Текст книги "Комплект книг: Мышление. Системное исследование / Законы мозга. Универсальные правила / Психософический трактат"

Теперь нам требуется продумать ещё вот это:

2.2134 Однако отношение как таковое – вещь, поскольку оно [отношение] явлено мне Миром.

2.2213 Иначе (уточняя): существование – это не существование вещи как таковой и не существование имени (т. е. явленного мне Миром) [бытие], но существование отношения отношений (значения и значения).

2.2214 При этом значение [отношение] как таковое – вещь, поскольку явлено мне Миром.

То есть нам нужно иметь возможность рассмотреть значение не как стрелку в категории, а как объект категории, т. е. как вещь. Возможно ли это в категории гейтингозначных множеств? Как ни странно, и это оказывается возможным, но чтобы это ясно увидеть, мы должны разобраться с тем, что такое категорный предел.

В некоторых категориях объекты и стрелки могут быть организованы таким образом, что какие-то части категории, ну, скажем, такие как эти:

оказываются в каком-то смысле «представлены» наилучшим образом. Другими словами, в категории существуют объекты, содержащие всю информацию о данном фрагменте категории, но не более того. При этом это действительно отдельные, самостоятельные объекты. Ален Бадью предлагает смотреть на такую ситуацию с точки зрения оптики: мол, пределом для диаграммы в категории называется такая точка (объект категории), из которой данная диаграмма наилучшим образом видна. В том смысле, что если та же диаграмма видна ещё из какой-то другой точки, то из этой точки будет видна и первая точка. Значит, первая точка или объект оказываются действительно ближайшими. Поэтому в терминах наличия или отсутствия пределов Бадью, в частности, пытается рассуждать и о размерах категории: категория тем больше, чем больше в ней точек (объектов), из которых видны различные части категории. При этом он проводит аналогию с комнатой: комната ведь тем больше, чем большую часть её мы сможем увидеть, не покидая комнаты.

Применительно к нашему случаю отношения r : A → Ω это означает, что мы будем иметь вот такую диаграмму:

Её следует читать так: гейтингозначное множество B является пределом для диаграммы A → Ω, поскольку выполнены два условия:

1) треугольник A B Ω коммутирует, т. е. f₂ = r   f₁;

2) для любого другого коммутирующего треугольника A C Ω существует единственная стрелка h : C → B, такая, что g₁ = h   f₁ и g₂ = h   f₂.

Очевидно, что выполнение этих условий [в особенности наличие всех требуемых отношений (морфизмов)] невозможно без того, чтобы объект B был устроен совершенно определённым образом. Опуская некоторые технические детали, скажем лишь то, что B как множество представляет собой множество упорядоченных пар (a, r(a)) для любого a ∈ A. То есть это по сути значение А, представленное как результат отношений, т. е. как вещь! Более того, как мы отмечали выше, этот объект B изоморфен вещи А, что также согласуется с положением «Трактата» 2.3131 Сам факт расположенности в континууме существования делает вещь и её значение тождественными для меня.

Давайте теперь посмотрим, что будет происходить дальше.

Поскольку B – это вещь, расположенная в континууме существования, то у неё тоже есть значение: как отношение r' : B → Ω и как предел этого отношения, т. е. как вещь B’:

и так далее…

(Заметим, что на последней диаграмме и буквы, и стрелки – это объекты и морфизмы в категории гейтингозначных множеств, которые мы в целях упрощения иногда будем обозначать просто жирными буквами.)

Но это не всё: в категории гейтингозначных множеств пределы существуют для любых конечных диаграмм, в частности, для любой связи вида:

То есть любой произвольной системе мною установленных связей, удовлетворяющей содержательным ограничениям, я оказываюсь способен приписать значение. Сказанное подтверждает, во-первых, то, что:

2.3123 Странно ли, что всякая вещь [значение] может здесь располагаться? Отнюдь.

А во-вторых:

2.34 Однако поскольку континуум существования – это игра [акции] пустот [значений], то в содержательном [континуум существования] нет критериев, отличающих вещь от моего восприятия вещи.

