Текст книги "Страхование"

Расчет страховых тарифов по всем видам страхования жизни имеет определенные особенности, связанные с пред–метом страхования. Этим предметом является жизнь чело–века, постоянно подвергающегося различным опасностям, последствиями которых может быть также и смерть застра–хованного. Поэтому страхование жизни предусматривает страховую защиту имущественных интересов застрахован–ного лица (его выгодоприобретателей) путем страховых выплат при его дожитии до определенного возраста или окончания срока страхования, а также в случае его смерти.

Вероятность дожить до определенного возраста или окончания срока страхования зависит в первую очередь от возраста в момент страхования и срока действия договора страхования жизни. На основании массовых данных демо–графической статистики и теории вероятностей выявлена подчиняющаяся закону больших чисел зависимость смерт–ности от возраста людей, выведены соответствующие мате–матические формулы для расчета. По специально разрабо–танной методике с применением этих формул составляются таблицы смертности (табл. 11.1). Они периодически пересчитываются в связи с изменением показателей смертности населения. Таблицы содержат конкретные цифры смерт–ности для каждого возраста (в полных годах) для 100 000 населения с последовательным уменьшением доживающих при переходе от одной возрастной группы в другую группу, имеющую возраст, больший на 1 год. Вероятность умереть в возрасте х, не дожив до возраста х + 1 год, равна q_x = d_x/ L_x. Вероятность дожить до любого возраста р_х определяется как разность между 1,0 и q_x, т.е. р_x = 1 – q_x.

Достоверность и математическая точность данных та–блиц смертности позволяют использовать их для финан–совых расчетов, включая расчет нетто-ставки по видам страхования жизни. Только используя таблицы смертно–сти, можно рассчитать, какой величины страховой фонд, например, по страхованию жизни на дожитие необходимо иметь страховщику к определенному моменту, учитывая разные возрасты застрахованных лиц и сроки страхования по совокупности договоров страхования. Зная требуемую величину страхового фонда для страховых выплат, количе–ство доживающих до данного момента застрахованных лиц, доходность от инвестирования страховых резервов по стра–хованию жизни, можно рассчитать нетто-ставку на дожи–тие. Расчеты нетто-ставки весьма сложны, так как требуют учета не только возраста застрахованных лиц, но и порядка, сроков и периодичности уплаты страховых премий (взно–сов), нормы доходности инвестиций, а также размеров, пе–риодичности и продолжительности страховых выплат.

Таблица 11.1

Извлечение из таблицы смертности и средней продолжительности жизни населения в 2000 г.[67]67
  Источник: www.cniiorgzdrav.mednet.ru/whodc/rus/document.php.


[Закрыть]

Страховые тарифы по всем видам личного и имуществен–ного страхования устанавливаются на основе рассчитанной нетто-ставки и величины нагрузки. Особенность расчетов тарифных ставок по видам страхования жизни заключает–ся в том, что в них, как правило, учитываются доходы от инвестирования страховых резервов, уменьшающие размер страховых тарифов. Доходы от инвестирования резервов могут и выплачиваться (частично или полностью) страхов–щиком застрахованным лицам (выгодоприобретателям) вместе со страховым обеспечением (страховой суммой) при наступлении страховых случаев, если правилами (до–говором) страхования и методом расчета тарифов это преду–смотрено.

В расчетах тарифных ставок по всем видам страхова–ния жизни возникает необходимость получения ответа на вопрос, каким должен быть размер уплачиваемой страхо–вателем страховой премии (взноса) в начале страхового периода для того, чтобы через п лет срока страхования при определенном порядке внесения страховых платежей, норме доходности (норме годового процента) инвестирова–ния страховых резервов iзастрахованный (выгодоприобре–татель) получил страховую выплату (сумму) В_n. Ответ на этот вопрос при единовременной уплате страховой премии можно получить из расчета увеличения банковского вкла–да при начислении дохода по сложным процентам. Напри–мер, сумма банковского вклада равна А, годовой процент по вкладу (допустим, постоянный) – i, срок вклада по договору – п лет. По годам сумма А будет увеличиваться и формировать промежуточные значения конечной нака–пливаемой суммы вклада с начисленными процентами за п лет – В_n, в частности:

• за первый год В₁, = А х (1 + i);

• за второй год В₂ = V₁ х (1 + i) = А х (1 + i) х (1 + i) = А х (1 + i)²;

• за третий год В₃ = V₂х (1 + i) = А х (1 + i)² х (1 + i) = А х(1 + i)³;

• за п-й год В_n = А х (1 + i)ⁿ.

