собраны в терминах «линий прямой видимости», которыми являются стрелки d₁, d₂ и d₃. С чисто алгебраической точки зрения это означает ещё и то, что, поскольку морфизм f (как и g) нам дан изначально, стрелка d₃ = f   d₂ всецело зависит от выбора стрелки d₂ и поэтому из эстетических соображений на диаграмме может быть опущена. В результате мы будем иметь такое «визуальное» определение предела к данной диаграмме:

Данную конструкцию называют пулбэк (pullback) и говорят, что стрелка d₁ : D → B «восстанавливается» подъёмом стрелки f вдоль стрелки g. Запомним это.

Весь этот долгий разговор мы затеяли почти исключительно ради того, чтобы иметь возможность содержательно обсудить наконец, что именно происходит, когда мы в декартово замкнутой категории гейтингозначных множеств (а именно ею, как мы помним, является континуум существования, или моя схема мира) обнаруживаем наличие некоторого привилегированного объекта Ω субъекта опыта, являющегося не только гарантом всех значений, но и обеспечивающим возможность процедуры означивания, т. е. являющегося объектом истинностных значений. Давайте внимательно разберёмся в том, как это делается.

В строгом соответствии с нашим интуитивным представлением о том, что при выделении в объекте той или иной его части язык нам оказывается необходим, формулируется и так называемая Ω-аксиома: для любого подобъекта i : B ,→ A существует единственное высказывание (предикатная стрелка) π_i : A → Ω, исчерпывающим образом характеризующее данный подобъект. Формально это будет соответствовать тому, что изображённый ниже квадрат – это pullback:

Объект Ω, удовлетворяющий этой аксиоме, и называют классификатором подобъектов, или объектом истинностных значений. Оба названия, хоть и являются в каком-то смысле синонимами, тем не менее указывают на два чрезвычайно важных свойства этого привилегированного объекта.

1. Можно строго показать, что двум подобъектам i₁ : B₁ → A и i₂ : B₂ → A соответствует одно и то же высказывание в том и только в том случае, когда подобъекты изоморфны, т. е. лежат в одном и том же классе эквивалентности: i₁ ≅ i₂ ⇐⇒ π_i1 = π_i2. Этой теоремой (на которую мы здесь сошлемся без доказательства) и обосновывается та возможность перехода от структурного сходства к пропозициональному равенству, о котором мы говорили выше.

2. Ω-аксиома и только что сформулированная теорема дают нам право утверждать, что имеет место вложение, так сказать, более высокого уровня:

∀A ∃Θ_A : Sub_C(A) → Hom_C(A, Ω), —

т. е. для любого объекта А верно, что каждому его подобъекту соответствует некоторое высказывание π_i ∈ Hom_C(A, Ω), причем различным (c точностью до изоморфизма) подобъектам соответствуют различные высказывания. Но возможно, что всё-таки есть какие-то стрелки f ∈ Hom_C(A, Ω), которым не соответствуют никакие части А и которые, следовательно, сами не являются высказываниями? Как мы могли бы проверить и это?

Прежде всего, зададимся вопросом о том, что будет являться пределом диаграммы вот такого вида:

A

Очевидно, что это частный случай нашего последнего примера, т. е. это всё тот же pullback, где вместо абстрактных стрелок f и g нами выбраны совершенно конкретные морфизмы в континууме существования. Тем самым поставленный вопрос можно было бы переформулировать следующим образом – что представляет собой предельный объект, восстановленный подъёмом «истины» вдоль некоторой произвольной стрелки f : A → Ω? То есть мы хотим проверить, существуют ли в континууме существования ещё какие-то отношения, которые не схватываются никакой процедурой означивания. Или, по-другому, достаточно ли нам сугубо лингвистических ресурсов для такой процедуры. Заметим, что поскольку континуум существования, по нашему предположению, является декартово замкнутой категорией, то такой предел в ней будет существовать всегда[168]168
  Этот факт следует непосредственно из определения декартово замкнутой категории как такой категории, в которой, в частности, существуют пределы для всех конечных диаграмм.


[Закрыть]. Более того, можно показать, что это будет именно мономорфизм вида i : B ,→ A, т. е. часть, или подобъект в А. Но мы видели ранее, что каждому подобъекту i соответствует какое-то высказывание π_i, и следовательно, любая стрелка f является предикативной стрелкой, т. е. одним из π_i. Значит, достаточность тоже доказана, следовательно, мы действительно имеем взаимно-однозначное соответствие, или изоморфизм:

∀A ∈ C Θ_A : Sub_C(A) ≅ Hom_C(A, Ω).

Именно в этом изоморфизме и заключается та лингвистическая сила объекта истинностных значений, которую проявляет в континууме существования (в содержании) Ω и благодаря которой содержательность предстает уже не только как «моя схема мира», но и как «лингвистическая картина мира» (см. «Трактат»).

В основной работе мы назвали данный изоморфизм естественным. Хоть это и выходит немного за рамки нашего повествования, хочется сказать несколько слов об этом важном дополнении[169]169
  Подробно см.: Егорычев И. Язык теории категорий и «границы мира». С. 57.


[Закрыть]. Если совсем кратко, то «естественность» означает две вещи:

1) что система отношений, которая обнаруживается как внутри самих объектов Sub_C(A) и Hom_C(A, Ω), так и между ними, полностью определяется имевшей место системой отношений между объектами категории С. Эти новые отношения возникают естественным образом в том смысле, что они универсальны, т. е. не зависят от конкретных объектов категории, и эта универсальная зависимость от отношений, изначально имевших место в категории С, единообразно пронизывает всё более и более высокие уровни абстракции. Другими словами, нам известно некое единое, не зависящее от выбора объектов А и В правило, по которому мы по каждой стрелке f : A → B можем восстановить все остальные стрелки, необходимые для того, чтобы коммутировала следующая диаграмма:

(Обратите внимание, что единообразие возникающих здесь отношений полностью определяется устройством стрелки f* – любопытно, что конструкция данного морфизма как слева, так и справа тоже называется пулбэком)[170]170
  Подробно см.: Егорычев И. Язык теории категорий и «границы мира». С. 65.


[Закрыть];

2) в нашем случае, когда это естественное правило является ещё и изоморфизмом, связь между Sub_C(A) и Hom_C(A, Ω) становится столь тесной, что принято говорить о представимости[171]171
  Там же. С. 97–98.


[Закрыть] множества всех подобъектов любого объекта категории С единственным объектом той же категории, а именно Ω! Это, в сущности, есть способ сказать на языке теории категорий, что границы моего языка полностью подменяют собой границы моей схемы мира…