2.341 Мое (где я сам – отношение фигуры и фона) восприятие вещи – это её значение в отношении с другими вещами [значениями].

То есть ситуация выглядит примерно следующим образом: из любого фрагмента моей схемы мира мной может быть образован новый интеллектуальный объект (новая вещь) как предел B соответствующей диаграммы A₁ – A₂ – A₃, у которого (которой) также будет существовать значение:

Мы видим, что здесь речь идёт о том, что у позднего Курпатова получит название «принципа генерации сложности»: даже если мы исходно имели конечную совокупность вещей (значений), сама возможность их вступления в отношения порождает всё новые и новые вещи, значения, отношения и связи.

Действительно:

3.31 Вещь не существует сама по себе.

3.311 Поскольку вещь [фигура] возможна лишь в отношении с другими вещами [фон], а отношения вещей [вещи] возможны лишь в отношении с другими отношениями вещей [вещами], то количество наличествующих комбинаций неограниченно велико.

3.3111 Таким образом, вещей неограниченно много.

3.3112 Однако из этого не следует, что Миром мне явлены все вещи.

Другими словами, как мы и предположили вначале, континуум существования, или моя схема мира, есть не что иное, как подкатегория в категории гейтингозначных множеств.

Итак, к настоящему моменту мы показали, что значение можно вполне строго мыслить и как отношение с наложенными на него содержательными ограничениями, и одновременно как вещь. Для этой цели мы воспользовались первым из условий, налагаемых на континуум существования как на категорию, – то есть корректно определили в ней стрелки и их композицию. Но мы помним, что существует и второе требование – это наличие для каждого объекта категории тождественного морфизма. Давайте посмотрим, что по этому поводу мы можем извлечь из вводимого нами категорного формализма.

Вспомним, что любой морфизм A → B в категории Ω-значных множеств определяется как функция f : A × B → Ω, как бы приписывающая по каждой паре (a, b) ∈ A × B некоторую меру истинности утвержде-нию "f (a) = b". И тогда тождественный морфизм 1_A по определению должен приписывать меру истинности высказыванию "1_A(a) = b, что то же самое, что и мера близости a и b в А, но это есть не что иное, как сама наша функция значимости e_A! То есть сущностное, специфическое отношение между мной и миром, по сути конституирующее вещь как таковую, оказывается чем-то тривиальным, самим собой разумеющимся в континууме существования. Но ведь именно так и должно быть! Более того, как уже отмечалось выше, тождественная стрелка 1_A, поскольку она исчерпывающим образом задаёт сам объект А, может быть отождествлена с ним, но это в точности совпадает с утверждением о том, что «отношение как таковое – вещь, поскольку явлено мне Миром» (пункт 2.2134 «Трактата»).

Говоря формально, наличие пределов и копределов для всех конечных диаграмм в категории означает, что данная категория является декартово замкнутой. (Сильно упрощая, можно считать, что в декартово замкнутой категории существуют все возможные объекты вида

A, A × A, A × A × A^A×A, A^AA… и т. п.)

В терминах Бадью это такой способ сугубо категорными средствами сказать о том, что категория достаточно «большая». Вспомним: «странно ли, что всякая вещь [значение] может здесь располагаться? Отнюдь».

Мы также видели, что значения в континууме существования образуют структуру, существенным образом зависящую как от устройства гейтинговой алгебры Ω, так и от и от функции e_Ω : Ω × Ω → Ω:

2.3211 Значение вещи не определяется мною произвольно, но в зависимости от того, какой вещью [значением] Мир явился мне мною.

Отсюда: значение меня [вещь] – это всегда некая «потребность», которая «требует» от меня [значение] проявления какой-то вещи [значения] из явленных мне Миром.

Пожалуй, последнее, на что тут следует обратить внимание, это «неконвертируемость» значений:

2.3221 Однако значения проявленных мною вещей – суть мои значения, а мои значения неконвертируемы. Следовательно, только я могу знать о себе.