Страховые резервы страховщики размещают не только в банковские вклады, поэтому этот принцип нарастания первоначальных сумм, полученных страховыми компани–ями по страхованию жизни, применяется в расчетах и для других направлений инвестирования средств. Величина (1 + i) называется процентным множителем. За п лет он со–ставит величину (1 + i) п. В практике расчетов тарифных ставок применяют таблицу, содержащую значения процент–ных множителей при различных нормах доходности и ко–личествах лет страхования жизни (табл. 11.2).

Таблица 11.2

Значения процентного множителя для ряда п при различных i

По данным табл. 10.2 и подобным более детальным и полным таблицам можно сразу узнать, во сколько раз уве–личится уплаченная единовременно страховая премия за определенный срок страхования жизни при той или иной норме доходности. Если, например, среднегодовая норма доходности составляет 7%, то удвоение страховой нетто-премии, уплаченной страхователем, произойдет практиче–ски за 10 лет. При большей норме доходности время удвое–ния премии, естественно, будет меньше.

Исходя из выявленной зависимости формирования фонда денежных средств от нормы доходности и срока ин–вестирования страховых резервов по страхованию жизни можно вывести формулу для определения величины упла–чиваемой страховой нетто-премии в начале страхования: А = В_n(1 / (1 + i) п). Если, например, В₁₀ = 19 671,2 руб., п = 10 лет, i = 0,07 (7%), то А = 19 671,2 (1 / 1,96712) = 10 000 руб. Для упрощения расчетов вводится показатель V, называемый дисконтирующим множителем: V = 1 / (1 + i). Он приводится в специальных таблицах, построенных по–добно таблице процентных множителей при различных значениях г и и, и позволяет заранее узнать первоначаль–ную сумму взноса, необходимую для получения через п лет с учетом заданной процентной ставки определенной суммы страхового фонда (табл. 11.3).

Таблица 11.3

Значения дисконтирующих множителей для ряда и при различных i

Например, если В10 = 50 000 руб., п = 10 лет, i = 0,07, то дисконтирующий множитель определяется по табл. 10.3

Vⁿ = 0,50364, а уплачиваемая страховая нетто-премия А = В₁₀ х Vⁿ = 50 000 х 0,50364 = 25 172 руб. При большей нор–ме доходности величина А будет соответственно меньше.

Тарифные ставки рассчитываются для различных спосо–бов уплаты страховой премии по страхованию жизни. Она может уплачиваться единовременно или путем внесения страховых взносов с определенной договором страхования жизни периодичностью (один раз в год ежеквартально или ежемесячно в течение установленного периода времени либо всего срока страхования). С позиций концентрации денежных ресурсов, продолжительности и эффективности инвестирования страховых резервов, увеличения дохода для страховщика значительно выгоднее единовременная уплата страховой премии. Кроме того, единовременная уплата страхователем страховой премии более надежна для страховщика, так как какие-либо непредвиденные об–стоятельства в жизни и/или деятельности страхователя в этом случае не отразятся на выполнении им этого обяза–тельства перед страховщиком. Помимо этого уменьшаются расходы на сбор, учет страховой премии, банковские опера–ции с денежными средствами страховой организации. Для большинства страхователей, наоборот, предпочтительнее уплата страховой премии частями (взносами) в течение длительного периода времени. Поэтому обычно в правилах страхования жизни страховщики предусматривают различ–ные способы уплаты страховой премии.

Пример. Рассмотрим основные положения метода определения еди–новременных нетто– и брутто-ставок по страхованию на дожитие и на случай смерти при следующих исходных данных:

1) возраст страхования (полных лет) на момент заключения договора страхования х = 40 лет;

2) количество подлежащих страхованию лиц по табл. 10.2 (достигших возраста х = 40 лет из 100 000 родившихся) для принятого возраста стра–хования L_x = 84 508 человек;

3) срок страхования и = 5 лет;

4) число лиц, доживающих до окончания срока страхования, по та–блице смертности L_x+n = 79 347 человек;

5) норма доходности инвестирования страховых резервов i = 0,07;

6) единица измерения страховой суммы, на которую рассчитывается тарифная ставка и которая условно принята в примере расчета тарифа в качестве страховой суммы по договору страхования жизни каждого за–страхованного S = 100 руб.

А. Рассчитаем сначала единовременную нетто-ставку для договоров страхования на дожитие.