Возможно, это было уже и так понятно, поскольку вещи и значения всецело определяются устройством гейтинговой алгебры и тем, как устроено отображение в неё – всё это в принятых нами обозначениях образует сущностные характеристики субъекта, т. е. является совершенно индивидуальным и субъективным. Есть однако один нюанс, на который обращает внимание Курпатов: 2.3223 Содержание моей схемы мира неконвертируемо, однако, уяснив правила организации моей схемы мира, можно открыть структуру системы, образованной вещами [значениями] моей схемы мира, которая соответствует моей схеме меня.

Это чрезвычайно существенный момент, поскольку в ситуации, казалось бы, тотальной замкнутости в самом себе понимание «правил организации моей схемы мира» – это, пожалуй, единственный способ, каким мы вообще способны понимать друг друга. Курпатов настаивает на том, что понимание было бы возможно, если бы нашёлся способ обойти содержательность [«бытие было бы открыто» (3.3232)]. Поэтому, переходя к описанию континуума существования субъекта опыта в совершенно формальных, бессодержательных теоретико-кате-гориальных терминах, перед нами действительно появляется шанс подлинной коммуникации.

Значит, нам следует рассмотреть и тот аспект существования, который обеспечивает нам саму возможность коммуникации – причём пока нас будет интересовать коммуникация вообще, а не только бессодержательная. Данный аспект Курпатов называет, отличая от «моей схемы мира», лингвистической картиной мира.

2.4 Значение может быть означено.

Итак, мы остановились на формальном описании континуума существования как декартово замкнутой категории. Однако категория гейтингозначных множеств обладает ещё одним важнейшим свойством – она является топосом, т. е. такой категорией, в которой необходимо присутствует совершенно особого вида объект, называемый классификатором подобъектов, а по причинам, которые станут понятны несколько позднее, – объектом истинностных значений (truth value object). И в категории гейтингозначных множеств таким объектом истинностных значений оказывается гейтингозначное множество Ω! Это означает, что континуум существования не только действительно всецело структурируется (или, как называет это Бадью, «центрируется») моими значениями, но именно я как проявленная вещь выступаю в нём «мерой всех вещей», или объектом истинностных значений.

Графически это обычно обозначают так:

Есть множество способов сформулировать критерий существования в категории классификатора подобъектов, но для наших целей больше всего подойдёт вот такой: в категории С существует классификатор подобъектов в том и только в том случае, если изоморфизм

Θ_A: Sub_C(A) ≅ Hom_C(A, Ω)

естествен по всем A ∈ C.

Им мы и воспользуемся, пытаясь формализовать процедуру означивания. В самое ближайшее время мы один за другим проясним все эти пугающие схемы и незнакомые термины, которые только что ввели, но вначале попробуем прояснить смысл следующих нескольких положений «Трактата»:

2.4231 Предполагается, что означается значение, т. е. отношение фигуры и фона.

Однако слово (или другой знак, его заменяющий) – вещь, но не отношение означиваемой вещи [фигуры] с другими вещами [фоном]. Следовательно, означающее и означаемое или должны находиться в отношениях фигуры и фона, или же их связывает условность, мною установленная.

2.4232 Одно и то же слово (или другой знак, его заменяющий) означивает разные вещи [значения], ибо слово (или другой знак, его заменяющий) служит не целям истины, но прагматическим целям [реестр свернутых функций].

2.4233 Но ни одно слово (или другой знак, его заменяющий) не означивает ту вещь [значение], которую, как я предполагаю, оно [слово (или другой знак, его заменяющий)] должно означивать, ибо слово (или другой знак, его заменяющий) делает вещь предметом, а вещь – не предмет, но вещь.

Итак, это самое «опредмечивание, служащее прагматическим целям» мы считаем оправданным представлять себе как ещё большее «ограничение» вещи: в дополнение к содержательному ограничению появляется ограничение контекстуальное, или «предметная содержательность», которая в дальнейшем и будет мне предписывать (толковать), как я ту или иную вещь использовать могу, а как – нет (слово как свернутая функция). Ну а что может более наглядно иллюстрировать ограничение чего-либо, как не рассмотрение вместо чего-то целого лишь его части?

В теории множеств понятие части формализуется как подмножество В некоторого множества А, и обозначается это так: B ⊂ A (В содержится в А):

И поскольку всякое множество в теории множеств исчерпывающим образом определяется через принадлежащие ему элементы, то, вообще говоря, верхний рисунок – это сильное упрощение вот такого рисунка:

То есть B = {d, e, f} содержится в A = {a, b, c, d, e, f} как набор вполне конкретных элементов. Но каким образом может быть осуществлена подобного рода «конкретизация»? Очевидно, что путем некоторой идентификации с каким-то присущим всем входящим в В элементам признаком, или свойством Р. Но это самое Р есть не что иное, как слово, знак, или шире – предложение языка! То есть подмножество В – это такие элементы из А, в отношении которых можно сказать, что им присуще Р, или что высказывание Р (proposition), примененное к этим элементам, обращается в истинное. Здесь мы впервые обнаруживаем теснейшую связь между подмножествами и лингвистическими ресурсами языка. В теории категорий, где всякое свойство объекта определяется через его отношения с другими объектами (т. е. через стрелки), само понятие элемента, во-первых, является производным, а во-вторых, объекты могут быть такой природы, что говорить о каких-то принадлежащих им элементах вообще бессмысленно. Поэтому понятие подмножества в теории категорий существенно обобщается, и вместо него вводится понятие подобъекта. Так вот, мы хотим сказать, что процедура означивания может быть формализована как установление соответствия между всеми подобъектами гейтингозначного множества А (Sub_C(A)), с одной стороны, и всеми предложениями языка, с помощью которых эти подобъекты в А могут быть выделены (Hom_C(A, Ω)), – с другой.

Таким образом, подобъекты А, или, как мы условились их называть, части А, должны быть определённого вида стрелками B → A, называемыми мономорфизмами, или вложениями (inclusions). Предложениями языка, или предикатами π_i выделяющими в А подобъекты B_i, также будут стрелки, но уже другого вида – направленные, как и в случае значений, в Ω и ставящие каждой детали из множества деталей А некоторую меру её «истинности», или опять-таки «близости» к выражаемому данным предложением (словом, знаком) свойству (именно поэтому немногим ранее и было введено обозначение Hom_C(A, Ω), что и означает множество всех морфизмов π_i : A → Ω). Обращаем внимание, что так называемая предикатная стрелка означивания радикально отличается от стрелки значения, устройство которой мы подробно разбирали выше. Это не полноценный морфизм в категории гейтингозначных множеств, которым было представлено значение, а обычная функция – тем самым как бы дополнительно, и на этот раз сугубо формальными средствами, подчёркивается произвольность связки «означаемое – означающее», которую Курпатов называет «моя условность». Заметим ещё раз, что в случае категории гейтингозначных множеств «меру истинности» высказывания задаёт сам субъект, поскольку здесь именно он выступает в качестве объекта истинностных значений. Это во-первых. А во-вторых, данный объект представляет собой действительно мощную лингвистическую силу, как её образно именует Бадью[157]157
  Badiou A. Mathematics of Transcendental. P. 85–87.


[Закрыть]: структура гейтинговой алгебры, которой наделён Ω, оказывается значительно богаче привычной булевой алгебры, традиционно выступающей в качестве логической модели языка. Поэтому именно топос оказывается тем «обобщённым пространством дискурса», в котором соответствие между множеством всех подобъектов любого объекта А является изоморфным множеству всех стрелок из А в Ω. Другими словами, лингвистическая картина мира – это топос.