Через пять лет страховщик должен иметь определенную величину фонда денежных средств (В₅), сформированную за счет страховых взно–сов (страховой премии), уплачиваемых единовременно страхователями, и инвестиционного дохода. Сумма фонда должна быть достаточна для вы–платы страховой суммы S, равной 100 руб., всем дожившим до окончания срока страхования и достигшим 45-летнего возраста, т.е.

В₅ = L₄₅ х S = 79 347х 100 = 7 934 700 руб. (11.1)

Однако в начале страхования общая уплачиваемая страхователями сумма страховой нетто-премии может быть меньше, так как в течение пяти лет она будет возрастать (вместе с начисленным доходом за каж–дый год) ежегодно на семь сложных процентов за счет инвестирования страховых резервов по страхованию жизни. Поэтому современная стои–мость (на начало страхования) требующегося фонда денежных средств (Ax) может быть рассчитана по формуле А = В_п х Vⁿс использованием дисконтирующего множителя из табл. 10.3 Vⁿ = 0,71299:

А_х = В_я х Vⁿ = B₅V⁵ = 7 934 700 x 0,71299 = 5 657 361 руб. (11.2)

Такая сумма – 5 657 361 руб. – должна быть получена страховщиком в виде уплаченной страхователями страховой нетто-премии для обеспече–ния выплат страховых сумм в размере 100 руб. через пять лет всем дожив–шим до окончания срока страхования и возраста 45 лет застрахованным в 40-летнем возрасте лицам. Для того чтобы определить, какую сумму нетто-премии должен заплатить каждый страхователь, необходимо разделить А_xна количество вступивших в страхование лиц L_x = 84 508 человек. Это и бу–дет единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие со 100 руб. страховой суммы (_nE_x) для возраста х = 40 лет при сроке страхования n = 5 лет и норме доходности i = 0,07. Формула для расчета _nЕ_x, следовательно, будет в результате преобразований иметь следующий вид:

_nE_x = А_x/ L_x = B_n Vⁿ/ L_x = L_x+n S Vⁿ / L_x , или

_nE_x = (L_x+n Vⁿ / L_x) . S. (11.3)

Для исходных данных примера расчета тарифа единовременная нет–то-ставка на дожитие – ₅Е₄₀будет равна 66,94 руб. со 100 руб. страховой суммы, т.е.

₅E₄₀ = (79 347 х 0,71299 / 84 508) х 100 = 66,94 руб.

Это значительно меньше 93,81 [(79 347 / 84 508) х 100] руб., которые необходимо было бы выплачивать с каждых 100 руб. страховой суммы в качестве нетто-премии в случае расчета нетто-ставки без учета нормы до–ходности инвестиций через дисконтирующий множитель Vⁿ.

Анализируя полученный результат, можно сделать два вывода:

а) чем длительнее срок страхования на дожитие, тем ниже нетто-став–ка, так как увеличивается сумма учитываемого в расчете и снижающего нетто-ставку дохода от инвестируемых страховых резервов по страхова–нию жизни;

б) нетто-ставка выше для меньшего возраста застрахованных лиц в сравнении с нетто-ставкой для лиц большего возраста при одинаковом сроке страхования на дожитие, так как среди более молодых смертность ниже.

Б. Теперь рассчитаем единовременную нетто-ставку по страхованию на случай смерти по тем же исходным данным и числу умирающих в каж–дом году страхования из таблицы смертности.

Общая величина необходимого фонда денежных средств В_п для вы–платы страховых сумм Sв размере 100 руб. по случаю смерти застрахо–ванных лиц всем их выгодоприобретателям начиная с первого и до по–следнего года страхования может рассчитываться по формуле

В_n = (d_x + d_x + 1 + d_x + 2 + …+ d_{x + (n – 1)}) . S, (11.4)

где d_x, d_{x+ 1}, d_{x+ 2} … d_{x+ (n– 1)} – число умирающих по срокам страхования в годах.

Современная стоимость (на начало страхования) необходимого фонда денежных средств (А_х) рассчитывается с учетом дисконтирующего мно–жителя по формуле

А_x = (d_x V + dx + 1 V² + d_{x + 2} V³ + ... + d_{x + (n – 1)} Vⁿ) . S.(11.5)

Для определения единовременной нетто-ставки по страхованию на случай смерти (_пА_х) необходимо А_xразделить на число вступивших в страхование лиц L_x, т.е.