Итак, мы пока лишь весьма поверхностно коснулись такой части теории категорий, как теория топосов, и познакомились с несколькими новыми категорными конструкциями, дальнейшее изучение которых будет чрезвычайно продуктивным при анализе лингвистической картины мира, понятой уже как топос. Перечислим их:

– подобъект i : B → A – монострелка в категории гейтингозначных множеств, различным деталям в В сопоставляющая различные детали в А;

– стрелка истина: 1 → Ω, ставящая в соответствие объекту 1 (объект категории, в который из любого другого объекта категории существует ровно одна стрелка) максимальный элемент гейтинговой алгебры, часто обозначаемый как Т (true);

– предикатная стрелка π_ii : A → Ω – новый вид морфизмов, заметно обогащающий категорную структуру «моей схемы мира» и обеспечивающий возможность придания ей откровенно лингвистического (или шире – семиотического) характера.

На самом деле на этом можно было бы и остановиться, поскольку цели, заявленные нами в начале работы, в общем и целом достигнуты: показана глубинная структура «прозябания в мире знаков» и вместе с ней и закономерность такого прозябания. Ну действительно, поскольку в категории гейтингозначных множеств абсолютно всё зависит от Ω, то становится понятно, что, взяв другую Ω = (Ωe_Ω), мы получим абсолютно другую категорию. Или в терминах «Трактата»:

2.4320 Из того, что кто-то другой (или я сам, но с другим значением, т. е. Мир, явленный мне мною каким-то другим [вещь]) может использовать то же слово (или другой знак, его заменяющий), что и я, не следует, что используемое им (мною – другим) слово (или другой знак, его заменяющий) [означающее] предполагает означивание того же [означаемого], что и мое слово.

Перед нами только видимость коммуникации, или – «коммуникативная условность».

3.4333 Таким образом, означающие [слова (или другие знаки, их заменяющие)], уничтожая существование, с одной стороны, не обеспечивают возможности коммуникации, а с другой стороны, они [означающие] не решают вопроса несодержательности (в данном случае содержательность значения подменяется специфической предметной содержательностью, которая определяется прагматическими целями).

Однако не хотелось бы завершать даже первую часть работы сухой констатацией положения дел, пускай и изложенной предельно системно. Поэтому в заключение мы наметим те пути, которые представляются наиболее перспективными как с точки зрения формализации некоторых локальных «психотерапевтических» эффектов, так и с точки зрения глобальных, но столь же формализованных попыток обойти содержательность.

В первом случае речь пойдет о таком присоединении к множеству деталей А некоторого специального вида элемента ϵ, само наличие которого с необходимостью влечёт системную перестройку функции значимости e_A. Любопытно, что и в самой психотерапии данную процедуру называют «техникой переозначивания».

Второй путь – это попытка найти категорный аналог такому взгляду на реальность, который бы не был всецело центрирован субъектом опыта, а вбирал бы в себя различные «точки обзора». Наиболее подходящим в данном случае кажется приём, известный в теории категорий как вложение Йонеды. Сильно упрощая, он состоит в том, что мы каждый объект категории заменяем множеством отношений этого объекта с другими объектами категории. Тогда у нас возникает возможность рассматривать отношения совершенно другого уровня – говоря неформально, мы можем рассмотреть те отношения, в которых оказываются все возможные точки зрения на некоторую ситуацию, где эти точки зрения сами уже представлены как объекты в другой категории:

Если «точки зрения» трудно сразу представить себе в качестве каких-то «объектов», то можно вспомнить, что вообще-то здесь везде речь идет о некоторой информации. Поэтому «точку зрения» как «объект» можно мыслить себе как некоторый архив, в котором содержится описание ситуации, видимой из какого-то определённого места.

Но пока всё сказанное хоть и кажется в некотором смысле обнадёживающим, остаётся тем, что математики любят называть «размахиванием руками» – впереди много работы по прояснению и обоснованию корректности предложенных здесь соответствий.