_nA_x = [(d_xV+ d_{x+ 1} V² + ... + d_{x+ (n– 1)} Vⁿ) / L_x] . S.(11.6)

Для исходных данных примера расчета и табл. 11.2 и 11.3 получаем следующее соотношение

₅А₄₀ = (406 х 0,93458 + 429 х 0,87344 + 458 х 0,81630 + 493 х 0,76290 + 533 х 0,71299 / 91366) х 100 = ([379,4395 + 374,7058 + 373,8654 + 376,1097 + 380,0237] х 100) / 91 366 = 188414,41 / 91 366 = 2,06 руб.

В. Теперь определим брутто-ставку.

Брутто-ставка Т₆ всегда рассчитывается по формуле:

Т₆ = Т_н/(1-Н), (11.7)

где Т_н – нетто-ставка по виду страхования (в данном примере – по стра–хованию на дожитие ₅Е₄₀ и на случай смерти ₅A₄₀);Н – нагрузка в долях единицы для примера расчета Н = 0,1.

Подставляя в формулу рассчитанные выше значения нетто-ставок ₅E₄₀ и ₅A₄₀, получаем соответствующие размеры страховых тарифов (брутто-ставок) по страхованию на дожитие Т_д и на случай смерти Т_с:

1) единовременная тарифная ставка Т_д = 66,94 / (1 – 0,1) = 74,38 руб.;

2) единовременная тарифная ставка Т_с = 2,06 /(1 – 0,1) = 2,29 руб. При смешанном страховании на дожитие и на случай смерти вначале рассчитывается совокупная нетто-ставка (Т_н = ₅Е₄₀ + ₅А₄₀), а затем определя–ется брутто-ставка по этой форме страхования (Т_см) : Т_см = (66,94 + 2,06) / (1 – 0,1) = 76,67 / 0,9 = 85,19 руб.

В случае одинаковой величины нагрузки в тарифе по данным видам ответственности страховщика брутто-ставка по смешанному страхованию может определяться и как сумма страховых тарифов на дожитие Т_д и на случай смерти Т_с:

Т_см = Т_д + Т_с = 74,38 + 2,29 = 76,67 руб.

В случае уплаты страховых взносов в течение установ–ленного договором страхования периода для всего срока страхования жизни страховщик не может получить такой же доход от инвестирования страховых резервов, как при единовременной уплате страховой премии. Кроме того, часть взносов страховщик вообще не получит из-за умень–шения числа застрахованных лиц вследствие их смертно–сти. Поэтому нетто-ставку при рассрочке страховых плате–жей нельзя определять простым делением единовременной нетто-ставки на число лет страхования. Чтобы обеспечить получение страховой премии при рассрочке ее уплаты по годам страхования в сумме, эквивалентной (с компенсацией потерь части доходов от инвестирования средств резервов и страховых взносов), но не равной арифметически уплачи–ваемой единовременно страховой премии, рассчитываются годичные нетто-ставки взносов.

Годичные нетто-ставки исчисляются делением едино–временных нетто-ставок на коэффициенты рассрочки. Зна–чения коэффициентов рассрочки всегда несколько меньше числа лет (срока) страхования, поэтому полученные с по–мощью коэффициентов рассрочки годичные нетто-ставки взносов по величине больше, чем их значения, получаемые простым делением единовременных нетто-ставок на коли–чество лет страхования. За счет такого различия в величине годичных и единовременных нетто-ставок компенсируются потери страховщика в связи с рассрочкой уплаты страхо–вой премии в сравнении с единовременным страховым пла–тежом.

В зависимости от времени уплаты годовой суммы стра–хового взноса применяются два вида коэффициента рассрочки: коэффициент рассрочки постнумерандо – при уплате взноса в конце года и коэффициент рассрочки пренумерандо – при уплате взноса в начале страхового года.

Пример. Покажем на примере формулу расчета коэффициента рас–срочки постнумерандо путем использования следующего алгоритма рас–чета и математических зависимостей между рассматриваемыми в приме–ре показателями.

1. Допустим, что к концу каждого года страхования все страхователи уплачивают страховой взнос в размере 1 руб.

2. Общая сумма уплаченных взносов в конце каждого года страхова–ния определяется умножением числа доживших (по таблице смертности) до возрастной группы следующего года L_x+1на 1 руб. годового взноса. В частности, для первого года страхования общая величина уплаченных страховых взносов равна L_x+1х 1,0 = L_x+1. Для второго года – L_x+2, для n-го года – L_x+n.

3. Современная стоимость общей суммы уплаченных всеми страхова–телями в конце первого страхового года взносов определяется умноже–нием суммы взносов L_x+1на дисконтирующий множитель V, т.е. L_x+1 x V. Современная стоимость взносов второго года будет равна L_x+2х V², а n-го года – L_x+nх Vⁿ.