Поскольку работа над текстом «Трактата» состояла преимущественно в проведении максимально строгих параллелей между основополагающими понятиями «Психософического трактата» А. В. Курпатова и некоторой конкретной алгебраической структурой, называемой в математике подкатегорией категории гейтингозначных множеств, а рассчитана была при этом на неподготовленного читателя, то многие отсылки к стандартным и хорошо изученным структурам в математике (несмотря на то что автор работы старался как можно проще и нагляднее излагать математический материал), с нашей точки зрения, по-прежнему требуют детальных пояснений. Этому и будут посвящены настоящие комментарии, и начнём мы с самой основополагающей для наших целей алгебраической структуры – с алгебры Гейтинга, или гейтинговой алгебры.

I. Ω как модель различительной способности субъекта опыта

Исходно Аренд Гейтинг предложил данную математическую структуру в качестве алгебраической модели интуиционистской логики – формализованного логического исчисления, отражающего весьма неортодоксальные для того времени взгляды на природу математики и математического знания, высказанные и развитые учителем Гейтинга, видным философствующим математиком из Голландии Лёйтзеном Экбертом Яном Брауэром. В основе брауэровского подхода лежало ставшее теперь классическим философское различие в онтологическом статусе объектов человеческой мысли, и в частности – объектов мысли математической. Есть те, кто считает, что человек силой своего разума открывает объективно существующие в мире структуры, и есть те, кто полагает их результатами внутренне непротиворечивых умственных построений. (В этом смысле то или иное математическое утверждение по сути также является ментальной конструкцией, утверждение истинности которой есть верификация данной конструкции математической интуицией. Отсюда – интуиционизм. Под интуицией здесь следует понимать кажущуюся нам интуитивно бесспорной истинность таких утверждений, как «две фигуры, равные третьей, равны между собой» или «один и тот же объект в одно и то же время не может одновременно обладать и не обладать некоторым признаком» и т. д.) Данное различие приводит к тому, что в последнем случае оказываются лишёнными смысла многие традиционно считавшимися корректными и общепринятыми формы косвенного доказательства. Ну действительно, если математические объекты существуют объективно, то доказать наличие у объекта x некоторого свойства А можно, доказав невозможность наличия у данного объекта противоположного свойства не-А: обе «школы мысли» сходятся в том, что один и тот же объект в одно и то же время не может одновременно и обладать, и не обладать некоторым заданным свойством – эта аксиома в логике называется законом непротиворечия. Поэтому если монета падает одной из двух сторон и мы каким-то образом получили информацию о том, что это не решка, то мы (совершенно справедливо) можем быть абсолютно уверены, что она упала орлом. Так, в частности, Евклид в своих «Началах» доказывает иррациональность числа, равного √2: если такое число существует, то очевидно, что оно или рационально, или нет. Предположив, что число рационально, т. е. представимо в виде некоторой несократимой дроби, он путём несложных рассуждений приходит к тому, что такую дробь тем не менее всегда можно сократить. Следовательно, неверно, что данная величина рациональна. Значит, она иррациональна: не-не-А = = А. Это равенство двойного отрицания исходному утверждению эквивалентно закону исключённого третьего «А или не-А», в соответствии с которым одно из двух противоположных утверждений должно быть необходимо истинным: объективно существующий объект x или обладает свойством А, или он им не обладает – третий вариант исключен (tertium non datur). И совсем другое дело, когда истинность утверждения отождествляется с возможностью построения объекта со свойствами, истинность которых утверждается: не-А в таком случае означает, что был построен контрпример, а не-не-А – то, что было построено доказательство того, что контрпримера не построить. Но это далеко не равносильно тому, что был построен объект со свойством А. Поэтому в интуиционистской логике существует фундаментальная асимметрия между утверждениями А и не-не-А: первое оказывается логически более сильным. Но всё это пока, так сказать, метафизика. Математика же начинается тогда, когда мы нашим рассуждениям можем сопоставить формальную модель. Для классической логики такой моделью является хорошо знакомая многим булева алгебра – в своём наиболее простом виде она представляет собой множество, состоящее из двух так называемых булевых констант, обозначаемых как true и false, Истина и Ложь, 1 и 0, чёт и нечет, ⊤ и ⊥ и т. п.: конкретные означающие не так важны, как их отношения, поскольку именно последние и определят значения этих элементов. Отношений (или операций) на этом множестве определено три (собственно, наличие трёх алгебраических операций, относительно которых множество замкнуто[158]158
  Замкнутость множества относительно некоторой операции означает, что элемент, являющийся результатом операции, также принадлежит данному множеству. Например, множество натуральных чисел является замкнутым относительно операции сложения, но не является таковым относительно операции вычитания: если из меньшего натурального числа вычесть большее, то результатом будет отрицательное число, не являющееся натуральным.