4. Для каждого из вступивших в страхование лиц L_xвеличина совре–менной стоимости общей суммы годичных взносов за срок страхования га лет с уплатой их в конце каждого страхового года (_па_х) определяется по формуле

_na_x = (L_{x + 1} . V + L_{x + 2} . V² +…+ L_{x + n} . Vⁿ ) / L_x , (11.8)

где _па_х представляет собой современную стоимость годичной ставки взно–са в размере 1 руб. при сроке страхования я лет и норме доходности г.

Аналогично выводится формула современной стоимости общей сум–мы годичных взносов за я лет с уплатой их в начале года в расчете на одного страхователя:

_na_x' = (L_{x + 1} . V + L_{x + 2} . V² +…+ L_{x + n – 1} . V^{n – 1}) / L_x .(11.9)

Из приведенных вычислений можно сделать два вывода. Во-первых, единовременная нетто-ставка на дожитие _пЕ_х^д, по существу, является современной стоимостью суммы годичных ставок взносов. Во-вторых, годичная ставка взносов (плате–жей) без приведения к современной стоимости _пР_х так отно–сится к годовому взносу в размере 1 руб., принятому в выводе формул (11.8) и (11.9), как единовременная нетто-ставка _пЕ_х^д относится к современной стоимости годичной ставки взноса в размере 1 руб. (а), т.е. _пР_х : 1 = _пЕ_х^д : _па_х. Отсюда следует, что _пР_х = _пЕ_х^д / _па_х. Таким образом, коэффициент рассрочки постнумерандо должен рассчитываться по формуле (10.9), а ко–эффициент пренумерандо – по формуле (11.9).

Коэффициенты рассрочки _па_х и _па_х' при возрасте страхования х = 40 лет, сроке страхования я = 5 лет и норме доходности i = 0,07 равняются:

1) ₅а₄₀ = (90 960 х 0,93458 + 90 531 х 0,87344 + 90 073 х 0,81630 + 89 580 х 0,76290 + 89 047 х 0,71299) /91 366 = (85 009,396 + 79 073,396 + 73 526,589 + 68 340,582 + 63 489,620) / 91 366 = 4,044;

2) ₅а₄₀ = (91 366 + 90 960 х 0,93458 + 90 531 х 0,87344 + 90 073 х 0,81630 + 89 580 х 0,76290) / 91 366 = (91 366 + 85 009,396 + 79 073,396 + 73 526,589 + 68 340,582) / 91 366 = 4,349.

Годичная нетто-ставка по страхованию на дожитие на 100 руб. стра–ховой суммы для исходных данных рассматриваемого примера при коэф–фициенте рассрочки пренумерандо _na_x'составит:

₅P₄₀^д = ₅E₄₀ / ₅a_x' = 66,94 / 4,349 = 15,39 руб.

Годичная нетто-ставка по страхованию на случай смерти составит:

₅P₄₀^с = ₅A₄₀ / ₅a_x' = 2,06 / 4,349 = 0,47 руб.

Значения годичных нетто-ставок, рассчитанных с применением коэффициентов рассрочки, обычно суще–ственно выше тех их величин, которые поручаются при про–стом делении единовременной нетто-ставки на срок страхо–вания. В данном случае это 15,39 против 13,39 (66,94 / 5) и 0,47 против 0,41 (2,06 / 5) руб. со 100 руб. страховой суммы. Таким образом компенсируются потери страховщика в до–ходе от инвестирования страховых резервов и поступлении страховых взносов вследствие смерти застрахованных лиц.

Страховой тариф (брутто-ставка) при уплате страховой премии в рас–срочку по годам страхования рассчитывается по формуле (11.7). Годичная брутто-ставка по смешанному страхованию на дожитие и на случай смер–ти будет равна

T_см = (₅P₄₀^д + ₅P₄₀^С) / (1 – H) = (15,39 + 0,47) / (1 – 0,1) = 17,62 руб.

В случае уплаты годовых взносов помесячно или поквар–тально в целях упрощения расчетов соответствующих нет–то-ставок допускается, например, что весь годовой взнос вносится в середине года. В этом случае при переходе от единовременной нетто-ставки к годичной с помесячной или ежеквартальной уплатой взносов может применяться средняя величина между коэффициентами рассрочки постнумерандо и пренумерандо —

_na_x^cp = (_na_x'+ _na_x') / 2.(11.10)