[Закрыть], и превращает данное множество в математическую структуру, называемую алгеброй): логическое «и» (конъюнкция), логическое «или» (дизъюнкция) и логическое «не» (отрицание), которые «работают» ровно так, как мы от них и ожидаем, – конъюнкция истинна, только если оба конъюнкта истинны, дизъюнкция истинна, если хотя бы один из дизъюнктов истинен, отрицание истинно, если отрицается ложь.

Чтобы сделать «работу» этих операций наименее абстрактной и более естественной и наглядной, true и false проще всего представлять себе в качестве некоторого множества X и пустого множества ∅, а логические операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания мыслить как, возможно, более привычные теоретико-множественные операции пересечения, объединения и взятия дополнения. Дополнением (complement) множества A до X является множество A^c = X/A = {x ∈ X : x ∉ A}. В частности, очевидно, что дополнением X до X будет как раз ∅, а дополнением ∅ до X будет всё множество Х. То есть X^c = ∅, а ∅^c = X. Это и даст нам искомое равенство ∀A ∈ X :: (A^c)^c = A. Ну или с логической точки зрения: не-не-А=А (в логике для обозначения отрицания принят специальный символ: ¬. Поэтому на профессиональном языке запись будет выглядеть так: ¬¬A = A).

Можно поупражняться и дальше, пересекая и объединяя X с самим собой и с пустотой, – в каждом случае мы будем получать корректные логические эквиваленты: если X принять за истину, а ∅ за ложь, то X только при пересечении с собой даст нам X – в остальных случаях это будет ∅ (X ∩ ∅ = = ∅, ∅ ∩ X = ∅, ∅ ∩ ∅ = ∅), т. е. ложь, что нам и требуется: если мы хотим сказать, что лежащие в вазе фрукты являются спелыми И сладкими, то очевидно, что данное утверждение будет истинным только в том случае, когда любой фрукт будет как спелым, так и сладким – в остальных (трёх) случаях утверждение окажется ложным. То же самое и с логическим «или», которому соответствует теоретико-множественная операция объединения: только пустота, объединённая с собой, даст нам пустоту – во всех остальных случаях это будет Х, или истина (X ∪ X = X, X ∪ ∅ = X, ∅ ∪ X = X). И это также соответствует тому, как мы хотим использовать язык, говоря, что извлечённый из вазы шар является красным ИЛИ резиновым: очевидно, что мы выскажем истину в любом из трёх случаев: если извлечённый шар будет красного цвета, извлечённый шар будет резиновым или шар будет изготовлен из резины красного цвета.

Собственно, мотивировка Гейтинга бы-ла аналогичной: предложить какую-то внятную алгебраическую структуру, которая работала бы именно так, как хотели мыслить интуиционисты, – и в частности, чтобы закон непротиворечия сохранялся, но закон двойного отрицания (а вместе с ним и эквивалентный ему закон исключённого третьего) не являлся бы общезначимым. Мы опять-таки могли бы просто формально определить отношения между элементами требуемым нам образом, но так мы бы не получили искомой естественности и наглядности. С другой стороны, наглядности обычной теоретико-множественной модели уже оказывается недостаточно – и сейчас нам придется рассмотреть такое множество элементов, на котором присутствует дополнительная, как совсем скоро выяснится – топологическая (как это ни удивительно) структура.

Давайте рассмотрим множество натуральных чисел X = {1, 2, 3}, но не просто как абстрактное множество, а как множество точек, расположенных в пространстве, примерно вот так:

Тогда в отношении каждой точки осмысленно будет говорить и о тех точках, которые расположены вблизи, или в окрестности данной точки. Непосредственно из рисунка видно, что для точки 1 мы можем выделить пять таких окрестностей: ∅, {1}, {1, 2}, {1, 3} – и всё множество X в зависимости от того, насколько точно мы хотим сфокусироваться вблизи того места, которое отмечено у нас точкой 1. Как подмножества полученные множества можно упорядочить по включению, получив в результате что-то вроде вот такой конструкции – мы будем обозначать её L (от англ. lattice – решётка):

Собственно, именно такие слова, как «вблизи», «место», «сфокусироваться», и погружают нас в так называемый топологический контекст, да и сама наука топология возникла из некоего желания математиков иметь возможность строго говорить о «близости», не пользуясь понятием «расстояния».

Хотелось бы сразу обратить внимание читателей на то, что даже в случае булевой алгебры, состоящей всего из двух элементов, на этих элементах, по крайней мере в ряде интерпретаций, просматривался порядок: очевидно, что 0 меньше 1, а ∅ содержится в любом множестве, и, в частности, в Х, и в каком-то смысле тоже «очевидно» что ∅ «меньше Х». Поэтому такие отношения, как включение, делимость и некоторые другие, подобные им, принято называть отношением частичного порядка, поскольку данный порядок не является полным – в отличие, например, от того естественного порядка, который нам всем знаком по числам. В частично упорядоченном множестве допустимо наличие несравнимых элементов – такими элементами в нашей конструкции L являются {1, 2} и {1, 3} – и этот момент оказывается чрезвычайно существенным при моделировании различных способов мышления.

Но главное даже не это: самое интересное состоит, пожалуй, в том, что в модели, предложенной Гейтингом, в качестве логического отрицания он пользуется не дополнением, а чуть более слабой конструкцией – псевдодополнением! А делается это так: заметим, что если A^c – это дополнение до X, то A ∪ A^c = X и A ∩ A^c = ∅. Из второго равенства, в частности, следует, что если множество содержится в A^c, то A ∩ B = ∅. Тогда на множестве частично упорядоченных элементов L мы можем определить некоторый элемент A* как наибольший элемент среди всех таких B, что A ∩ B = ∅. То есть A* = max{B ∈ L : A ∩ ∩ B = ∅}. Так, определённое A* и называют псевдодополнением элемента A ∈ L. Очевидно, что A∩A* = ∅ – это следует непосредственно из определения, но вот объединение А со своим псевдодополнением далеко не всегда будет давать нам X (в общем случае – некоторый выделенный максимальный элемент решётки, обозначаемый 1): в рассматриваемой нами в качестве примера конструкции псевдодополнением, скажем, множества {1, 3} будет не {2}, как было бы в случае обычного дополнения, – хотя бы потому, что такого элемента попросту нет в L по самому её построению – а ∅, поскольку пересечение любого другого множества из L с множеством {1, 3} не пусто. При этом очевидно, что {1, 3} ∪ ∅ ≠ 1, 2, 3. А вот псевдодополнение к ∅ будет тем не менее равно 1, 2, 3, т. е. всему Х, что и дает нам искомое неравенство, являющееся фундаментальным свойством алгебры Гейтинга: ¬¬A ≥ A[159]159
  Все наши теоретико-множественные и топологические примеры были лишь частными реализациями совершенно формально определённых алгебраических структур, замкнутых относительно трёх столь же формальных алгебраических операций: инфимума, супремума и дополнения (или псевдодополнения). И в том и в другом случае это были решётки, за которыми тем не менее по каким-то причинам закрепились их названия – булевой и гейтинговой алгебр соответственно. Тот замечательный факт, что все эти конструкции, будучи, вообще говоря, структурами «различной природы», ведут себя изоморфно «законам мысли» и тем самым эффективно моделируют их, не может не поражать.


[Закрыть].